Número de mineral

El número de Ore es un número natural cuya media armónica de divisores es un número entero . Introducido por Oistin Ore en 1948 . Primeros números de mineral:

1 , 6 , 28 , 140 , 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18600, 18620, … [1] .

Por ejemplo, el mineral número 6 tiene divisores 1, 2, 3 y 6. Su media armónica es un número entero:

{\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}} }}=2.

El número 140 tiene divisores 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140. Su media armónica es:

{\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{ 5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\ fracción {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5.

5 es un número entero, lo que significa que 140 es un número de mineral.

Números minerales y números perfectos

Para cualquier número entero, el producto de la media armónica y la media aritmética de sus divisores es igual al número mismo , lo que se deriva directamente de las definiciones. Por tanto, es un número de Ore con la media armónica de los divisores si y sólo si la media aritmética de los divisores es el cociente de . $METRO$ $METRO$ $METRO$ $k$ $METRO$ $k$

Ore demostró que cualquier número perfecto es un número de Ore. Como la suma de los divisores de un número perfecto es exactamente , el promedio de los divisores es , donde es el número de divisores del número . Para cualquier número, el número es impar si y solo si es un cuadrado perfecto , de lo contrario, cada divisor del número puede estar asociado con otro divisor - . Pero ningún número perfecto puede ser un cuadrado perfecto, esto se deduce de las conocidas propiedades de los números perfectos pares, y los números perfectos impares (si existen) deben tener un factor de la forma , donde . Así, para un número perfecto, el número de divisores es par y el promedio de los divisores es el producto de . Por lo tanto, es un número de mineral. $METRO$ $2M$ ${\ estilo de visualización METRO (2/\ tau (METRO))}$ $\tau (M)$ $METRO$ $METRO$ $\tau (M)$ $METRO$ $d$ $METRO$ $Maryland$ $q^{\alfa}$ $\alpha \equiv 1{\pmod 4}$ $METRO$ $\tau (M)$ $METRO$ $2/\tau (M)$ $METRO$

Ore conjeturó que no hay números Ore impares distintos de 1. Si la conjetura es correcta, entonces no hay números perfectos impares .

Fronteras y búsqueda informática

Se muestra que cualquier número impar de Ore mayor que 1 debe tener un factor primo mayor que 10 7 , y que dicho número debe tener al menos tres factores primos distintos. Además, se ha establecido que no existen números impares de Ore menores que 10 24 .

Se hicieron intentos para obtener una lista de todos los números pequeños de Ore usando una computadora, como resultado, se encontraron todos los números de Ore hasta 2 × 10 9 y todos los números para los cuales la media armónica no excede 300.

Notas

↑ Secuencia OEIS A001599 _

Literatura

Bogomolni, Alexander. Una identidad relativa a las medias de los divisores de un entero dado . Consultado: 10 de septiembre de 2006. (indefinido)

Cohen, Graeme L. Números cuyos divisores positivos tienen una media armónica integral pequeña // Matemáticas de computación . - 1997. - T. 66 . — S. 883–891 . -doi : 10.1090/ S0025-5718-97-00819-3 .

Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli. Los números armónicos impares superan 10 24 // Matemáticas de computación. - 2010. - T. 79 , núm. 272 . - S. 2451 . — ISSN 0025-5718 . -doi : 10.1090/ S0025-5718-10-02337-9 . Publicado electrónicamente el 9 de abril de 2010.

Vaya, Takeshi. (Ore's) Números armónicos . Consultado: 10 de septiembre de 2006. (indefinido)

Richard K Guy. Problemas no resueltos de teoría de números. — 3er. - Springer-Verlag , 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .

José B. Muskat. Sobre divisores de números perfectos impares // Matemáticas de computación. - Sociedad Matemática Americana, 1966. - V. 20 , no. 93 . — S. 141–144 . -doi : 10.2307/ 2004277 . — .

Øystein Ore. Sobre los promedios de los divisores de un número // American Mathematical Monthly . - Asociación Matemática de América, 1948. - V. 55 . — S. 615–619 . -doi : 10.2307/ 2305616 . — .

Weisstein, Eric W. Número de divisor armónico (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Números por características de divisibilidad
Información general	Factorización de números enteros Divisibilidad divisor unitario Función divisoria número primo Teorema fundamental de la aritmética número aritmético
Formas de factorización	número primo Número compuesto Semiprima número rectangular número esfénico Número sin cuadrados múltiplo completo grado perfecto numero de aquiles número suave número normal número aproximado número inusual
Con divisores limitados	número perfecto Cifras ligeramente insuficientes Números ligeramente redundantes número multiperfecto Números hemiperfectos número hiperperfecto número súper perfecto primo unitario número semiperfecto número pararítmico Número de Erdős-Nicolas
Números con muchos divisores	exceso de números Exceso de números primitivos Números altamente redundantes Números superredundantes Números enormemente redundantes número supercompuesto Un número altamente supercompuesto número extraño
Relacionado con secuencias alícuotas	número sagrado números amistosos números públicos Números casi amigables
Otro	No hay suficientes números números de amigos numeros sublimados Números de mineral número humilde Dígitos iguales número extravagante