Espacio lobachevski

Espacio de Lobachevsky , o espacio hiperbólico : un espacio con curvatura negativa constante . El espacio bidimensional de Lobachevsky es el plano de Lobachevsky .

La curvatura negativa distingue el espacio de Lobachevsky del espacio euclidiano con curvatura cero, descrito por la geometría euclidiana , y de una esfera, un espacio con curvatura positiva constante, descrito por la geometría de Riemann .

El espacio de Lobachevsky de n dimensiones generalmente se denota por o . ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\displaystyle {\Lambda}^{n))$

Definición

Un espacio de Lobachevsky de dimensión n es una variedad de Riemann de dimensión n simplemente conexa con una curvatura de sección negativa.

Modelos de espacio hiperbólico

El espacio de Lobachevsky, que fue explorado de forma independiente por Nikolai Ivanovich Lobachevsky y Janos Bolyai , es un espacio geométrico similar al espacio euclidiano , pero el axioma de paralelismo de Euclides no se cumple en él. En cambio, el axioma de paralelismo se reemplaza por el siguiente axioma alternativo (en un espacio de dimensión dos):

Dada cualquier línea L y un punto P que no está en la línea L , entonces hay al menos dos líneas distintas a través de P que no intersecan L.

Esto implica el teorema de que hay infinitas líneas de este tipo que pasan por P . El axioma no define unívocamente el plano de Lobachevsky hasta el movimiento , ya que es necesario establecer una curvatura constante K < 0 . Sin embargo, el axioma define el plano hasta homotecia , es decir, hasta transformaciones que cambian distancias por algún factor constante sin rotación. Si se puede elegir una escala de longitud adecuada, entonces se puede suponer sin pérdida de generalidad que K = −1 .

Es posible construir modelos de espacios de Lobachevsky que se pueden incrustar en espacios planos (es decir, euclidianos). En particular, se deduce de la existencia del modelo espacial de Lobachevsky en euclidiana que el axioma del paralelismo es lógicamente independiente de otros axiomas de la geometría euclidiana.

Hay varios modelos importantes del espacio de Lobachevsky: el modelo de Klein , el modelo hiperboloide, el modelo de Poincaré en una bola y el modelo de Poincaré en el semiplano superior. Todos estos modelos tienen la misma geometría en el sentido de que dos cualesquiera de ellos están conectados por una transformación que conserva todas las propiedades geométricas del espacio hiperbólico que describen.

Modelo hiperboloide

El modelo hiperboloide realiza el espacio de Lobachevsky como un hiperboloide en . Un hiperboloide es el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación $\mathbb {R} ^{n+1}=\{(x_{0},\dots,x_{n})|x_{i}\en \mathbb {R} ,i=0,1, ...,norte\}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$

x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0.

En este modelo, una línea (que es, de hecho, una geodésica ) es una curva formada por una intersección con un plano que pasa por el origen en . ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$ $\R^{n+1}$

El modelo hiperboloide está estrechamente relacionado con la geometría del espacio de Minkowski . forma cuadrática

Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots-x_{n}^{2},

que define un hiperboloide, le permite especificar la forma bilineal correspondiente

B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ cdots -x_{n}y_{n}.

El espacio equipado con la forma bilineal B es un espacio de Minkowski ( n +1)-dimensional . $\R^{n+1}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n, 1}}$

Se puede definir una "distancia" en un modelo hiperboloide definiendo [1] la distancia entre dos puntos xey en como ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$

d(x,y)=\operatorname {arco} B(x,y).

Esta función es una métrica, ya que para ella se satisfacen los axiomas de un espacio métrico . Se conserva bajo la acción del grupo ortocrónico de Lorentz O + ( n ,1) sobre . Por lo tanto, el grupo ortocrónico de Lorentz actúa como un grupo de automorfismos que preservan la distancia, es decir, movimientos . ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n, 1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$

Modelo de Klein

Un modelo alternativo de la geometría de Lobachevsky es un área determinada en el espacio proyectivo . La forma cuadrática Q de Minkowski define un subconjunto , definido como el conjunto de puntos para los cuales x está en coordenadas homogéneas . La región U n es el modelo de Klein del espacio de Lobachevsky. $U^{n}\subconjunto \mathbb {R} \mathbf {P} ^{n}$ ${\ estilo de visualización Q (x)> 0}$

Las líneas rectas en este modelo son segmentos abiertos del espacio proyectivo ambiental que se encuentran en U n . La distancia entre dos puntos x e y en U n se define como

d(x,y)=\operatorname {arco} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)))}\right).

Esta distancia está bien definida en un espacio proyectivo, ya que el número no cambia cuando todas las coordenadas cambian por el mismo factor (hasta el cual se definen las coordenadas homogéneas). ${\displaystyle {\tfrac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)))))$

Este modelo está relacionado con el modelo hiperboloide de la siguiente manera. Cada punto corresponde a la línea L x que pasa por el origen en por la definición de un espacio proyectivo. Esta línea corta al hiperboloide en un solo punto. A la inversa: por cualquier punto de allí pasa una única recta que pasa por el origen (que es un punto en el espacio proyectivo). Esta correspondencia define una biyección entre U n y . Esta es una isometría ya que el cálculo de d ( x , y ) a lo largo reproduce la definición de distancia en el modelo hiperboloide. ${\ estilo de visualización x \ en U ^ {n}}$ $\R^{n+1}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización Q (x) = Q (y) = 1}$

El modelo de Poincaré en una bola

Hay dos modelos estrechamente relacionados de la geometría de Lobachevsky en euclidiana: el modelo de Poincaré en la pelota y el modelo de Poincaré en el semiplano superior.

El modelo de bola surge de una proyección estereográfica de un hiperboloide en un hiperplano . Más detalles: sea S un punto con coordenadas (−1,0,0,...,0) - el polo sur para la proyección estereográfica. Para cada punto P del hiperboloide, sea P ∗ el único punto de intersección de la recta SP con el plano . $\R^{n+1}$ ${\ estilo de visualización \ {x_ {0} = 0 \}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n, 1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ {x_ {0} = 0 \}}$

Esto establece el mapa biyectivo a la bola unitaria. ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$

B^{n}=\{(x_{1},\ldots,x_{n})\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1\ }

en el plano { x 0 = 0}.

Las geodésicas de este modelo son semicírculos perpendiculares al límite de la esfera B n . Las isometrías de bola están formadas por inversiones esféricas con respecto a las hiperesferas perpendiculares al límite.

El modelo de Poincaré en el semiplano superior

El modelo del semiplano superior se obtiene del modelo de Poincaré en la pelota aplicando una inversión centrada en el límite del modelo de Poincaré B n (ver arriba) y con un radio igual al doble del radio del modelo.

Esta transformación asigna círculos a círculos y líneas (en el último caso, si el círculo pasa por el centro de inversión), y, además, es un mapeo conforme . Por lo tanto, en el modelo del semiplano superior, las geodésicas son las líneas rectas y los (semi)círculos perpendiculares al límite del hiperplano.

Variedades hiperbólicas

Cualquier variedad completa , conexa , simplemente conexa de curvatura negativa constante −1 es isométrica al espacio de Lobachevsky . Como resultado, la cobertura universal de cualquier variedad cerrada M de curvatura negativa constante −1, es decir, la variedad hiperbólica , es . Entonces cualquier variedad M puede escribirse como , donde es un grupo de isometría discreto libre de torsión en . Es decir, es una red en SO + ( n ,1) . ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}/\ Gamma}$ $\Gama$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {n}}$ $\Gama$

Superficies de Riemann

Las superficies hiperbólicas bidimensionales también pueden entenderse como superficies de Riemann . Según el teorema de uniformización, cualquier superficie de Riemann es elíptica , parabólica o hiperbólica . La mayoría de las superficies hiperbólicas tienen un grupo fundamental no trivial . Los grupos que surgen de esta forma se denominan fucsias . El espacio cociente del semiplano superior con respecto al grupo fundamental se denomina modelo fucsiano de una superficie hiperbólica. El semiplano superior de Poincaré también es hiperbólico, pero simplemente conexo y no compacto . Por lo tanto, es un recubrimiento universal de otras superficies hiperbólicas. ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} = \ gamma}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {2}/\ gamma}$

Una construcción similar para superficies hiperbólicas tridimensionales es el modelo de Klein .

Véase también

Puente de rigidez
Variedad hiperbólica
3-variedad hiperbólica
Fórmula de Murakami-Yano
pseudoesfera
superficie dini

Notas

↑ Esta expresión es similar a la métrica cordal sobre la esfera, en la que la expresión es similar, pero se utilizan funciones trigonométricas en lugar de hiperbólicas.

Literatura

Norbert A'Campo, Athanase Papadopoulos. Notas sobre geometría hiperbólica // Estrasburgo Clase magistral sobre geometría . - Zúrich: Sociedad Matemática Europea (EMS), 2012. - Vol. 18.- Pág. 1-182. — (Clases IRMA de Matemáticas y Física Teórica). — ISBN 978-3-03719-105-7 . -doi : 10.4171 / 105. .
John G. Ratcliffe. Fundamentos de las variedades hiperbólicas . — Nueva York, Berlín: Springer-Verlag, 1994.
William F. Reynolds. Geometría hiperbólica en un hiperboloide // American Mathematical Monthly . - 1993. - Edicion. 100 _ — Pág. 442–455 .
José un lobo. Espacios de curvatura constante . - 1967. - Pág. 67. Traducción:
- Wolf J. Espacios de curvatura constante. - M. : "Nauka", 1982.
Diagramas hiperbólicos de Voronoi simplificados, Frank Nielsen

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