Sistema numérico ternario

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Sistemas numéricos en la cultura
indoárabe
árabe tamil birmano	Khmer Laosiano Mongol Tailandés
asiático del este
Chino Japonés Suzhou Coreano	Palos vietnamitas para contar
Alfabético
Abjadia Armenio Aryabhata Cirílico Griego	Georgiano Etíope Judío Akshara Sankhya
Otro
Babilónico Egipcio Etrusco Romano Danubiano	Ático Kipu Maya Egeo KPPU Símbolos
posicional
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-posicional
simétrico
sistemas mixtos
Fibonacci
no posicional
Singular (unario)

El sistema numérico ternario es un sistema numérico posicional con una base entera igual a 3.

Disponible en dos versiones: asimétrica y simétrica.

Números ternarios

En el sistema numérico ternario asimétrico, los números {0,1,2} se usan con más frecuencia, y en el sistema numérico simétrico ternario, los signos {−,0,+}, {−1,0,+1}, { 1 ,0,1}, { 1 ,0,1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} y dígitos {2,0,1}, {7 ,0,1} . Las impresiones de la computadora Setun usaban la codificación {una,0,1} [1] . Los dígitos de trinidad se pueden indicar mediante tres caracteres cualquiera {A,B,C}, pero además debe especificar la precedencia de los caracteres, por ejemplo, A<B<C.

Implementaciones físicas

En electrónica digital , independientemente de la variante del sistema numérico ternario, un dígito ternario en el sistema numérico ternario corresponde a un disparador ternario en al menos tres inversores con lógica de entrada o dos disparadores binarios en al menos cuatro inversores con lógica de entrada.

Representación de números en sistemas numéricos ternarios

Sistema numérico ternario asimétrico

Un ejemplo de la representación de números en un sistema numérico ternario asimétrico es la entrada en este sistema de números enteros positivos:

Número decimal	0	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez
número ternario	0	una	2	diez	once	12	veinte	21	22	100	101

Si hay 10 dígitos en el sistema numérico decimal y los pesos de los dígitos adyacentes difieren en 10 veces (dígito de las unidades, dígito de las decenas, dígito de las centenas), entonces en el sistema ternario solo se usan tres dígitos y los pesos de los dígitos adyacentes difieren tres veces. (dígito de unidades, dígito de tres, dígito de nueves, ...). El número 1, escrito primero a la izquierda de la coma, denota una unidad; el mismo número, escrito segundo a la izquierda de la coma, denota un triple, etc.

El sistema numérico ternario asimétrico es un caso especial de sistemas numéricos posicionales exponenciales emparejados (combinados), en los que a k proviene del conjunto ternario a={0,1,2}, b=3, los pesos de los dígitos son 3 k .

Sistemas de numeración exponencial

En los sistemas numéricos ternarios posicionales exponenciales, se utilizan dos sistemas:

sistema de codificación intradígito con base c , cuyos números se utilizan para escribir dígitos y
sistema numérico entre dígitos adscrito con base b .

Un número entero en el sistema numérico posicional exponencial se representa como la suma de los productos de valores en dígitos (dígitos) - por la k -ésima potencia del número b : $\Alaska$

x_{{a,b}}=\sum_{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}b^{k}

, dónde:

k es un número de 0 a n-1 , el número del dígito numérico ,
n es el número de dígitos,
c es la base del sistema de codificación, c es igual a la dimensión del conjunto a={0,1,…,c-1} del cual se toman los dígitos a k ,
a k son números enteros del conjunto a , llamados dígitos,
b es el número, la base de la función de peso exponencial entre dígitos,
b k son los números de la función entre dígitos, los coeficientes de peso de los dígitos.

Cada producto en tal notación se llama dígito (a, b)-ario. $\a_{k}b^{k}$

Con c=b , (b, b) se forman sistemas numéricos -arios con el producto - a k b k y la suma - , que, con b = 3 , se convierten en los habituales (3,3) -ario (ternario) sistema de numeración. Al escribir, muchas veces se omite el primer índice, a veces, cuando hay una mención en el texto, también se omite el segundo índice. $\sum_{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}b^{k}$

Se atribuye el factor de ponderación del dígito - b k - y, en el caso general, puede ser una función exponencial opcional del número del dígito - k , y opcionalmente una potencia de 3 . El conjunto de valores ak es más limitado y está más relacionado con la parte del hardware: el número de estados estables de disparadores o el número de estados de un grupo de disparadores en un bit del registro . En el caso general, a k también puede ser opcionalmente del conjunto ternario a={0,1,2}, pero para que un sistema pareado sea ternario y se llame ternario, al menos uno de los dos sistemas debe ser ternario. un k -ésimo más cerca del hardware y por un k -ésimo del conjunto a={0,1,2} o del conjunto a={-1,0,+1}, se determina el sistema de codificación: ternario asimétrico o ternario simétrico.

Sistemas numéricos ternarios exponenciales

Un número entero en el sistema ternario posicional exponencial se escribe como una secuencia de sus dígitos (cadenas de dígitos), enumerados de izquierda a derecha en orden descendente de precedencia de dígitos: $X$

x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\puntos a_{0})_{a,b}.

En los sistemas numéricos exponenciales, a los valores de los dígitos se les asignan coeficientes de peso , se omiten en la notación, pero se entiende que el k -ésimo dígito de derecha a izquierda tiene un coeficiente de peso igual a . $b^{k}$ $b^{k}$

Se sabe por combinatoria que el número de códigos registrados es igual al número de ubicaciones con repeticiones :

{\bar {A}}(a,n)={\bar {A}}_{a}^{n}=a^{n}=3^{n},

donde a = 3 es un conjunto de 3 elementos a = {0, 1, 2}, del cual se toman los dígitos a k , n es el número de elementos (dígitos) en el número x 3, b .

El número de códigos registrados no depende de la base de la función exponencial - b , que determina el rango de valores representado por los números x 3, b .

Un número fraccionario se escribe y representa como

x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\puntos a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\puntos a_{-( m-1)}a_{-m})_{a,b}=\sum_{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k},

donde m es el número de dígitos de la parte fraccionaria del número a la derecha del punto decimal;

para m = 0, la parte fraccionaria está ausente, el número es un número entero,
para a k , a partir del conjunto ternario a = {0, 1, 2} y b = 1, se forma un sistema numérico ternario no posicional con los mismos coeficientes de peso de todos los dígitos iguales a 1 k = 1,
para a k del conjunto binario a = {0, 1} y b = 3, la suma será solo potencias enteras — 3 k ,
para a k del conjunto ternario a = {0, 1, 2} y b = 3, la suma será entera y potencias dobles de 3, el sistema numérico se convierte en el sistema numérico ternario asimétrico habitual, a k satisface la desigualdad , que es , , $0\leqslant a_{k}\leqslant (b-1)<b$ $0\leqslant a_{k}\leqslant 2<3$
para a k del conjunto decimal a = {0, 1, ..., 9} y b = 3, la suma será potencias enteras de 3 por 1, 2, ..., 9.

En algunos casos, esto puede no ser suficiente; en tales casos, se pueden usar sistemas numéricos integrados (comentados), cuádruples y otros.

Sistemas numéricos ternarios con un factor adicional

En los sistemas numéricos ternarios posicionales exponenciales, se puede introducir un factor adicional en el peso del dígito. Por ejemplo, el factor (b/c):

x_{{a,b,c}}=(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\puntos a_{{1}}a_{{0}},a_{{-1}} a_{{-2}}\puntos a_{{-(m-1)}}a_{{-m}})_{{a,b,c}}=\sum_{{k=-m}} ^{{n-1}}a_{k}b^{k}(b/c)

En general, c≠3.
Cuando a k de a={0,1,2}, b=3 y c=3, se forma el sistema numérico ternario asimétrico habitual.
Con a=2, b=3 y c=2, se forma un sistema numérico (2,3,2)-ario con un coeficiente de peso no entero adicional en el producto igual a (3/c)=(3/2 )=1.5.
Para otros valores de a, b y c, se forman otros sistemas numéricos posicionales exponenciales con un factor adicional (b/c), cuyo número es infinito.
También son posibles conjuntos infinitos de otros sistemas numéricos compuestos.

Codificación de dígitos ternarios

Un dígito ternario se puede codificar de diferentes maneras.

Sistemas de codificación de tres niveles para dígitos ternarios

1. Codificación de tres niveles de dígitos ternarios (3-Level LevelCoded Ternary, 3L LCT, “single-wire”):
El número de sistemas de codificación de tres niveles para dígitos ternarios es igual al número de permutaciones :

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

uno de ellos

1.1. Simétrico {-1,0,+1}
+U - (+1) ;
0 - (0) ;
-U - (-1),
1.2. Desplazado por +1 {0,1,2}
1.3. Desplazado por +2 {1,2,3}

Sistemas de codificación de dos niveles para dígitos ternarios

2. Dígitos ternarios codificados en binario de dos bits (BinaryCodedTernary de 2 bits, representación 2B BCT, "dos hilos") usando 3 códigos de 4 posibles [2] :
El número de posibles sistemas de codificación de dígitos ternarios 2B BCT es igual a el número de combinaciones sin repetición :

{n \elegir k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(nk\right)!}}={4 \elegir 3}={\frac {4! {3!\izquierda(4-3\derecha)!}}=4,

multiplicado por el número de permutaciones en cada conjunto de 3 dígitos:

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

es decir, 4*6 = 24.

Estos son algunos de ellos:
2.1. [3]
(1,0) - 2 ;
(0,1) - 1;
(0,0) - 0.
2.2.
(1,1) - 2;
(0,1) - 1;
(0,0) - 0.
3. Dígitos ternarios codificados en binario de dos bits (BinaryCodedTernary de 2 bits, representación 2B BCT, “dos hilos”) usando los 4 códigos de los 4 posibles (dos de los 4 códigos codifican uno y dígito ternario más apretado de 3).
3.1.
Aquí está uno de ellos [4] :
(0.0) - "0"
(1.1) - "0"
(0.1) - "-1"
(1.0) - "+1"
4. Ternario codificado en binario de tres bits dígitos (3-Bit BinaryCodedTernary, representación 3B BCT, "tres hilos") usando 3 códigos de 8 posibles:
El número de posibles sistemas de codificación de dígitos ternarios 3B BCT es igual al número de combinaciones sin repetición :

{n \elegir k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(nk\right)!}}={8 \elegir 3}={\frac {8! {3!\izquierda(8-3\derecha)!}}=54,

multiplicado por el número de permutaciones en cada conjunto de 3 dígitos:

P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,

es decir, 54*6 = 324.

Estos son algunos de ellos:
3.1.
(1,0,0) - 2;
(0,1,0) - 1;
(0,0,1) - 0.
3.2.
(0,1,1) - 2;
(1,0,1) - 1;
(0,1,0) - 0.
3.3.
(1,1,1) - 2;
(0,1,1) - 1;
(0,0,1) - 0.
3.4.
(0,0,0) - 2;
(1,0,0) - 1;
(1,1,0) - 0.
3.5.
(1,0,0) - 2;
(1,1,0) - 1;
(1,1,1) - 0.
3.6.
(0,1,1) - 2;
(0,0,1) - 1;
(0,0,0) - 0.
3.7.
(1,0,1) - 2;
(0,1,0) - 1;
(0,0,0) - 0,
etc.

Comparación con el sistema binario

En comparación bit a bit, el sistema numérico ternario tiene más capacidad que el sistema numérico binario.
Con nueve dígitos, el código binario tiene la capacidad de los números, y el código ternario tiene la capacidad del número, es decir, el doble. Con veintisiete dígitos, el código binario tiene capacidad de números, y el código ternario tiene capacidad de números, es decir, es veces mayor. $2^{9}=512$ $3^{9}=19683$ $3^{9}/2^{9}=38,4$
$2^{{27}}=134217728$ $3^{{27}}=7625597484987$ $3^{{27}}/2^{{27}}=56815,13$

Propiedades

El sistema numérico asimétrico exponencial posicional ternario en términos del número de caracteres (en un número decimal de tres dígitos 3 * 10 = 30 caracteres) es el más económico de los sistemas numéricos asimétricos exponenciales posicionales. [5] [6] [7] [8] [9] A. Kushnerov [6] atribuye este teorema a John von Neumann .

Conversión de números enteros de decimal a ternario

Para la traducción, un entero decimal se divide por 3 con el resto (división de enteros) siempre que el cociente sea mayor que cero. Los restos, escritos de izquierda a derecha del último al primero, son el equivalente ternario no simétrico entero del número decimal entero. [10] [11]
Ejemplo: entero decimal 48 10,10 se convertirá en entero ternario asimétrico:
número = 48 10,10 dividido por 3, cociente = 16, resto a 0 = 0
cociente = 16 10,10 dividido por 3, cociente = 5, resto a 1 = 1
cociente = 5 10,10 dividido por 3, cociente = 1, resto a 2 = 2
cociente = 1 10,10 dividido por 3, cociente = 0, resto a 3 = 1
cociente no mayor que cero, la división es completa.
Ahora, escribiendo todos los residuos desde el último hasta el primero de izquierda a derecha, obtenemos el resultado 48 10.10 \u003d (a 3 a 2 a 1 a 0 ) 3.3 \u003d 1210 3.3 .

Sistema numérico ternario simétrico

El sistema numérico ternario posicional entero simétrico fue propuesto por el matemático italiano Fibonacci (Leonardo de Pisa) (1170-1250) para resolver el "problema del peso". [12] El problema del mejor sistema de pesos fue planteado por Luca Pacioli (siglo XV). Un caso especial de este problema se publicó en el libro del matemático francés Claude Bachet de Meziriac "Colección de problemas entretenidos" en 1612 (la traducción al ruso del libro de C. G. Bachet "Juegos y problemas basados en matemáticas" se publicó en St. Petersburgo recién en 1877). En 1797, se emitió una ley en Rusia "Sobre el establecimiento de pesos correctos para bebidas y medidas de pan en todas partes del Imperio ruso". Para el pesaje de mercancías sólo se permitían pesas de los siguientes pesos: 1 y 2 libras, 1, 3, 9, 27 libras y 1, 3, 9, 27 y 81 bobinas . Como anexo a la ley se publicó una tabla para pesar mercancías de 1 libra a 40 libras utilizando pesos de 1, 3, 9, 27 libras y para pesar mercancías de 1 carrete a 96 carretes utilizando pesos de 1, 3, 9, 27 y 81 bobinas [13] . El académico de San Petersburgo Leonard Euler se involucró en este problema , y más tarde se interesó D. I. Mendeleev . [14] [15] [16] [17] [18]

La simetría al pesar en una balanza de palanca se ha utilizado desde la antigüedad, agregando un peso a un recipiente con productos. Los elementos del sistema numérico ternario estaban en el sistema numérico de los antiguos sumerios, [19] en los sistemas de medidas, pesos y dinero, en los que había unidades iguales a 3. Pero solo en el sistema numérico ternario simétrico de Fibonacci tanto de estas propiedades se combinan.

El sistema simétrico le permite representar números negativos sin usar un signo menos separado. El número 2 está representado por el número 1 en el lugar de los tres y el número (menos uno) en el lugar de las unidades. El número −2 está representado por el número (menos uno) en lugar de tres y el número 1 en lugar de unidades. Hay seis correspondencias posibles entre los dígitos (caracteres) del sistema numérico simétrico ternario y los dígitos (caracteres) del sistema numérico asimétrico ternario: ${\ barra 1}$ ${\ barra 1}$

	una.	2.	3.	cuatro	5.	6.

una	2	una	0	0	2	una
0	una	0	2	una	0	2
una	0	2	una	2	una	0

Según 2., se almacenan los valores numéricos 0 y 1.

Sistema decimal	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9
ternario asimétrico	-100	−22	−21	−20	−12	−11	−10	−2	−1	una	2	diez	once	12	veinte	21	22	100
ternario simétrico	100 _	101 _	1 1 1	1 10	1 11	once	1 0	1 1	una	una	1 1	diez	once	1 11	1 1 0	1 1 1	10 1	100

En el sistema numérico simétrico ternario, el signo 1 puede ser reemplazado por el signo (no el número) i o 2 y, en el segundo caso, los signos del sistema asimétrico ternario {2,0,1} pueden usarse para el sistema numérico simétrico ternario {-1,0,+1}.

Propiedades

Debido a que la base 3 es impar, en el sistema ternario es posible un arreglo de números simétricos con respecto al cero: −1, 0, 1, que está asociado a seis valiosas propiedades:

La naturalidad de la representación de los números negativos;
No hay problema de redondeo : poner a cero los redondeos de dígitos inferiores innecesarios : acerca el número al "grueso" más cercano.
La tabla de multiplicar en este sistema, como señaló O. L. Cauchy , es unas cuatro veces más corta. [14] (pág. 34).
Para cambiar el signo del número representado, debe cambiar los dígitos distintos de cero a simétricos.
Al sumar una gran cantidad de números, el valor para pasar al dígito siguiente crece con un aumento en la cantidad de términos no linealmente, sino en proporción a la raíz cuadrada de la cantidad de términos.
Según el costo del número de caracteres para la representación de números, es igual al sistema asimétrico ternario.

Representación de números negativos

Tener dígitos positivos y negativos permite que los números positivos y negativos se representen directamente. En este caso, no se necesita un bit de signo especial y no se debe ingresar un código adicional (o inverso) para realizar operaciones aritméticas con números negativos. Todas las acciones sobre los números representados en el sistema numérico simétrico ternario se realizan, por supuesto, teniendo en cuenta los signos de los números. El signo de un número está determinado por el signo del dígito más significativo del número: si es positivo, entonces el número es positivo, si es negativo, entonces el número es negativo. Para cambiar el signo de un número, debe cambiar los signos de todos sus dígitos (es decir, invertir su código mediante la inversión de Lukasiewicz). Por ejemplo:

10{\barra 1}=9-1=8

{\barra 1}01=-9+1=-8

Redondeo

Otra consecuencia útil de la disposición simétrica de los valores de los dígitos es la ausencia del problema del redondeo de números: el valor absoluto de la parte del número representado por los dígitos inferiores descartados nunca supera la mitad del valor absoluto de la parte del número correspondiente al dígito menos significativo del dígito menos significativo de los dígitos almacenados. Por lo tanto, como resultado de descartar los dígitos menores de un número, se obtiene la mejor aproximación de este número para un número dado de dígitos restantes, y no se requiere redondeo.

Conversión de números de decimal a ternario

La conversión de números del sistema decimal al sistema ternario y la correspondiente pregunta sobre pesos se describen en detalle en los libros [20] [21] . También habla sobre el uso del sistema ternario de pesos en la práctica rusa.

Traducción a otros sistemas numéricos

Cualquier número escrito en el sistema numérico ternario con los números 0, 1, −1 se puede representar como la suma de las potencias enteras del número 3, y si el número 1 está en el bit dado de la representación ternaria del número, entonces la potencia del número 3 correspondiente a este bit se incluye en la suma con el signo "+", si el número es −1, entonces con el signo "-", y si el número es 0, entonces no se incluye en absoluto . Esto se puede representar con la fórmula

\cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0} +K_{{-1}}\cdot 3^{{-1}}+K_{{-2}}\cdot 3^{{-2}}+K_{{-3}}\cdot 3^{{ -3}}+\cpuntos

, dónde

\cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0}

- la parte entera del número,

\cdots +K_{{-1}}\cdot 3^{{-1}}+K_{{-2}}\cdot 3^{{-2}}+K_{{-3}}\cdot 3^ {{-3}}+\cpuntos

- parte fraccionaria de un numero

además, los coeficientes K pueden tomar los valores { 1, 0, −1 }.

Para que el número presentado en el sistema ternario sea convertido al sistema decimal, es necesario multiplicar el dígito de cada dígito del número dado por la potencia del número 3 correspondiente a este dígito (en representación decimal) y sumar los productos resultantes.

Aplicaciones prácticas

Trabajando en la Cámara de Pesos y Medidas , D. I. Mendeleev, teniendo en cuenta el sistema numérico ternario simétrico, desarrolló una serie digital de pesas para pesaje en balanzas de laboratorio , que se utiliza hasta el día de hoy.
El sistema ternario simétrico se utilizó en la computadora soviética Setun .

Tablas de suma en sistemas numéricos ternarios

En el sistema numérico no simétrico ternario

+	0	una	2
2	02	diez	once
una	01	02	diez
0	00	01	02

En el sistema numérico simétrico ternario

+	una	0	una
una	00	01	1 1
0	0 1	00	01
una	1 1	0 1	00

Representación de nueve decimales de los comandos

La representación de comandos en código ternario al momento de programar y al ingresar a una máquina es inconveniente y antieconómico, por lo tanto, fuera de la máquina, se utiliza la forma de representación de comando de nueve decimales. Nueve dígitos se asignan a pares de dígitos ternarios: ${\barra 4},{\barra 3},{\barra 2},{\barra 1},0,1,2,3,4$

{\bar 1}{\bar 1}={\bar 4};\quad {\bar 1}0={\bar 3};\quad {\bar 1}1={\bar 2};\quad 0 {\bar 1}={\bar 1};\quad 00=0;

11=4;\quad 10=3;\quad 1{\bar 1}=2;\quad 01=1.

Al retirar de la máquina, los dígitos decimales negativos se indican con letras:

dígito decimal	${\ barra 1}$	${\ barra 2}$	${\ barra 3}$	${\ barra 4}$
Letra del alfabeto latino	Z	Y	X	W
Letra del alfabeto ruso	C	A	X	Y

Véase también

Notas

↑ N. A. Krinitsky, G. A. Mironov, G. D. Frolov, ed. M. R. Shura-Bura. Capítulo 10. Máquina controlada por programa "Setun" // Programación . - M. , 1963. (Ruso)
↑ http://314159.ru/kushnerov/kushnerov1.pdf Copia de archivo fechada el 7 de octubre de 2013 en la tecnología digital Wayback Machine Ternary. Retrospectivo y presente
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↑ 1 2 A. Kushnerov Tecnología digital ternaria. Retrospectivo y presente. Archivado el 7 de octubre de 2013 en Wayback Machine .
↑ https://web.archive.org/web/20120111141145/http://misterkruger.narod.ru/math/base3rus.htm Una propiedad asombrosa del sistema numérico ternario]
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Literatura

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