Un exceso colosal

Un número colosalmente abundante ( CA del inglés  colossally abundante number ) es un número natural que en cierto sentido estricto tiene muchos divisores : existe tal que para todos :

donde es la función de la suma de divisores [1] . Todos los números colosalmente redundantes también son números superredundantes , pero lo contrario no es cierto.

Los primeros 15 números colosalmente redundantes [2] - 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200 , 6983776800 - también son números altamente supercompuestos

Historia

Los números en exceso colosal fueron estudiados por primera vez por Ramanujan , y sus resultados se incluirían en su artículo de 1915 sobre el número supercompuesto [3] . Desafortunadamente, el editor de la revista a la que Ramanujan envió su trabajo, la London Mathematical Society , tenía dificultades financieras en ese momento, y Ramanujan acordó eliminar algunos aspectos del trabajo para reducir los costos de impresión [4] . Sus conclusiones se basaron principalmente en la hipótesis de Riemann , y con esta suposición encontró límites superior e inferior en el tamaño de números colosalmente redundantes y demostró que lo que se conocería como la desigualdad de Robin (ver más abajo) se cumple para todos los valores suficientemente grandes de norte [ 5] .

La clase de números fue revisada en una forma algo más fuerte en un artículo de 1944 de Leonidas Alaoglu y Pal Erdős , en el que intentaron ampliar los resultados de Ramanujan [6] .

Propiedades

Los números colosalmente redundantes son una de varias clases de enteros que intentan capturar la noción de tener múltiples divisores. Para un entero positivo n , la función de suma de divisores σ ( n ) da la suma de todos los números que dividen a n , incluido el 1 y el propio n . Paul Bachmann demostró que, en promedio, σ( n ) es aproximadamente π 2 n / 6 [7] . Mientras tanto, el teorema de Grönwall dice que el orden máximo de σ( n ) es ligeramente mayor, en particular, hay una secuencia creciente de enteros n tal que, para esos enteros, σ( n ) es aproximadamente del mismo tamaño que e γ n log (log( n )), donde γ es la constante de Euler-Mascheroni [7] . Por lo tanto, los números colosalmente redundantes adoptan la noción de tener múltiples divisores al exigirles que maximicen, para algunos , el valor de la función

para todos los valores . Los resultados de Bachmann y Grönwall garantizan que para cualquier esta función tiene un máximo, y que a medida que ε tiende a cero, estos máximos aumentarán. Así, existen infinitos números colosalmente redundantes, aunque son bastante raros, y sólo 22 de ellos son menores que 10 18 [8] .

Para cada ε, la función anterior tiene un máximo, pero no es obvio, y de hecho no es cierto, que para cada ε este valor máximo sea único. Alaoglu y Erdős estudiaron cuántos valores diferentes de n pueden dar el mismo valor máximo de la función anterior para un valor dado de ε. Demostraron que para la mayoría de los valores de ε, habrá un único entero n que maximice la función. Más tarde, sin embargo, Erdős y Jean-Louis Nicolas demostraron que para un determinado conjunto de valores discretos de ε, puede haber dos o cuatro valores diferentes de n que den el mismo valor máximo [9] .

En su artículo de 1944, Alaoğlu y Erdős sugirieron que la proporción de dos números colosalmente redundantes consecutivos siempre era un número primo . Demostraron que esto se deriva de un caso particular de las cuatro hipótesis exponenciales en la teoría de los números trascendentales , en particular que para dos primos distintos p y q , solo los números reales t para los cuales tanto p t como q t son números racionales son números enteros positivos . Usando el resultado correspondiente para tres números primos, un caso especial del teorema de las seis exponenciales , que demostró K. L. Siegel , pudieron demostrar que el cociente de dos números colosalmente redundantes consecutivos siempre es igual a un número primo o semiprimo . es decir, un número que consta solo de dos factores primos . El cociente nunca puede ser el cuadrado de un número primo.

La conjetura de Alaoglu y Erdős sigue abierta, aunque ha sido contrastada al menos hasta 10 7 [10] De ser cierta, esto significaría que existe una secuencia de primos indistinguibles p 1 , p 2 , p 3 ,... tal que n - el número colosalmente redundante tenía la forma:

Suponiendo que la conjetura sea correcta, esta secuencia de números primos comienza con 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (secuencia A073751 en OEIS ). La conjetura de Alaoglu y Erdős también significaría que ningún valor de ε da cuatro enteros distintos n como el máximo de la función anterior.

Conexión con la hipótesis de Riemann

En la década de 1980, Guy Robin demostró [11] que la hipótesis de Riemann equivale a decir que la siguiente desigualdad es cierta para todo > 5040: (donde es la constante de Euler-Mascheroni ):

Se sabe que esta desigualdad falla para 27 números (secuencia A067698 en OEIS ):

Robin demostró que si la hipótesis de Riemann es cierta, entonces = 5040 es el último entero en el que falla. La desigualdad ahora se conoce como la desigualdad de Robin después de su trabajo. Se sabe que la desigualdad de Robin, si alguna vez no se cumple, falla para el número colosalmente redundante "n"; por tanto, la hipótesis de Riemann es efectivamente equivalente a la desigualdad de Robin, que es válida para todo número colosalmente excedente n > 5040.

En 2001–2002 , Lagarias [8] demostró una forma alternativa de la declaración de Robin que no requiere excepciones, utilizando un número armónico en lugar de un logaritmo :

O, aparte de 8 excepciones de n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:

Enlaces

1. ↑ K. Briggs, Números excesivos y la hipótesis de Riemann , Matemáticas experimentales 15:2 (2006), págs. 251–256, doi : 10.1080/10586458.2006.10128957 .
2. ↑ Secuencia OEIS A004490 _
3. ^ S. Ramanujan , " Números de supercomponentes ", Actas de la London Mathematical Society 14 (1915), págs. 347–407, MR : 2280858 .
4. ↑ S. Ramanujan, Documentos recopilados , Chelsea , 1962.
5. ↑ S. Ramanujan, "Números de supercomponentes. Anotados con un prefacio de J.-L. Nicolas y G. Robin", Ramanujan's Journal 1 (1997), págs. 119–153.
6. ↑ Alaoglu, L. & Erdős, P. (1944), Sobre supercomponentes y números similares , Actas de la American Mathematical Society Vol. 56: 448–469, doi : 10.2307/1990319 , < http://www.renyi.hu /~ p_erdos/1944-03.pdf > Archivado el 12 de noviembre de 2017 en Wayback Machine . 
7. ↑ 1 2 G. Hardy , E. M. Wright, Introducción a la teoría de números. 5ª edición , ed. Universidad de Oxford , Oxford , 1979.
8. ↑ 1 2 J. C. Lagarias, Un problema elemental equivalente a la hipótesis de Riemann . Archivado el 10 de octubre de 2014 en Wayback Machine , American Mathematical Monthly 109 (2002), págs. 534–543 .
9. ↑ P. Erdős, J.-L. Nicolas, "Distribución de números sobreabundantes", Boletín de la Sociedad Matemática Francesa 103 (1975), págs. 65–90.
10. ↑ N. J. A. Sloan , Números primos que, cuando se multiplican en orden, dan una secuencia de números colosalmente redundantes. Archivado el 16 de abril de 2021 en Wayback Machine , The Online Encyclopedia of Integer Sequences. Fundación OEIS.
11. ↑ G. Robin, "Grandes valores de la función suma del divisor y la hipótesis de Riemann", Journal of Pure and Applied Mathematics 63 (1984), págs. 187–213.

Enlaces externos

• Keith Briggs sobre el exceso colosal de números y la hipótesis de Riemann
• Introducción a MathWorld
• Notas sobre la hipótesis de Riemann y los números en exceso
• Más sobre la formulación de RH de Robin