Signo de kummer

El criterio de Kummer es un criterio general para la convergencia de series numéricas con términos positivos, establecido por Ernst Kummer .

Redacción

Supongamos que se dan una serie y una secuencia numérica arbitraria tales que la serie diverge. Entonces la serie converge si la siguiente desigualdad se cumple para todos: $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}\,(a_{n}\geqslant 0)$ $\{c_{n}\}\,(c_{n}\geqslant 0)$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta

donde _ $\delta>0$

Si para , entonces la serie diverge. $K_{n}\leqslant 0$ $n>N$

Prueba [1]

Dada una fila . $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

1. Prueba de convergencia. Sea la desigualdad válida para todos: $norte$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta >0

Multiplicando ambas partes de esta desigualdad por , obtenemos: $a_{{n+1}}$

$c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}\geqslant \delta \cdot a_{{n+1}}$ ,

(*)

y desde entonces: $\delta>0$

c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}>0

c_{n}\cdot a_{n}>c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}

Esto implica que la sucesión es monótonamente decreciente y, por tanto, tiende a un límite finito (ya que está acotada por abajo por cero). En consecuencia, la sucesión ) converge, que es la suma de los primeros términos de la serie $c_{n}\cdot a_{n}$ $(c_{1}\cdot a_{1}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}$ $norte$

\sum _{{n=1}}^{\infty}(c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}})

que por lo tanto también converge. Pero luego de la desigualdad (*), según el primer teorema de comparación , se sigue que la serie converge . Entonces, ya que , esta serie también debe converger . $\sum _{{n=1}}^{\infty}\delta a_{{n+1}}$ $a_{n}\leqslant\delta a_{{n+1}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

nota _ Al probar la convergencia, no se utiliza la condición de que la serie diverja. $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{c_{n}}}$

2. Prueba de divergencia. Ahora permita que la siguiente desigualdad se cumpla para algunos: $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\leqslant 0

c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}\leqslant c_{{n+1}}

Dividiendo ambos lados de esta desigualdad por obtenemos: $c_{{n+1}}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}$

{\frac {a_{{n+1}}}{a_{{n}}}}\geqslant {\frac {{\frac {1}{c_{{n+1}}}}}{{\frac {1}{c_{n}}}}}}

Dado que, según las condiciones del teorema, se supone que la serie es divergente, entonces, en virtud del teorema de comparación , esta serie también debe divergir . ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

Formulación en forma límite

Si hay un límite:

K=\lim _{{n\a \infty}}K_{n}

entonces para , la serie converge y para , diverge. $k>0$ $k<0$

Casos especiales importantes

Algunas otras pruebas para la convergencia de series son casos especiales de la prueba de Kummer con tipos específicos de secuencia : $c_n$

Cuando - un signo de d'Alembert ; $c_{n}=1$
Cuando - un signo de Raabe ; $c_{n}=n$
Cuando es un signo de Bertrand . $c_{n}=n\,{\mathrm {ln))\,n$

Notas

↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral . — M .: Nauka, 1970.

Literatura

Signo de Kummer - artículo de la Enciclopedia de Matemáticas

Enlaces

Weisstein, prueba de Eric W. Kummer (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich