La proporción ( en alemán Proportionierung , del latín pro-portio - ratio, dimensión) es una forma de armonizar una forma basada en la igualdad de las relaciones cuantitativas de sus partes. La proporcionalidad es la igualdad (constancia) de los cocientes de dos o más variables . En matemáticas , una proporción es tal relación (dependencia) de cantidades que, cuando una cantidad aumenta o disminuye varias veces (duplicación, triplicación, reducción a la mitad,...), otra aumenta o disminuye en la misma cantidad. Por ejemplo, 1 : 2 = 3 : 6. La relación de tales cantidades se denomina coeficiente de proporcionalidad o constante de proporcionalidad [1] .
En la teoría del arte y la práctica artística se ha desarrollado una definición estable: “Proporción es una relación regular de los tamaños de las partes de una obra de arte entre sí, así como de cada parte con la obra en su conjunto” [2] .
En la filosofía de la cultura, este concepto se considera más ampliamente como una forma de establecer una estructura formal óptima y holística utilizando el método de coordinación cuantitativa de las partes y el todo, pero distingue este concepto de la categoría de integridad significativa - composición [3] .
En la teoría arquitectónica, por el contrario, se utiliza una definición más estrecha: la proporción es la relación entre la longitud, la anchura y la altura de un edificio, fachada o sus partes. El estudio teórico de las proporciones en arquitectura se conoce como teoría de las proporciones [4] .
El concepto de dosificación en la historia del arte clásico
En el antiguo Egipto existía una teoría de las proporciones bastante compleja , no solo en las matemáticas, sino también en el arte [5] . De los sacerdotes egipcios, los antiguos griegos y romanos heredaron la teoría matemática de las proporciones. En general, se acepta que la primera palabra griega "analogía" ( otro griego ἀναλογία ), que literalmente significa "re-relación", fue reemplazada por el análogo latino de lat. proportio orador romano Cicerón .
Los estudios de los pitagóricos permitieron separar el contenido de los conceptos de "proporcionalidad" y "proporcionalidad". El antiguo arquitecto romano Vitruvio en el tratado " Diez libros sobre arquitectura " (13 a. C.) llamó "proporcionalidad simple", o la norma métrica, la palabra "simetría" como simetría, y la organización de la composición de repetición regular, rítmica o dinámica. elementos - proporción [6] . Vitruvio agregó a esto el concepto de modus ( lat. modus - medida, tamaño, extensión, posición). Modalidad, o modalidad, es la consistencia de todas las partes del formulario en base a algún elemento, más a menudo el módulo (la parte más pequeña tomada como unidad de medida). La modalidad le da a la estructura proporcional un colorido emocional, una cierta tonalidad (en la teoría moderna de la armonía, estos conceptos se extienden a las relaciones de color y sonido).
Los métodos y técnicas prácticos de dosificación se basan en la distinción entre los conceptos de "ratio" y "proporción". Las proporciones de cantidades o partes de un todo entre sí son de varios tipos. Los más simples son los múltiplos expresados como números enteros. Por ejemplo, la relación de los lados de un cuadrado (1:1) o un rectángulo formado por dos cuadrados (1:2). Las relaciones irracionales se expresan mediante una fracción infinita. La proporcionalidad en la teoría de la armonía, como en las matemáticas, se refiere a la igualdad de dos o más razones. En consecuencia, la mejor proporción es aquella en la que las proporciones de las partes y de cada parte con respecto al todo son iguales. Se llama la sección áurea , o proporción divina ( lat. Sectio Aurea; Proportia Divina ).
El antiguo filósofo griego Platón (c. 427-347 a. C.) mencionó el método geométrico de duplicar el área de un cuadrado construyendo un cuadrado más grande en su diagonal. El segundo cuadrado contiene cuatro "mitades" del primero, por lo tanto, su área es el doble [7] . Esta construcción tan simple contiene una importante regularidad. La diagonal de un cuadrado es una cantidad irracional. Si tomamos el lado de un cuadrado como 1, entonces su diagonal es igual o 1,414... Así, un sistema de medidas basado en un cuadrado y su diagonal conlleva la dualidad, un principio polifónico de relaciones entre números enteros simples y números irracionales.
En la historia del arte antiguo, se conoce el término "figuras cuadradas" (( griego antiguo τετραγωνος ). El antiguo escritor romano Plinio el Viejo (23-79 d. C.) llamó a las estatuas de bronce de la escuela argiva "que parecen cuadradas" ( lat. signa quadrata ) , en particular los famosos " Dorifor " y " Diadumen " del escultor Policleto... Al mismo tiempo, se refirió al enciclopedista Marcos Terencio Varro (116-27 a. C.), sugiriendo que la palabra "cuadrado" puede No se indica la naturaleza de la silueta de la estatua, sino el método de dosificación, expuesto en la obra teórica de Policleto " Canon " (la obra no se ha conservado) [8] .
Las estatuas de atletas en la imagen de Polykleitos realmente se ven "cuadradas" (en una traducción diferente, "proporciones anchas"). Al analizar sus proporciones, resulta que el módulo de la figura es el lado del cuadrado, cuya diagonal, a su vez, sirve como el lado del cuadrado más grande, etc. Como resultado, todas las partes de la estatua se alinean. proporcionalmente en el sistema de "medidas de par": relaciones racionales e irracionales. Entonces, la altura de toda la figura se divide en dos, cuatro y ocho partes (la cabeza de la figura es 1/8 de la altura). Sin embargo, durante el movimiento plástico (el atleta descansa sobre una pierna, la otra pierna está doblada por la rodilla y hacia atrás), surgen relaciones irracionales. Si tomamos como una unidad (el lado de un pequeño cuadrado) la parte superior de la figura (independientemente de su tamaño real), la cabeza y el torso hasta la cresta ilíaca (sobre la que descansan los músculos oblicuos), como una unidad, entonces la parte inferior de la figura (cintura pélvica y pierna de apoyo) será igual a 1,618 (el lado del cuadrado mayor). En consecuencia, la altura total de la figura es 2.618. Estas relaciones están conectadas por el patrón de la " sección áurea ", descubierta por los antiguos egipcios y que es universal [9] .
Cabe señalar que las referencias a valores canónicos supuestamente inmutables y más armoniosos que a menudo se encuentran en la literatura popular no tienen suficiente justificación científica. Las medidas de las estatuas antiguas, en las que se basan tales teorías, en particular las que figuran en los estudios clásicos de A. Zeising : “Sobre las proporciones del cuerpo humano ..” (1854) [10] y “Investigación estética” (1854) ) [11] , tiene un carácter cambiante y aleatorio y está hecho "muy descuidadamente" [12]
Las inferencias sobre los números armónicos absolutos e invariables supuestamente contenidos en obras de arte sobresalientes son inútiles por varias razones. En primer lugar, las estatuas antiguas más destacadas no son copias, sino réplicas más recientes y aproximadas de los originales que no se han conservado, difiriendo mucho en los detalles, ya que los maestros de las escuelas romana y neoática no vieron los originales y se basaron únicamente en ellos. descripciones literarias aproximadas y otras réplicas en otros materiales y tamaños. En segundo lugar, todas las esculturas se dan en varios movimientos: inclinaciones de cabeza, giros de torso, posiciones de brazos y piernas. En tales casos, no está claro qué puntos de medición se consideran correctos: anatómicos o visuales, percibidos en perspectivas reales. En tercer lugar, los cánones proporcionales , aunque fueran fijos, cambiaron significativamente a lo largo de los siglos e incluso décadas, dependían de la época, los manierismos, el tiempo y el lugar de trabajo de los maestros y las escuelas . Por ejemplo, en las esculturas de los períodos clásicos, la época de Policleto y Fidias, y el helenismo , en las obras de Lisipo y Praxíteles. Lo mismo se aplica a la arquitectura. Es obvio que el secreto de la armonía de las proporciones no está en los "números ideales", sino en las leyes de las relaciones proporcionales móviles y dinámicas [13] .
También es característico que la teoría de la dosificación se haya desarrollado intensamente durante períodos de la actitud más racional hacia la naturaleza y el arte. Entonces, desde 1496 en Milán , el artista Leonardo da Vinci y el matemático Luca Pacioli intentaron conjuntamente crear una teoría similar en el tratado " Proporción divina " ( lat. De Divina Proportione ). El texto principal y los cálculos matemáticos, así como la publicación del libro, fueron realizados por L. Pacioli. Se han conservado dos manuscritos de este tratado, uno en la Biblioteca Pública de Ginebra, el segundo, en la Biblioteca Ambrosiana de Milán. Leonardo completó las ilustraciones, incluyendo posiblemente la conocida como el Hombre de Vitruvio . El tratado se completó el 14 de diciembre de 1498. Se hicieron grabados en madera a partir de los dibujos de Leonardo. El tratado fue publicado en Venecia en 1509 [14] [15] .
La teoría de las proporciones fue desarrollada por muchos artistas del Renacimiento: Lorenzo Ghiberti , Leon Battista Alberti , Albrecht Dürer , más tarde I. D. Preisler .
Formas de dosificar en la historia de la arquitectura
En la práctica de la construcción, los arquitectos de diferentes épocas antes del surgimiento de la teoría científica de la armonía, por regla general, siguieron intuitivamente las leyes de la armonización de formas. Estas habilidades se transmitieron de padres a hijos por muchas generaciones de maestros de artels de construcción itinerantes ("francmasones" - albañiles ). En contraste con las profundidades irracionales de la creatividad, las leyes numéricas de las proporciones de las cantidades están sujetas a cálculos, análisis y fijación precisos y, por lo tanto, son más fáciles de transferir de una generación de maestros a otra, de maestros a aprendices como " secretos de maestría".
La “media áurea” ( lat. aurea mediocritas ) sirvió como criterio intuitivo para la armonía de proporciones, y las proporciones de magnitudes observadas en la naturaleza sirvieron como modelo. Entonces, los antiguos helenos en su arquitectura usaron números enteros, módulos múltiples y técnicas racionales, pero introdujeron "correcciones ópticas" y matices, lo que le dio a las proporciones de magnitudes una ligera irregularidad. Estos son curvatura ( lat. curvatura - curvatura, curvatura de líneas rectas y planos), éntasis ( otro griego ἔντασις - estrés) - un ligero engrosamiento de las columnas en la parte media, contracción (violación de la igualdad de intercolumnas , convergencia de distancias entre columnas).
También utilizaron relaciones epimorales ( griego antiguo επι - sobre, sobre y otro griego μοριον - parte, partícula), en las que, a diferencia de los múltiplos simples (1:2; 1:3; 1:4), el exceso de la mayor parte es igual a una parte del menor (por ejemplo: 2:3; 3:4; 8:9), que está casi cerca de la proporción de los "segmentos de oro". Este método se manifestó, en particular, al calcular el número de columnas de los antiguos templos griegos en las fachadas frontal y lateral según la fórmula epimoral: n : (n + 1), cuando el número de columnas en la fachada lateral es uno más que en el frente. Fue esta regularidad la que los griegos llamaron "analogía".
En el Museo Arqueológico Nacional de Nápoles y en el Museo Terme de Roma se conservan objetos insólitos encontrados durante las excavaciones de Pompeya y llamados convencionalmente compases proporcionales . Se diferencian en los detalles, pero convergen en lo principal: dos tablones de madera están entrelazados con una bisagra fija. Las proporciones de sus lados corresponden a la regla de la "sección áurea". Los arqueólogos encuentran herramientas similares en diferentes regiones del mundo antiguo. Probablemente sirvieron como estándares de módulos proporcionales en la arquitectura [16] .
El sistema de proporciones en la arquitectura siempre ha estado estrechamente relacionado con la técnica y la tecnología de la construcción, el desarrollo de la geometría y los métodos de medición de cantidades. La necesidad de trazar la planta del edificio en el suelo a tamaño natural contribuyó al desarrollo de técnicas para construir ciertas relaciones proporcionales tanto en el plano horizontal como en el vertical. La forma más simple de proporcionar tal proporción era construir un ángulo recto en el suelo, del cual dependía la proyección del centro de gravedad de la futura estructura hacia el centro de la base (perpendicular desde la parte superior al plano del suelo): la primera condición para la solidez y fiabilidad del edificio. Los arquitectos antiguos resolvieron este problema de forma ingeniosa y sencilla. Tomaron una cuerda de medir, una cuerda dividida por nudos en doce partes iguales, conectaron sus extremos (duodécimo y cero nudos) y, estirando en el suelo, clavaron clavijas en el suelo en las divisiones tercera, séptima y duodécima. En este caso, se obtuvo un triángulo con una relación de lados de 3: 4: 5. Tal triángulo, según uno de los axiomas de la geometría y el teorema de Pitágoras, siempre será rectangular. Habiendo recibido un ángulo recto sin ningún cálculo, los constructores podrían aumentarlo al tamaño deseado, transferirlo a un plano vertical. Debido a sus propiedades universales, tal triángulo en la historia de la arquitectura se denominó: " triángulo sagrado egipcio " . Una de las gigantescas pirámides de Giza , la Pirámide de Khafre , tiene dos “triángulos sagrados” en sección transversal, y la relación entre la altura y el lado de la base cuadrada es de 2:3 (143,5: 215,25 m). Durante mucho tiempo, estas dimensiones han disminuido algo (136,4: 210,5 m).
Los números del triángulo: 3, 4, 5, su suma es 12, y también 7, la suma de 3 y 4, se encuentran constantemente en la naturaleza y también fueron venerados como sagrados. Según las ideas religiosas, la geometría universal del triángulo egipcio personificaba a la Gran Tríada de dioses: Isis y Osiris (dos piernas) y su hijo Horus (hipotenusa). “El ser y el no ser se comparan con Isis y Osiris, y la diagonal con Horus-Falcon” ( Egipto. ḥr - “altura”, “cielo”) [17] .
Los antiguos griegos llamaron a los constructores de las pirámides egipcias "harpedonauts" ("camillas de cuerdas" del otro griego αρπεδονη - lazo, soga). El arquitecto francés A. Fournier de Cora, el artista noruego E. Kielland y el arquitecto ruso V. N. Vladimirov , estudiando las técnicas de dosificación de los arquitectos antiguos, llegaron de forma independiente a un modelo que combina figuras geométricas y relaciones numéricas, naturalmente repetidas en las plantas y secciones. de las estructuras antiguas. Tal modelo fue llamado el "sistema egipcio de diagonales" [18] [19] [20] [21] .
Si tomamos un cuadrado (con una relación de aspecto de 1:1) y proyectamos su diagonal (igual a la raíz cuadrada de dos) sobre la continuación de uno de los lados, y luego restauramos la perpendicular desde el punto encontrado, obtenemos un nueva figura - un rectángulo. Habiendo dibujado una diagonal en él, encontramos que es igual a la raíz cuadrada de tres. Repitamos la construcción y veamos un nuevo rectángulo con un lado más largo. La diagonal de este rectángulo será igual a la raíz cuadrada de cuatro, es decir, 2. Proyectando esta diagonal como en los casos anteriores y restableciendo la perpendicular, obtenemos el llamado cuadrado de dos adyacentes (formado por dos cuadrados iguales) con una diagonal igual a la raíz cuadrada de cinco. Dentro de un cuadrado de dos adyacentes (dos cuadrados forman con mayor frecuencia los planos de los templos del antiguo Egipto) se colocan una serie de diagonales y, en consecuencia, valores irracionales, conectados por una secuencia determinada.
La relación entre el lado de un cuadrado y su diagonal se usaba a menudo en construcciones proporcionales, ya que facilitaba la formación de una serie continua de cantidades interrelacionadas. El sistema de cuadrados inscritos o descritos con diagonales era conveniente, porque le daba al arquitecto una especie de escala proporcional, a partir de la cual podía construir la proporcionalidad de las partes del edificio.
El método geométrico para construir la "sección dorada" es idealmente simple, ya que no requiere ningún cálculo e involucra solo dos movimientos de la brújula. No ha cambiado hasta nuestros días y se llama "el camino de los arquitectos" . El lado pequeño del "triángulo egipcio" (tamaño 1) se coloca con un compás o una cuerda de medir en la hipotenusa pitagórica (también es la diagonal de un cuadrado de dos adyacentes, igual a la raíz cuadrada de cinco). Luego, el resto de la diagonal (la raíz cuadrada de cinco menos uno) se transfiere por el movimiento opuesto de la brújula al cateto mayor (igual a dos). Como resultado, la pierna grande se dividirá en dos partes desiguales, de un vistazo en el que se sienten relaciones armónicas. Estas sensaciones se pueden verificar mediante cálculo. Designemos la parte más grande de la pierna dividida en partes por la letra "A", y la más pequeña, por "B". Entonces la razón de todo el cateto (A + B) a su mayor parte (el resto de la diagonal) será dos dividido por la raíz cuadrada de cinco menos uno. Para cualquier valor, esta relación se expresará mediante un número irracional, una fracción infinita: 1.618033 ... Si verificamos la relación entre la parte más grande (A) y la parte más pequeña del segmento dado (B), entonces, sorprendentemente , obtendrá el mismo número: 1.618033 ... Dicha fórmula se puede escribir de la siguiente manera: (A + B) : A \u003d A : B (el todo está relacionado con la parte más grande de la misma manera que la parte más grande está relacionado con el más pequeño). De un cambio en los lugares de los miembros de esta proporción, el resultado no cambia.
El significado estético de la fórmula radica en el hecho de que esta proporción es la mejor y la única posible: ese caso ideal cuando las proporciones de las partes de cualquier tamaño (forma) se igualan entre sí y cada una de estas partes con el todo. Todas las demás relaciones armónicas conectan solo partes separadas de la forma, y la "proporción áurea" conecta todas las partes y el todo. En otras palabras, en la "fórmula de la belleza" las relaciones de las partes y el todo están conectadas por una sola regularidad. Según Platón, "la mejor analogía hace que el todo y sus partes sean inseparables". Además, todas las cantidades se pueden dividir hasta el infinito y conservarán sus "propiedades áureas". Otros métodos y técnicas de armonización son de carácter particular, y la "proporción áurea" es universal. De ahí el nombre.
El ejemplo más llamativo del funcionamiento de este patrón es la relación entre la planta y la fachada del Partenón de Atenas (447-438 aC), el estándar de armonía universalmente reconocido. Los investigadores siempre se han sorprendido en las medidas de esta obra maestra de la arquitectura por la presencia de múltiples medidas y relaciones irracionales, en particular, la desviación de la planta del templo del tamaño tradicional de dos cuadrados. La regla de la "proporción áurea" explica esta "rareza". Si proyectamos la diagonal de los dos cuadrados adyacentes del estilobato del Partenón en la continuación de su lado largo, obtendremos las proporciones reales del plano de este edificio: uno a la raíz cuadrada de cinco. En otras palabras, si el ancho de la fachada principal del templo (30,89 m) se toma como 1, entonces la relación entre el ancho y el largo de la fachada lateral a lo largo del estilobato (69,54 m) será uno a la raíz cuadrada de cinco. Todas las dimensiones del espacio interno están conectadas por las mismas relaciones: naos , pronaos y opisthodom [22] .
La fachada principal del Partenón (sin el frontón triangular) encaja en un cuadrado de dos adyacentes. La columna junto con el capitel (10,43 m) es el miembro más pequeño de la "proporción áurea". La sección más grande de la "sección dorada" corresponde a la altura total del edificio, incluido el techo. Las mismas relaciones se repiten en detalle hasta el más pequeño [23] . El “número áureo” original (1,618033…) suele denotarse por brevedad con la letra griega φ (“phi”), que comienza con el nombre del destacado escultor y arquitecto de la antigüedad Fidias, uno de los creadores del Partenón.
Los antiguos arquitectos rusos utilizaron técnicas similares. Los artesanos carpinteros realizaron el marcado del plan de construcción directamente en el suelo sin cálculos basados en el cuadrado y su diagonal. Para ello, utilizaban una cuerda de medir y clavijas de madera clavadas en el suelo. La medida principal era la longitud del tronco, y el módulo de la caja estaba formado por coronas apiladas una encima de la otra: cuatro troncos conectados en las esquinas, formando un cuadrado. La tarea de construir un ángulo recto se resolvió con la ayuda de cordones bidimensionales: el método de igualar las diagonales de la corona superpuesta (inferior) (la igualdad de las diagonales da un cuadrado). Siguiente tarea: proyectar la diagonal (o su derivada) sobre la extensión del lado del cuadrado dio como resultado el segundo módulo, igual al lado del cuadrado del doble del área. En el suelo, se dibujó un plan para un edificio futuro, por ejemplo, una iglesia: la jaula principal (la llamada iglesia de la jaula) con un vestíbulo y un altar adjunto. Es natural que los antiguos carpinteros rusos encontraran de forma independiente la solución práctica más sencilla al problema, bien conocida en la antigüedad [24] .
En la década de 1950, el historiador y arqueólogo B.A. Rybakov estudió las antiguas "Babilonias" rusas: signos gráficos que consisten en rectángulos o cuadrados similares inscritos uno dentro del otro. Se encuentran en excavaciones en fragmentos de arcilla (ceramidas) y losas de piedra, del siglo XVII, en las crónicas rusas. Según el investigador, "Babilonia" es una representación esquemática de la Torre de Babel y al mismo tiempo un símbolo del canon proporcional [25] .
Con el tiempo, a partir de una simple experiencia de carpintería en la antigua Rus, se desarrolló un exquisito sistema de dosificación basado en el “sistema de medidas pareadas”: números racionales e irracionales. Esto se evidencia por las medidas de los templos. El estudio de las antiguas medidas rusas de longitud según B. A. Rybakov y otros investigadores confirma este hecho. Los constructores no usaron uno o dos sázheny como medidas de longitud , sino seis principales y uno adicional. La cuerda medida de los antiguos carpinteros rusos se llamaba “sokar” (del griego antiguo σωχος - fuerte).Los tamaños de brazas cambiaban, sin embargo, el patrón de dosificación no estaba en alguna medida ideal, sino en su relación y, sobre todo, con el Tamaño de la figura humana. Esta antigua tradición, llamada antropomorfismo , se conservó en el arte bizantino y ruso antiguo.
Comparando las proporciones de varios sazhens utilizados en la antigua construcción rusa, y habiendo construido una "Babilonia" (según B. A. Rybakov), es posible, tomando cierta libertad, inscribir en esta "Babilonia" la figura de un hombre según el célebre dibujo de Leonardo da Vinci , asociado, según sugieren, a un tratado de arquitectura de Vitruvio ("El Hombre de Vitruvio "; latín Homo vitruvianus ). El antropomorfismo de las antiguas medidas rusas de longitud es obvio, como lo es la analogía de los sistemas dimensionales de la Rus medieval y el Occidente europeo.
Los artels de construcción medievales de Europa occidental utilizaron principalmente dos métodos de construcciones geométricas. La forma más sencilla de calcular tamaños, remontándose a las antiguas "figuras cuadradas", se llamaba: cuadratura . Este método fue descrito por primera vez por el masón alemán (francmasón) de Ratisbona , el constructor de catedrales Matthaus Roritzer en 1486. Recibió el nombre de "alemán". Todo el edificio se inscribió en un cuadrado (en relación de planta y altura), y los valores derivados se determinaron por la diagonal del cuadrado construido sobre el ancho de la fachada principal del edificio. Tal ejemplo, basado en las medidas de la fachada de la Catedral de Notre Dame en París , se da en su famoso libro de Auguste Choisy [26] .
Otro método se llama triangulación . A este método también se le dio un significado místico, especialmente en la construcción de templos, ya que el triángulo equilátero es un símbolo de la Santísima Trinidad . En la práctica, según la reconstrucción de B. R. Vipper , se veía así. En el sitio de construcción seleccionado, exactamente al mediodía, se cavó un poste en el suelo: un gnomon (puntero), que indica el centro de la fachada principal occidental del futuro edificio. El sol del mediodía en las latitudes medias proyecta una sombra desde el gnomon exactamente hacia el norte, y la mitad del ancho de la fachada se apartó en esta dirección. La otra mitad se midió en la dirección opuesta. Luego, sobre el ancho obtenido de la fachada principal, con la ayuda de cuerdas de medir, se construyó en el suelo un triángulo isósceles (en otros casos, equilátero). Su remate marcaba la mitad de la longitud de la nave principal del futuro templo. Luego se reflejó un segundo triángulo. La mediana de los triángulos, perpendicular a la línea de la fachada, determinaba la línea media de la nave principal del templo, orientada según el eje oeste-este. Las bases de los triángulos se dividieron en cuatro partes iguales. Esto dio la proporción correcta del ancho de la nave principal y las dos laterales, que se suponía que debían ser dos veces más estrechas. Los puntos de intersección de pequeños triángulos marcaron los lugares de futuros soportes. Tal triangulación podría descomponerse en valores infinitesimales, trasladados a un plano vertical, determinando los principales puntos estructurales de las fachadas y la estructura interna del edificio [27] .
Al colocar la primera piedra de la Catedral de Milán en 1387, se invitó a arquitectos de Alemania y Francia, quienes discutieron: si construir el templo según el "método alemán" (ad quadratum) - sobre la base de un cuadrado y su diagonal - o según el "método francés" (ad triangulum) - sobre la base del triángulo equilátero. Un dibujo de la sección transversal de la Catedral de Milán (según la cruz del medio), realizado en 1391 por Gabriele Stornalocco de Piacenza, se incluye en la edición italiana del tratado de Vitruvio Diez libros sobre arquitectura de Cesare Cesariano de 1521. Este dibujo demuestra claramente el "sistema acoplado", en el que los principales puntos estructurales de la catedral están inscritos no solo en triángulos equiláteros, sino también en círculos concéntricos. Tal "sistema conectado" da la mayor fuerza e integridad visual a toda la estructura.
La teoría de las proporciones en la arquitectura durante el Renacimiento fue desarrollada por Leon Battista Alberti , Andrea Palladio , N. A. Lvov . En el Nuevo Tiempo - I. V. Zholtovsky , O. I. Guryev , I. P. Shmelev.
Se sabe que Andrea Palladio no utilizó cálculos complejos y números irracionales. En su tratado " Cuatro libros de arquitectura " (1570), no menciona la regla de la sección áurea, pero sugiere dosificar los edificios "en uno o dos cubos". Sin embargo, en los edificios de Palladio se repiten las proporciones: 2:3:5. El arquitecto veneciano también recurrió a construir semejanzas de rectángulos de diferentes tamaños a partir de diagonales paralelas o perpendiculares (uno de los axiomas de la geometría). Esta técnica ha recibido en la historia de la arquitectura el nombre de "regla del ángulo recto". Uno de los símbolos de la armonía de proporciones en la historia de la arquitectura es el famoso edificio de Villa Rotunda de Palladio .
El investigador de la obra de Palladio, el arquitecto O. I. Guryev , destacó que, sin mencionar la "sección áurea", sino siguiendo la "regla de los rectángulos y cubos semejantes", y construyéndolos sobre diagonales paralelas o perpendiculares, Palladio estableció las proporciones de cantidades que se determinan por "miembros o relacionados con la serie de Fibonacci: 9:5 es tres veces la proporción de 3:5, y 3:1 es el doble de la proporción de 3:2, etc." [28] .
El arquitecto francés Le Corbusier creó su famoso “ Modulor ” sobre la base del sistema tradicional de medidas pareadas, la “regla del ángulo recto” y dos “escalas” (valores racionales e irracionales) .
El arquitecto y teórico del arte de San Petersburgo Igor Pavlovich Shmelev, estudiando las leyes de la armonía, creó su propia interpretación del canon de los antiguos sacerdotes egipcios basándose en el análisis de tablas de madera de la tumba de Khesi-Ra, un sacerdote del dios Horus. y principal arquitecto del faraón Djoser en Saqqara [29] .
En la historia de las bellas artes, una de sus obras teóricas de 1783 estuvo dedicada al tema de la dosificación por el pintor Sir Joshua Reynolds , así como por el grabador inglés John Thomas Smith , quien llamó a su teoría la “regla de los tercios”.