Un número muy redundante

Un número altamente redundante o un número altamente redundante es un número natural cuya suma de divisores (incluido el número mismo) es mayor que la suma de los divisores de cualquier número natural más pequeño.

Pillai [2] introdujo números de alta redundancia y algunas clases similares de números , y Alaoglu y Erdős [3] realizaron trabajos iniciales sobre este tema . Alaoglu y Erdős enumeraron todos los números de alta redundancia hasta 10 4 y demostraron que la cantidad de números de alta redundancia menores que N es al menos proporcional a log 2 N .

Formal definición y ejemplos

Formalmente, se dice que un número natural n es altamente redundante si y solo si para todos los números naturales m < n

,

donde σ significa la función "suma de divisores" . Los primeros números altamente redundantes

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 18 , 20 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 60 , ... ( secuencia OEIS A002093 ).

Por ejemplo, 5 no es muy redundante porque σ(5) = 5+1 = 6 es menor que σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, mientras que 8 es muy redundante porque σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 es mayor que todos los valores anteriores de σ.

Aparte de los números 1 y 3, no hay otros números impares altamente redundantes [4]

Relación con otros conjuntos de números

Aunque los primeros ocho factoriales son muy redundantes, no todos los factoriales lo serán. Por ejemplo,

σ(9!) = σ(362880) = 1481040,

pero hay un número menor con una suma mayor de divisores,

σ(360360) = 1572480,

entonces 9! no muy redundante.

Alaoğlu y Erdős notaron que todos los números superredundantes son muy redundantes y plantearon la cuestión de si hay un número infinito de números superredundantes que no son superredundantes. Esta pregunta fue respondida afirmativamente por Jean-Louis Nicholas [5] .

Contrariamente a la terminología, no todos los números altamente redundantes son redundantes . En particular, ninguno de los primeros siete números altamente redundantes es redundante.

7200 es el número múltiplo completo más grande que también es altamente redundante, todos los números grandes y redundantes tienen un factor primo que divide el número solo una vez. Por la misma razón, 7200 es el mayor número altamente redundante con una suma impar de divisores [6] .

Notas

  1. ↑ Los palos Kuizener son palos de contar para la escuela primaria, diseñados para enseñar a contar y comprender la división. Los palos tienen diferentes longitudes y están pintados en diferentes colores. Los palos fueron inventados por el maestro de escuela belga Georg Cuisener.
  2. ↑ Pillai, 1943 .
  3. ↑ Alaoglu, Erdős, 1944 .
  4. ↑ Ver artículo de Alaoglu y Erdős ( Alaoglu, Erdős 1944 ), p. 466. Alaoglu y Erdős afirman con más fuerza que todos los números muy redundantes superiores a 210 son divisibles por 4, pero esta afirmación es errónea: 630 es muy redundante, pero no es divisible por 4. (De hecho, solo este número 630 es un contraejemplo , todos los números redundantes grandes son divisibles por 12).
  5. ↑ Nicolás, 1969 .
  6. ↑ Alaoglu, Erdős, 1944 , p. 464–466.

Literatura