Número normal

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Los números regulares son números que dividen equitativamente potencias de 60 (o, de manera equivalente, potencias de 30 ). Por ejemplo, 60 2 = 3600 = 48 × 75, por lo que tanto 48 como 75 son divisores de la potencia de 60. Por lo tanto, son números ordinarios . De manera equivalente, estos son números cuyos únicos divisores primos son 2, 3 y 5.

Los números que se dividen uniformemente a una potencia de 60 ocurren en varias áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, y tienen diferentes nombres tomados de estos diferentes campos de estudio.

Teoría de números

Formalmente, un número regular es un entero de la forma 2 i ·3 j ·5 k para los enteros no negativos i , j y k . Este número es un divisor . Los números regulares también se denominan 5 - suaves , lo que indica que su factor primo más grande es como máximo 5.

Primeros números regulares

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60,... (secuencia A051037 en OEIS ).

Algunas otras secuencias en OEIS tienen definiciones que incluyen 5 números suaves [2] .

Aunque los números regulares parecen densos en el rango de 1 a 60, son bastante raros entre los números enteros grandes. Un número regular n = 2 i 3 j 5 k es menor o igual que N si y sólo si el punto ( i , j , k ) pertenece a un tetraedro , acotado por los planos coordenados y el plano

como puede verse tomando el logaritmo de ambos lados de la desigualdad 2 i ·3 j ·5 k ≤ N . Por lo tanto, el número de números regulares que no exceda de N se puede estimar como el volumen de este tetraedro, que es igual a

Más precisamente, usar la notación "O" es grande , el número de números regulares hasta N es

y se ha sugerido que el error de esta aproximación es de hecho [3] . Srinivasa Ramanujan da una fórmula similar para el número de números de 3 hasta N en su primera carta a Godfrey Harold Hardy [4] .

Matemáticas babilónicas

En la notación sexagesimal babilónica , el recíproco de un número regular tiene una representación finita, por lo que es fácilmente divisible. En particular, si n divide a 60 k , entonces la representación sexagesimal de 1/ n es 60 k / n desplazada por algún número de lugares.

Por ejemplo, supongamos que queremos dividir por el número común 54 = 2 1 3 3 . 54 es un divisor de 603 y 603/54 = 4000, por lo que dividir por 54 en sexagesimal se puede hacer multiplicando por 4000 y desplazando tres dígitos. En sexagesimal 4000 = 1x3600 + 6x60 + 40x1, o (como dice Joyce) 1:6:40. Así que 1/54 en sexagesimal es 1/60 + 6/60 2 + 40/60 3 , que también se denota 1:6:40, como lo hacían las convenciones babilónicas. sin especificar el grado del dígito inicial. Por el contrario, 1/4000 = 54/60 3 , por lo que se puede dividir entre 1:6:40 = 4000 multiplicando por 54 y desplazando tres dígitos sexagesimales.

Los babilonios usaban tablas de números regulares recíprocos, algunas de las cuales han sobrevivido hasta el día de hoy (Sachs, 1947). Estas tablas existieron relativamente sin cambios a lo largo de la época babilónica [5] .

Aunque la principal razón para preferir los números ordinarios a otros es la finitud de sus recíprocos, algunos cálculos babilónicos distintos de los recíprocos también incluían números regulares. Por ejemplo, se han encontrado tablas de cuadrados regulares [5] , y Otto E. Neugebauer ha interpretado la escritura cuneiforme rota de la tablilla de Plimpton 322 como una enumeración de ternas pitagóricas generadas por ambos números regulares p , q que son menores de 60 [6] .

Teoría de la música

En teoría musical, la afinación natural de la escala diatónica incluye números ordinarios: los tonos en una octava de esta escala tienen frecuencias proporcionales a los números en la secuencia 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 regulares casi consecutivos números. Así, para un instrumento con esta afinación, todos los tonos son armónicos regulares de la misma frecuencia fundamental . Esta escala se denomina afinación de límite de 5 , lo que significa que el intervalo entre dos tonos cualquiera puede describirse como el producto de 2 i 3 j 5 k potencias de números primos hasta 5, o de manera equivalente, como una proporción de números primos regulares. números.

Las escalas musicales de 5 límites distintas de la familiar escala diatónica de la música occidental también se han utilizado tanto en la música tradicional de otras culturas como en la música experimental moderna: Honingh & Bod (2005 ) enumera 31 escalas diferentes de 5 límites tomadas de una gran base de datos de escalas musicales. Cada una de estas 31 escalas comparte con la entonación diatónica la propiedad de que todos los intervalos son proporciones de números regulares. Euler Tonal Grid proporciona una representación gráfica conveniente del tono en cualquier afinación de 5 límites mediante la extracción de proporciones de octava (potencias de dos) para que los valores restantes formen una cuadrícula plana . Algunos teóricos de la música han afirmado de manera más general que los números regulares son fundamentales para la música tonal en sí, y que las proporciones de tono basadas en números primos mayores que 5 no pueden ser consonantes [7] . Sin embargo, el temperamento igual de los pianos modernos no es una afinación de límite de 5, y algunos compositores modernos han experimentado con afinaciones basadas en números primos mayores que 5.

En relación con la aplicación de los números ordinarios a la teoría musical, es interesante encontrar pares de números regulares que difieran en uno. Hay exactamente diez pares de este tipo ( x , x + 1) [8] y cada par define una relación de superpartículas ( x + 1)/ x , que tiene sentido como un intervalo musical. Es 2/1 ( octava ), 3/2 ( quinta perfecta ), 4/3 ( cuarta perfecta ), 5/4 ( tercera mayor ), 6/5 ( tercera menor ), 9/8 ( segundo mayor ), 10/9 ( segundo menor ), 16/15 ( semitono diatónico ), 25/24 ( semitono cromático ) y 81/80 ( coma sintónica ).

Algoritmos

Edsger Dijkstra popularizó los algoritmos para calcular números regulares en orden ascendente . Dijkstra [9] [10] atribuye a Hamming el problema de construir una secuencia infinitamente creciente de todos los números de 5 puntos; este problema ahora se conoce como el problema de Hamming , y los números así obtenidos también se llaman números de Hamming . Las ideas de Dijkstra para calcular estos números son las siguientes:

Este algoritmo se usa a menudo para demostrar el poder de un lenguaje de programación funcional perezoso , porque (implícitamente) las implementaciones paralelas eficientes que usan un número constante de operaciones aritméticas por valor generado se construyen fácilmente como se describe anteriormente. También son posibles implementaciones secuenciales estrictamente funcionales o imperativas igualmente eficientes, mientras que las soluciones generativas explícitamente paralelas pueden no ser triviales [11] .

En el lenguaje de programación Python, el código funcional perezoso para generar números regulares se usa como una de las pruebas integradas para la corrección de la implementación del lenguaje [12] .

Un problema relacionado discutido en Knuth (1972 ) es enumerar todos los números hexadecimales de k dígitos en orden ascendente, como lo hizo (para k = 6) el escriba de la era seléucida Inakibit-Anu en la tablilla AO6456. En términos algorítmicos, esto equivale a generar (en orden) una subsecuencia de una secuencia infinita de números ordinarios en el rango de 60 k a 60 k + 1 . Ver Gingerich (1965 ) para una descripción temprana del código de computadora que genera estos números desordenados y luego los ordena; Knuth describe un algoritmo especial, que atribuye a Bruins (1970 ), para generar números de seis dígitos más rápidamente, pero no generaliza de manera directa a valores grandes de k . Eppstein (2007 ) describe un algoritmo para calcular tablas de este tipo en tiempo lineal para valores arbitrarios de k .

Otras aplicaciones

Heninger, Rains y Sloane (2006 ) muestran que cuando n es un número regular divisible por 8, la función generadora de una retícula unimodular extrema e n - dimensional es la n- ésima potencia de un polinomio.

Al igual que con otras clases de números suaves , los números regulares son importantes como tamaños de problemas en los programas de computadora para realizar la transformada rápida de Fourier , una técnica para analizar frecuencias de señales dominantes en datos variables en el tiempo . Por ejemplo, el método de Temperton (1992 ) requiere que la longitud de la transformación sea un número ordinario.

El libro 8 de Los Estados de Platón tiene una alegoría del matrimonio basada en el muy regular número 60 4 = 12.960.000 y sus divisores. Los eruditos posteriores utilizaron tanto las matemáticas babilónicas como la teoría musical en un intento de explicar este pasaje [13] . (Ver Número de Platón .)

Notas

  1. ↑ Inspirado en diagramas similares de Erkki Kurenniemi en " Chords, scales and divisor lattices" . Archivado el 10 de febrero de 2021 en Wayback Machine .
  2. ↑ Búsqueda de OEIS de secuencias con suavidad 5. Archivado el 10 de abril de 2021 en Wayback Machine .
  3. ↑ Neil Sloan . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Consultado el 10 de abril de 2021. Archivado desde el original el 6 de mayo de 2021.
  4. ↑ Berndt, Bruce K. y Rankin, Robert Alexander, eds. (1995), Ramanujan: Cartas y comentarios , vol. 9, Historia de las Matemáticas, American Mathematical Society, p. 23, ISBN 978-0-8218-0470-4  .
  5. ↑ 12 Aaboe (1965 ).
  6. ↑ Ver Conway & Guy (1996 ) para un tratamiento popular de esta interpretación. Plimpton 322 tiene otras interpretaciones, para las cuales ver su artículo, pero todas incluyen números regulares.
  7. ↑ Asmussen (2001 ), por ejemplo, afirma que "en cualquier pieza de música tonal" todos los intervalos deben ser proporciones de números regulares, haciéndose eco de afirmaciones similares de autores anteriores como Habens (1889 ). En la literatura de teoría musical contemporánea, esta afirmación se atribuye a menudo a Longuet-Higgins (1962 ), quien utilizó un diseño gráfico cercano a una red tonal para organizar tonos de 5 límites.
  8. ↑ Halsey & Hewitt (1972 ) señalaron que esto se deriva del teorema de Størmer ( Størmer 1897 ) y proporcionaron pruebas en este caso; véase también Silver (1971 ).
  9. ↑ Dijkstra, Edsger W. (1976), 17. Un ejercicio atribuido a RW Hamming , A Programming Discipline , Prentice-Hall, p. 129–134 , ISBN 978-0132158718 , < https://archive.org/details/disciplineofprog0000dijk/page/129 > 
  10. ↑ Dijkstra, Edsger W. (1981), Ejercicio Hamming en SASL , Informe EWD792. Distribuido originalmente de forma privada como una nota manuscrita. , < http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF > Archivado el 4 de abril de 2019 en Wayback Machine . 
  11. ↑ Véase, por ejemplo, Hemmendinger (1988 ) o Yuen (1992 ).
  12. ↑ Función m235 en test_generators.py Archivado el 29 de septiembre de 2007 en Wayback Machine .
  13. ↑ Barton (1908 ); McClain (1974 ).

Enlaces

Enlaces externos