Número hiperperfecto
Un número hiperperfecto es un k -número hiperperfecto para algún entero k . k -número hiperperfecto - un número natural n para el cual
donde σ ( n ) es la función divisoria (es decir, la suma de todos los divisores positivos del número).
Los números hiperperfectos son una generalización de los números perfectos que son 1-hiperperfectos.
Los primeros miembros de la secuencia de números hiperperfectos son 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697,… (secuencia A034897 en OEIS ), con valores k correspondientes de 1, 2, 1, 6, 3, 1 , 12, … (secuencia A034898 en OEIS). Los primeros números hiperperfectos que no son perfectos son 21, 301, 325, 697, 1333,... (secuencia A007592 en OEIS).
Lista de números hiperperfectos
La siguiente tabla enumera algunas secuencias de k-números hiperperfectos para algún k.
| k | OEIS | Algunos números famosos |
|---|---|---|
| una | A000396 | 6, 28, 496, 8128, 33550336, … |
| 2 | A007593 | 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, … |
| 3 | 325, ... | |
| cuatro | 1950625, 1220640625, … | |
| 6 | A028499 | 301, 16513, 60110701, 1977225901, … |
| diez | 159841, … | |
| once | 10693, … | |
| 12 | A028500 | 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, … |
| Dieciocho | A028501 | 1333, 1909, 2469601, 893748277, … |
| 19 | 51301, … | |
| treinta | 3901, 28600321, … | |
| 31 | 214273, … | |
| 35 | 306181, … | |
| 40 | 115788961, … | |
| 48 | 26977, 9560844577, … | |
| 59 | 1433701, … | |
| 60 | 24601, … | |
| 66 | 296341, … | |
| 75 | 2924101, … | |
| 78 | 486877, … | |
| 91 | 5199013, … | |
| 100 | 10509080401, … | |
| 108 | 275833, … | |
| 126 | 12161963773, … | |
| 132 | 96361, 130153, 495529, … | |
| 136 | 156276648817, … | |
| 138 | 46727970517, 51886178401, … | |
| 140 | 1118457481, … | |
| 168 | 250321, … | |
| 174 | 7744461466717, … | |
| 180 | 12211188308281, … | |
| 190 | 1167773821, … | |
| 192 | 163201, 137008036993, … | |
| 198 | 1564317613, … | |
| 206 | 626946794653, 54114833564509, … | |
| 222 | 348231627849277, … | |
| 228 | 391854937, 102744892633, 3710434289467, … | |
| 252 | 389593, 1218260233, … | |
| 276 | 72315968283289, … | |
| 282 | 8898807853477, … | |
| 296 | 444574821937, … | |
| 342 | 542413, 26199602893, … | |
| 348 | 66239465233897, … | |
| 350 | 140460782701, … | |
| 360 | 23911458481, … | |
| 366 | 808861, … | |
| 372 | 2469439417, … | |
| 396 | 8432772615433, … | |
| 402 | 8942902453, 813535908179653, … | |
| 408 | 1238906223697, … | |
| 414 | 8062678298557, … | |
| 430 | 124528653669661, … | |
| 438 | 6287557453, … | |
| 480 | 1324790832961, … | |
| 522 | 723378252872773, 106049331638192773, … | |
| 546 | 211125067071829, … | |
| 570 | 1345711391461, 5810517340434661, … | |
| 660 | 13786783637881, … | |
| 672 | 142718568339485377, … | |
| 684 | 154643791177, … | |
| 774 | 8695993590900027, … | |
| 810 | 5646270598021, … | |
| 814 | 31571188513, … | |
| 816 | 31571188513, … | |
| 820 | 1119337766869561, … | |
| 968 | 52335185632753, … | |
| 972 | 289085338292617, … | |
| 978 | 60246544949557, … | |
| 1050 | 64169172901, … | |
| 1410 | 80293806421, … | |
| 2772 | A028502 | 95295817, 124035913, … |
| 3918 | 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, … | |
| 9222 | 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, … | |
| 9828 | 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, … | |
| 14280 | 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, … | |
| 23730 | 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, … | |
| 31752 | A034916 | 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, … |
| 55848 | 15166641361, 44783952721, 67623550801, … | |
| 67782 | 18407557741, 18444431149, 34939858669, … | |
| 92568 | 50611924273, 64781493169, 84213367729, … | |
| 100932 | 50969246953, 53192980777, 82145123113, … |
Se puede demostrar que si k > 1 es un entero impar , y p = (3 k + 1)/2 y q = 3 k + 4 son números primos , entonces p² q k es hiperperfecto ; En 2000, Judson S. McCranie sugirió que todos los k-números hiperperfectos para k > 1 impar tienen esta forma, pero esta conjetura aún no se ha probado. Además, se puede probar que si p ≠ q son primos impares y k es un número entero tal que k (p + q) = pq - 1, entonces pq es k-hiperperfecto.
También se puede demostrar que si k>0 y p = k + 1 es primo, entonces para todo i>1 tal que sea primo, es k-hiperperfecto.
La siguiente tabla enumera los valores k conocidos y los valores i correspondientes para los cuales n es k-hiperperfecto:
| k | OEIS | Valores _ |
|---|---|---|
| dieciséis | A034922 | 11, 21, 127, 149, 469, … |
| 22 | 17, 61, 445, ... | |
| 28 | 33, 89, 101, ... | |
| 36 | 67, 95, 341, ... | |
| 42 | A034923 | 4, 6, 42, 64, 65, … |
| 46 | A034924 | 5, 11, 13, 53, 115, … |
| 52 | 21, 173, ... | |
| 58 | 11, 117, ... | |
| 72 | 21, 49, ... | |
| 88 | A034925 | 9, 41, 51, 109, 483, … |
| 96 | 6, 11, 34, … | |
| 100 | A034926 | 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, … |
Hiperdeficiencia
El concepto matemático recientemente introducido de números hiperinsuficientes está relacionado con los números hiperperfectos.
Definición (Minoli 2010): Para cualquier número entero n y para el número entero k, -∞ <k <∞ define k-hiperdéficit (o simplemente hiperdeficiente) como
δk (n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n )Un número n se llama k-hipersuficiente si δ k (n) > 0.
Tenga en cuenta que para k = 1 obtenemos δ 1 (n) = 2n-σ(n), que es la definición tradicional estándar de número insuficiente .
Lema : Un número n es k-hiperperfecto (incluyendo k = 1) si y solo si n es k-hiperdeficiente, δ k (n) = 0.
Lema : Un número n es k-hiperperfecto (incluyendo k = 1) si y sólo si para algún k, δ k-j (n) = -δ k + j (n) para al menos un j>0.
Enlaces
- Manual de teoría de números I (neopr.) / Sándor, József; Mitrinovic, Dragoslav S.; Crstici, Borislav. - Dordrecht: Springer-Verlag , 2006. - Pág. 114. - ISBN 1-4020-4215-9 .
Lecturas adicionales
Artículos
- Minoli, Daniel & Bear, Robert (otoño de 1975), Números hiperperfectos, Pi Mu Epsilon Journal , volumen 6 (3): 153–157 .
- Minoli, Daniel (diciembre de 1978), Formas suficientes para números perfectos generalizados, Annales de la Faculté des Sciences UNAZA vol.4 (2): 277–302 .
- Minoli, Daniel (febrero de 1981), Problemas estructurales para números hiperperfectos, Fibonacci Quarterly , volumen 19 (1): 6–14 .
- Minoli, Daniel (abril de 1980), Problemas en números hiperperfectos no lineales , Matemáticas de computación Vol . 34 (150): 639–645 , DOI 10.2307/2006107 .
- Minoli, Daniel (octubre de 1980), Nuevos resultados para números hiperperfectos, Abstracts of the American Mathematical Society vol.1 (6): 561 .
- Minoli, Daniel & Nakamine, W. (1980), Números de Mersenne arraigados en 3 para transformaciones teóricas de números, Conferencia internacional sobre acústica, voz y procesamiento de señales .
- McCranie, Judson S. (2000), Un estudio de números hiperperfectos , Journal of Integer Sequences Vol . 3 , < http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html > . Consultado el 29 de julio de 2017. Archivado el 5 de abril de 2004 en Wayback Machine .
- te Riele, Herman JJ (1981), Números hiperperfectos con tres factores primos diferentes , Matemáticas. compensación T. 36: 297–298 , DOI 10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9 .
- te Riele, Herman JJ (1984), Reglas para construir números hiperperfectos, Fibonacci Q. T. 22: 50–60 .
Libros
- Daniel Minoli, Voz sobre MPLS, McGraw-Hill, Nueva York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (p. 114-134)
Enlaces
- MathWorld: número hiperperfecto Archivado el 15 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
- Una larga lista de números hiperperfectos en Datos