Números de amigos

Los números amigos  son dos o más números naturales con el mismo índice de redundancia , el cociente de la suma de los divisores de los números y el propio número. Dos números con la misma redundancia forman un par amigable , n números con la misma redundancia forman una n -tupla amigable .

Ser amigos es una relación de equivalencia , y por lo tanto genera una partición de números naturales positivos en clubes ( clases de equivalencia ) de números amigos por pares.

Un número que no forma parte de ningún par amigo se llama ermitaño .

El índice de redundancia del número n  es un número racional , en el que significa la suma de divisores . Un número n es amigo si existe tal que . Tenga en cuenta que la redundancia no es lo mismo que el exceso , que se define como .

La redundancia también se puede expresar como , donde la función divisoria de c es igual a la suma de las késimas potencias de los divisores de n .

Los números del 1 al 5 son ermitaños. El número amigable más pequeño es 6, que se empareja con 28 con un índice de redundancia de . El valor total de 2 es un número entero en este caso, lo que no es cierto en muchos otros casos. Los números con un índice de redundancia de 2 también se conocen como números perfectos . Hay una serie de problemas sin resolver relacionados con los números amistosos.

A pesar de la similitud de nombres, no existe una relación directa entre números amigos y números amigos o números acompañantes , aunque las definiciones de estos números también utilizan la función divisoria.

Ejemplos

En la tabla , se demuestra que los números azules son amigables (secuencia A074902 en OEIS ), los números rojos son ermitaños (secuencia A095739 en OEIS ), los números n que son primos relativos a c (secuencia A014567 en OEIS ) no están coloreados aquí , aunque obviamente son ermitaños. Los números restantes tienen un estado desconocido y están resaltados en amarillo .

norte norte norte norte
una una una 37 38 38/37 73 74 74/73 109 110 110/109
2 3 3/2 38 60 30/19 74 114 57/37 110 216 108/55
3 cuatro 4/3 39 56 56/39 75 124 124/75 111 152 152/111
cuatro 7 7/4 40 90 9/4 76 140 35/19 112 248 31/14
5 6 6/5 41 42 42/41 77 96 96/77 113 114 114/113
6 12 2 42 96 16/7 78 168 28/13 114 240 40/19
7 ocho 8/7 43 44 44/43 79 80 80/79 115 144 144/115
ocho quince 15/8 44 84 21/11 80 186 93/40 116 210 105/58
9 13 13/9 45 78 26/15 81 121 121/81 117 182 14/9
diez Dieciocho 9/5 46 72 36/23 82 126 63/41 118 180 90/59
once 12 12/11 47 48 48/47 83 84 84/83 119 144 144/119
12 28 7/3 48 124 31/12 84 224 8/3 120 360 3
13 catorce 14/13 49 57 57/49 85 108 108/85 121 133 133/121
catorce 24 12/7 cincuenta 93 93/50 86 132 66/43 122 186 93/61
quince 24 8/5 51 72 24/17 87 120 40/29 123 168 56/41
dieciséis 31 31/16 52 98 49/26 88 180 45/22 124 224 56/31
17 Dieciocho 18/17 53 54 54/53 89 90 90/89 125 156 156/125
Dieciocho 39 13/6 54 120 20/9 90 234 13/5 126 312 52/21
19 veinte 20/19 55 72 72/55 91 112 16/13 127 128 128/127
veinte 42 21/10 56 120 15/7 92 168 42/23 128 255 255/128
21 32 32/21 57 80 80/57 93 128 128/93 129 176 176/129
22 36 18/11 58 90 45/29 94 144 72/47 130 252 126/65
23 24 24/23 59 60 60/59 95 120 24/19 131 132 132/131
24 60 5/2 60 168 14/5 96 252 21/8 132 336 28/11
25 31 31/25 61 62 62/61 97 98 98/97 133 160 160/133
26 42 21/13 62 96 48/31 98 171 171/98 134 204 102/67
27 40 40/27 63 104 104/63 99 156 52/33 135 240 16/9
28 56 2 64 127 127/64 100 217 217/100 136 270 135/68
29 treinta 30/29 sesenta y cinco 84 84/65 101 102 102/101 137 138 138/137
treinta 72 12/5 66 144 24/11 102 216 36/17 138 288 48/23
31 32 32/31 67 68 68/67 103 104 104/103 139 140 140/139
32 63 63/32 68 126 63/34 104 210 105/52 140 336 12/5
33 48 16/11 69 96 32/23 105 192 64/35 141 192 64/47
34 54 27/17 70 144 72/35 106 162 81/53 142 216 108/71
35 48 48/35 71 72 72/71 107 108 108/107 143 168 168/143
36 91 91/36 72 195 65/24 108 280 70/27 144 403 403/144

Otro ejemplo es que 30 y 140 forman un par amistoso porque 30 y 140 tienen el mismo índice de redundancia:

Los números 2480, 6200 y 40640 son miembros del club, ya que los tres números tienen un índice de redundancia de 12/5.

Como ejemplo de números amistosos impares , considere 135 y 819 (índice de redundancia 16/9). También hay casos en los que los números pares son amigos de los impares, como el 42 y el 544635 (índice 16/7).

Un cuadrado perfecto puede ser un número amigable, por ejemplo 693479556 (el cuadrado de 26334) y 8640 tienen un índice de redundancia de 127/36 (este ejemplo es de Dean Hickerson).

Números ermitaños

Los números pertenecientes a un club de un elemento, ya que no hay otros números amigos de ellos, son ermitaños. Todos los números primos son ermitaños. Más generalmente, si los números n y son coprimos , es decir, el máximo común divisor de estos números es 1, y por lo tanto es una fracción irreducible, entonces el número n es un ermitaño (secuencia A014567 en OEIS ). Para un número primo p tenemos , y este número es relativamente primo de p .

No se conoce ningún método general para determinar si un número es un número ermitaño o un número amigo. El número más pequeño cuya clasificación se desconoce (a partir de 2009) es el número 10. Se sugiere que es un ermitaño, si no lo es, su amigo más pequeño es un número bastante grande, como el número 24, aunque el número 24 es amigable, su amigo más pequeño es el número 91.963.648. Para el número 10, no hay número amigo menor que 2.000.000.000 [1] .

Grandes clubes

Un problema abierto es si hay clubes infinitamente grandes o números amistosos entre sí. Los números perfectos forman un club y se supone que hay infinitos números perfectos (al menos tantos como números de Mersenne ), pero no hay prueba. Para 2018, se conocen 50 números perfectos y el número más grande conocido tiene más de 46 millones de dígitos en notación decimal . Hay clubes con miembros más conocidos, en particular clubes formados por números multiperfectos , es decir, números cuyo índice de redundancia es un número entero. A principios de 2013, el club de números amigos con un índice de 9 tenía 2094 miembros [2] . Aunque se sabe que los clubes de números multiperfectos son bastante grandes (con la excepción de los propios números perfectos), existe la conjetura de que estos clubes son finitos.

Notas

  1. ↑ Cemra .
  2. ↑ Flammenkamp, ​​2008 .

Literatura