Catalana constante

La constante catalana es un número que se encuentra en varias aplicaciones de las matemáticas , en particular, en la combinatoria . La mayoría de las veces se indica con la letra G , con menos frecuencia, K o C. Se puede definir como la suma de una serie alterna de signos infinitos :

G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1} {1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2 }}}+\puntos

Su valor numérico es aproximadamente [1] :

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774… (secuencia A006752 en OEIS )

No se sabe si G es un número racional o irracional .

La constante Catalana lleva el nombre del matemático belga Eugène Charles Catalan ( en francés: Eugène Charles Catalan ).

Relación con otras funciones

La constante catalana es un caso especial de la función beta de Dirichlet :

{\ estilo de visualización G = \ beta (2).}

También corresponde al valor particular de la función de Clausen , que está relacionada con la parte imaginaria del dilogaritmo

G=\operatorname {Cl} _{2}(\pi /2)=\operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{2}(e^{i\pi /2})\ right)=\operatorname {Im} {\big (}\operatorname {Li} _{2}(i){\big )}.

Además, se asocia a los valores de la función trigamma (un caso especial de la función poligamma ) de argumentos fraccionarios

\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G,

\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G,

asi que

G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left( {\tfrac {3}{4}}\derecho)\derecho].

Simon Pluff encontró un número infinito de identidades entre la función trigammayla constante catalana G. $\psi_{1}$ $\pi^{2}$

La constante catalana también se puede expresar en términos de valores parciales de la función G de Barnes y la función gamma :

G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8)))G({\tfrac {7}{8)))}{G({\tfrac {1}{8)))G({\tfrac {5}{8))))}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8 ))}{\Gamma ({\tfrac {1}{8))))}\right)+{\frac {\pi }{2))\ln \left({\frac {1+{\sqrt { 2}}}{2(2-{\sqrt {2}})))}\derecha).

Representaciones integrales

A continuación se muestran algunas representaciones integrales de la constante catalana G en términos de integrales de funciones elementales :

G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2))}\,dt,

G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\ dy,

G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,

G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx,

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx.

También se puede representar mediante la integral de la integral elíptica completa de primera clase K( x ):

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx.

Series convergentes rápidas

Las siguientes fórmulas contienen series rápidamente convergentes y son útiles para cálculos numéricos:

G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{ \infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}

${\ estilo de visualización G =}$	$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n))}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{ 2))}+{\frac{1}{2^{2}(8n+3)^{2))}-{\frac{1}{2^{3}(8n+5)^{2} }}+{\ fracción {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\ fracción {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}} +{\frac{1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-{}$
	${}-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}( 8n+2)^{2))}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{9}(8n+ 5 )^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7) ^ {2}}}+{\frac{1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\derecha).$

La justificación teórica para el uso de este tipo de series la dio Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar para la primera fórmula [2] y David J. Broadhurst para la segunda fórmula [3] . Los algoritmos para el cálculo rápido de la constante catalana fueron construidos por E. A. Karatsuba [4] [5] .

Fracciones continuas

La fracción continua de la constante catalana (secuencia A014538 en la OEIS ) es la siguiente:

G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9, 3,1,1,1,1,1,1,\puntos ]=

=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots )))))) }}\;

Se conocen las siguientes fracciones continuas generalizadas para la constante catalana:

2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2 }}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\puntos }{\puntos +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\puntos ))))))))))))))))) ))))} }}}

2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{ {\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cpunto (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\puntos }}}}}}} }}}}}}}}}}}

[6]

Cálculo de dígitos decimales

El número de dígitos significativos conocidos de la constante catalana G ha aumentado significativamente en las últimas décadas, gracias tanto al aumento de la potencia informática como a la mejora de los algoritmos [7] .

Número de dígitos significativos conocidos de la constante catalana G

la fecha	Número de dígitos significativos	Autores de cálculo
1865	catorce	Eugenio Carlos Catalán
1877	veinte	James Whitbread Lee Glaisher
1913	32	James Whitbread Lee Glaisher
1990	20 000	Tarifa de Greg J.
1996	50,000	Tarifa de Greg J.
1996, 14 de agosto	100,000	Greg J. Fee y Simon Plouff
1996, 29 de septiembre	300 000	Tomás Papanikolaou
1996	1 500 000	Tomás Papanikolaou
1997	3 379 957	patricio demichel
1998, 4 de enero	12 500 000	Javier Gourdon
2001	100 000 500	Xavier Gourdon y Pascal Sebah
2002	201 000 000	Xavier Gourdon y Pascal Sebah
2006 octubre	5,000,000,000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo [8]
2008 agosto	10,000,000,000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo [9]
31 de enero de 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee y Raymond Chan [10]
16 de abril de 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee y Raymond Chan [10]

Véase también

Notas

↑ Constante del catalán a 1.500.000 lugares (HTML). gutenberg.org. Consultado el 5 de febrero de 2011. Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2009. (indefinido)
↑ B. C. Berndt, Cuaderno de Ramanujan, Parte I, Springer Verlag (1985).
↑ DJ Broadhurst, " Escaleras polilogarítmicas, series hipergeométricas y los diez millonésimos dígitos de ζ(3) y ζ(5) Archivado el 13 de julio de 2019 en Wayback Machine ", (1998) arXiv math.CA/9803067.
↑ EA Karatsuba. Cálculo rápido de funciones trascendentales // Problemas de transmisión de información. - 1991. - T. 27 , N º 4 . - S. 87-110 .
↑ E. A. Karatsuba, Cálculo rápido de algunas integrales especiales de física matemática. Computación científica, valores numéricos validados, métodos de intervalo, W. Krämer, J. W. von Gudenberg, eds.; páginas. 29-41 (2001).
↑ Steven R. Finch Constantes matemáticas 1.6.6
↑ X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation Archivado el 15 de enero de 2011 en Wayback Machine .
↑ Sitio web de Shigeru Kondo Archivado el 11 de febrero de 2008.
↑ Constantes y Registros de Cómputo . Consultado el 6 de febrero de 2011. Archivado desde el original el 15 de enero de 2011. (indefinido)
↑ 12 cálculos grandes . Consultado el 6 de febrero de 2011. Archivado desde el original el 9 de diciembre de 2009. (indefinido)

Enlaces

Victor Adamchik, 33 representaciones para la constante catalana
Víctor Adamchik. Cierta serie asociada a la constante catalana // Zeitschr . F. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA): revista. - 2002. - vol. 21 , núm. 3 . - P. 1-10 .
Simon Plouffe, Algunas identidades (III) con el catalán Archivado el 20 de abril de 2009 en Wayback Machine , (1993)
Simon Plouffe, Algunas identidades con la constante catalana y Pi² Archivado el 21 de abril de 2009 en Wayback Machine , (1999)
Weisstein, Eric W. Catalan's Constant (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Constante catalana: series de potencias generalizadas en Wolfram Functions
Greg Fee, Catalan's Constant (Fórmula de Ramanujan) (1996)
David M Bradley. Una clase de fórmulas de aceleración de series para la constante catalana // The Ramanujan Journal : journal. - 1999. - vol. 3 , núm. 2 . - pág. 159-173 . -doi : 10.1023/A : 1006945407723 .
David M. Bradley (2007), Una clase de fórmulas de aceleración en serie para la constante catalana, arΧiv : 0706.0356 .

Números con nombres propios

constantes matemáticas

Algebraico

Trascendental ,
probablemente trascendental

Grados de mil

Antiguos números rusos

Otras potencias de diez

potencias de doce

otro entero

Otros números

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