Producto de espacios topológicos

Un producto de espacios topológicos es un espacio topológico obtenido como conjunto por el producto cartesiano de los espacios topológicos originales, y dotado de una topología natural denominada topología del producto [1] [2] o topología de Tikhonov . La palabra "natural" se usa aquí en el sentido de teoría de categorías y significa que esta topología satisface alguna propiedad universal .

Esta topología fue estudiada por primera vez por el matemático soviético Andrei Tikhonov en 1926 .

Definiciones

Dejar:

\{X_{\alfa}:\alfa \en A\}

es una familia de espacios topológicos,

X=\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }

es su producto cartesiano (como conjuntos),

p_{\alfa}:X\a X_{\alfa}

es la proyección del producto sobre el factor correspondiente.

La topología de Tikhonov es la topología más aproximada (es decir, la topología con la menor cantidad de conjuntos abiertos ) para la cual todas las proyecciones son continuas . Los conjuntos abiertos de esta topología son todas las posibles uniones de conjuntos de la forma , donde cada uno es un subconjunto abierto y solo para un número finito de índices. En particular, los conjuntos abiertos del producto de un número finito de espacios son simplemente las uniones de los productos de los subconjuntos abiertos de los espacios originales. $X$ $p_{\alfa}$ $\prod _{i\in I}U_{i}$ $tu_{i}$ $X_{yo}$ $U_{i}\neq X_{i}$

Además, la topología de Tikhonov se puede describir de la siguiente manera: se toma una familia de conjuntos como base previa de la topología . La base de la topología son todas las posibles intersecciones finitas de conjuntos desde , y la topología son todas las posibles uniones de conjuntos desde la base. $X$ ${\mathfrak {P}}=\{p_{\alpha }^{-1}(U):\alpha \in A,\,U\in {\mathfrak {T}}_{\alpha }\}$ ${\mathfrak {P}}$

La topología de Tikhonov es más débil que la llamada topología de "caja", para la cual la base de la topología está formada por todos los productos posibles de subconjuntos abiertos de espacios multiplicadores. Tal topología no tiene la propiedad universal anterior y el teorema de Tikhonov no es cierto para ella .

Ejemplos

La topología habitual en (la topología inducida por la métrica ) es la topología del producto en el grado cartesiano $\mathbb{R} ^{n}$ $\matemáticas {R} .$

El conjunto de Cantor es homeomorfo al producto de un número contable de copias del espacio discreto {0,1}, y el espacio de números irracionales es homeomorfo al producto de un número contable de espacios de números naturales (con topología discreta).

Propiedades

El espacio topológico , junto con las proyecciones a cada componente , se puede definir usando la propiedad universal : si es un espacio topológico arbitrario y para cada uno se da un mapeo continuo, entonces hay un mapeo único tal que para cada uno el siguiente diagrama es conmutativo: $X$ $X_{yo}$ $Y$ $yo en yo$ $Y\a X_{i},$ $Y a X,$ $yo en yo$

Esto muestra que el producto de Tikhonov es un producto en la categoría de espacios topológicos . De la propiedad universal se sigue que una aplicación es continua si y sólo si toda aplicación es continua.En muchas situaciones, la continuidad es más fácil de comprobar. $f:Y\a X$ $f_{i}=p_{i}\circ f,$ $f_{i}$

Las proyecciones no solo son continuas, sino también asignaciones abiertas (es decir, cada conjunto abierto del producto, cuando se proyecta en un componente, entra en un conjunto abierto). Lo contrario, en términos generales, no es cierto (un contraejemplo es un subconjunto que es el complemento de un círculo abierto). Además, las proyecciones no son necesariamente mapeos cerrados (un contraejemplo es que las imágenes de proyecciones de un conjunto cerrado sobre los ejes de coordenadas no son subconjuntos cerrados de la línea). $Pi}$ $\mathbb {R} ^{2},$ $\{(x,y)\en \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\},$

La topología de un producto a veces se denomina topología de convergencia puntual. La razón de esto es la siguiente: una secuencia de elementos de un producto converge si y solo si su imagen converge cuando se proyecta sobre cada componente. Por ejemplo, la topología de un producto en el espacio de funciones de valor real en es una topología en la que una secuencia de funciones converge cuando converge puntualmente. $\mathbb{R} ^{I},$ $yo$

Relación con otros conceptos topológicos

Axiomas de separabilidad :

El producto de -spaces tiene la propiedad . $T_{0}$ $T_{0}$
El producto de -spaces tiene la propiedad . $T_{1}$ $T_{1}$
El producto de los espacios de Hausdorff es Hausdorff.
El producto de espacios regulares es regular.
El producto de espacios completamente regulares es completamente regular.
El producto de los espacios normales no siempre es normal .

Compacidad :

El producto de los espacios compactos es compacto .
El producto de espacios localmente compactos no siempre es localmente compacto. Sin embargo, el producto de una familia de espacios localmente compactos en los que todos menos un número finito de componentes son compactos es localmente compacto.

Conectividad :

El producto de espacios conectados (respectivamente, conectados por caminos) es conexo (respectivamente, conectados por caminos).
El producto de espacios completamente desconectados es completamente desconectado.

Compacidad de los productos Tikhonov

Teorema de Tikhonov : si todos los conjuntos son compactos , entonces su producto de Tikhonov también es compacto. $X_{\alfa}$

Para probar la afirmación, según el teorema de la prebase de Alexander , basta probar que todo recubrimiento por elementos de una prebase admite una subcubierta finita. Para cualquier , sea la unión de todos los conjuntos para los que el conjunto está contenido en la cubierta. Entonces la parte descubierta del espacio X se expresa mediante la fórmula: ${\mathfrak {P}}$ $\alfa$ $V_{\alfa}$ $U\en X_{\alfa}$ $\pi _{\alfa}^{-1}(U)$

\prod \limits _{\alpha \in A}X_{\alpha }\setminus V_{\alpha }

Como este conjunto está vacío, al menos un factor debe estar vacío. Esto significa que, para algunos , la cobertura en consideración contiene la -preimagen de la cobertura del espacio . Debido a la compacidad del espacio , se puede distinguir una subcubierta finita de su cubierta, y entonces su imagen inversa con respecto al mapeo será una subcubierta finita del espacio . $\alfa$ $\pi _{\alfa}$ $X_{\alfa}$ $X_{\alfa}$ $\pi _{\alfa}$ $X$

Véase también

Cubo de Tikhonovsky

Notas

↑ Yu. G. Borisovich, N. M. Bliznyakov, T. N. Fomenko. Introducción a la topología. 2ª ed., añadir. — M.: Nauka. Fizmatlit., 1995. ISBN 5-02-014118-6 . art. 107.
↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Topología elemental. — M.: MTSNMO, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9 . art. 158.

Literatura

Engelking R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.