Un número altamente supercompuesto

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En matemáticas , un número altamente supercompuesto es un número natural que tiene más divisores que cualquier otro número, escalado con respecto a alguna potencia positiva del propio número . Esta es una restricción más fuerte que el límite supercompuesto , que se define por tener más divisores que cualquier número entero positivo más pequeño .

Se enumeran los primeros 10 números altamente supercompuestos y su factorización .

# factores primos	SSCH [1] norte	factorización simple	exponentes simples _	# divisores d( n )		factorización primorial
una	2	2	una	2	2	2
2	6	2 ⋅ 3	1.1	2 2	cuatro	6
3	12	2 2 ⋅ 3	2.1	3×2	6	2 ⋅ 6
cuatro	60	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5	2,1,1	3×2 2	12	2 ⋅ 30
5	120	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5	3,1,1	4×2 2	dieciséis	2 2 ⋅ 30
6	360	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5	3,2,1	4×3×2	24	2⋅6⋅30
7	2520	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	3,2,1,1	4×3×2 2	48	2⋅6⋅210
ocho	5040	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	4,2,1,1	5×3×2 2	60	2 2 ⋅ 6 ⋅ 210
9	55440	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11	4,2,1,1,1	5×3×2 3	120	2 2 ⋅ 6 ⋅ 2310
diez	720720	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13	4,2,1,1,1,1	5×3×2 4	240	2 2 ⋅ 6 ⋅ 30030

Para un número altamente supercompuesto n , hay un número real positivo ε tal que para todos los números naturales k que son menores que n , tenemos

{\frac {d(n)}{n^{\varepsilon}}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon}}}

y para todos los números naturales k mayores que n , tenemos

{\frac {d(n)}{n^{\varepsilon}}}>{\frac {d(k)}{k^{\varepsilon}}}

donde d(n) , la función divisoria , denota el número de divisores de n . El término fue introducido por Ramanujan ( 1915 ) [2] .

Los primeros 15 números muy super -componentes 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983337776800 (secuencia A002201 en OEIS ) también son los primeros 15 colossalmente excesivos colossalmente excesivos . números que satisfacen el que satisface una condición similar basada en la función de suma de divisores en lugar del número de divisores.

Propiedades

Todos los números altamente supercompuestos son supercompuestos .

Una construcción eficiente del conjunto de todos los números altamente supercompuestos está dada por el siguiente mapeo monótono de números reales positivos [3] . Dejar

e_{p}(x)=\left\lpiso {\frac {1}{{\sqrt[{x}]{p}}-1}}\right\rpiso \quad

para cualquier número primo p y real x positivo . Después

\quad s(x)=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(x)}\quad

es un número altamente supercompuesto.

Tenga en cuenta que el producto no necesita calcularse indefinidamente, porque si , entonces , entonces el producto a calcular puede terminar en . ${\displaystyle p>2^{x))$ $e_{p}(x)=0$ ${\ estilo de visualización s (x)}$ ${\displaystyle p\geq 2^{x))$

También tenga en cuenta que en la definición de , es similar en la definición implícita de un número altamente supercompuesto. ${\ estilo de visualización e_ {p} (x)}$ $1/x$ $\varepsilon$

Además, para cada número altamente supercompuesto, existe un intervalo semiabierto tal que . ${\ estilo de visualización s ^ {\ principal}}$ ${\displaystyle I\subconjunto \mathbb {R} ^{+))$ $\forall x\in I:s(x)=s^{\prime }$

De esta representación se sigue que existe una secuencia infinita tal que para el n-ésimo número altamente supercompuesto contiene ${\ estilo de visualización \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots \ en \ mathbb {P}}$ $s_{n}$

{\displaystyle s_{n}=\prod_{i=1}^{n}\pi_{i))

Los primeros son 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7,... (secuencia A000705 en OEIS ). En otras palabras, el cociente de dos números altamente supercompuestos consecutivos es un número primo . $\pi _{i}$

Raíces altamente supercompuestas

Los primeros números altamente supercompuestos se usaban a menudo como números base debido a su alta divisibilidad de tamaño. Por ejemplo:

Binario (base 2)
Hexadecimal (base 6)
Duodecimal (base 12)
Hexadecimal (base 60)

Los números altamente supercompuestos más grandes se pueden usar de otra manera. El número 120 se muestra como una centena larga y el número 360 se muestra como el número de grados en un círculo.

Notas

↑ VSCH - abreviatura de Very S super Composite _ _
↑ Weisstein, Eric W. Un número altamente supercompuesto . mundomatemático.wolfram.com . Consultado el 5 de marzo de 2021. Archivado desde el original el 13 de abril de 2021.
↑ Ramanujan (1915); ver también URL http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/hcn.dvi Archivado el 26 de octubre de 2021 en Wayback Machine .

Enlaces

Ramanujan, S. (1915). “Números altamente compuestos” (PDF) . proc. Matemáticas de Londres. Soc . Serie 2.14: 347-409 . DOI : 10.1112/plms/s2_14.1.347 . JFM 45.1248.01 . Reimpreso en Collected Papers (Ed. GH Hardy et al.), Nueva York: Chelsea, págs. 78–129, 1962
Manual de teoría de números I. - Dordrecht: Springer-Verlag , 2006. - P. 45–46. — ISBN 1-4020-4215-9 .

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. Altamente supercompuesto en Wolfram MathWorld .

Números por características de divisibilidad
Información general	Factorización de números enteros Divisibilidad divisor unitario Función divisoria número primo Teorema fundamental de la aritmética número aritmético
Formas de factorización	número primo Número compuesto Semiprima número rectangular número esfénico Número sin cuadrados múltiplo completo grado perfecto numero de aquiles número suave número normal número aproximado número inusual
Con divisores limitados	número perfecto Cifras ligeramente insuficientes Números ligeramente redundantes número multiperfecto Números hemiperfectos número hiperperfecto número súper perfecto primo unitario número semiperfecto número pararítmico Número de Erdős-Nicolas
Números con muchos divisores	exceso de números Exceso de números primitivos Números altamente redundantes Números superredundantes Números enormemente redundantes número supercompuesto Un número altamente supercompuesto número extraño
Relacionado con secuencias alícuotas	número sagrado números amistosos números públicos Números casi amigables
Otro	No hay suficientes números números de amigos numeros sublimados Números de mineral número humilde Dígitos iguales número extravagante

clases de numeros naturales

Potencias y
números relacionados

Números de la forma
a × 2 b ± 1

Otros
polinomios
_

Números
definidos recursivamente

Conjuntos de números
con
propiedades específicas

Expresado
en términos de cantidades

Sin hipotenusa
Práctico
Principal semisimple
Ulama
Wolsenholm

Obtenido
con un tamiz

números de la suerte

Códigos relacionados
_

Mirtens

números rizados

bidimensional

centrado _	triangular cuadrado pentagonal hexagonal heptagonal octagonal no angular decagonal estrellado
descentrado _	triangular cuadrado cuadrado triangular hexagonal octagonal

3 dimensiones

centrado _	tetraédrico cúbico octaédrico dodecaedro icosaédrico
descentrado _	tetraédrico octaédrico dodecaedro icosaédrico Estrella-octaédrica
piramidal _	cuadrado pentagonal hexagonal heptagonal

4 dimensiones

centrado _	pentacórico triangular en un cuadrado
descentrado _	pentátopo

pseudosimple

carmichael
Catalana
elíptico
Euler
Euler-Jacobi
Granja
Frobenius
Lucas
Somera-Luca
fuerte pseudosimple

números combinatorios

Funciones aritméticas

σ( norte )	redundante casi perfecto aritmética colosalmente redundante Descartes numeros semiperfectos numeros muy redundantes números de alto componente números hiperperfectos numeros multiperfectos comprometido práctico primitivo redundante ligeramente redundante números tau numeros majestuosos numeros superabundantes números supercompuestos números superperfectos
Ω( norte )	casi simple semisimple
φ( norte )	altamente covalente alto-tociente paciente perfecto ligeramente tociente
s( n )	amigable comprometido insuficiente semi-perfecto

Euclides
números de la fortuna

por divisores

Otros divisores primos o
relacionados
con la divisibilidad

Matemáticas entretenidas

Sistemas
numéricos

número automórfico
cíclico
osiris
Dudeni
dígitos iguales
Extravagante
fábrica
Friedman
satisfecho
nivena
kita
Lichrel
cantidad con dígito faltante
amstrong
palíndromo
pandigital
parásito
dañino
mágico
primitivo
repeticiones
retribuciones
autogenerado
autodescriptivo
Smarandsha - Wellena
estrictamente no palindrómico
cambiaformas
desplazamiento
trimórfico
ondulado
vampiros

Secuencia de Aronson
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