Secuencia numérica

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Una secuencia numérica (anteriormente en la literatura matemática en idioma ruso había una variante del término [1] [2] , perteneciente a Sh. Mere [1] ) es una secuencia de números .

Las sucesiones numéricas son uno de los principales objetos de consideración en el análisis matemático .

Definición

Sea el conjunto de los números reales o el conjunto de los números complejos . Entonces la secuencia de elementos del conjunto se llama secuencia numérica . $X$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {C}$ $(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty}}$ $X$

Ejemplos

La función es una secuencia infinita de números enteros . Los elementos de esta sucesión, a partir del primero, tienen la forma . $\left((-1)^{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty}}$ $\langle -1,1,-1,1,-1,\ldots \rangle$
La función es una sucesión infinita de números racionales . Los elementos de esta sucesión, a partir del primero, tienen la forma . $(1/n)_{{n=1}}^{{\infty}}$ $\langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots \rangle$

Operaciones sobre secuencias

En el conjunto de todas las secuencias de elementos del conjunto , se pueden definir operaciones aritméticas y de otro tipo, si alguna está definida en el conjunto . Tales operaciones suelen definirse de forma natural, es decir, elemento por elemento. $X$ $X$

Sea definida la operación -aria en el conjunto : $X$ $norte$ $F$

f\dos puntos X^{N}\flecha derecha X

Entonces para los elementos , , …, el conjunto de todas las sucesiones de elementos del conjunto, la operación se definirá de la siguiente manera: $x_{1}=(x_{{1n)))_{{n=1}}^{\infty}$ $x_{2}=(x_{{2n)))_{{n=1}}^{\infty}$ $x_{N}=(x_{{Nn)))_{{n=1}}^{\infty}$ $X$ $F$

f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\right)=(f\left(x_{{1n}},x_{{2n}},\cdots ,x_{{ Nn}}\right))_{{n=1}}^{\infty}

Por ejemplo, así es como se definen las operaciones aritméticas para secuencias numéricas.

La suma de secuencias numéricasesuna secuencia numéricatal que $(x_{n})$ $(y_{n})$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}+y_{n}$

La diferencia de secuencias numéricasesuna secuencia numéricatal que. $(x_{n})$ $(y_{n})$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}-y_{n}$

El producto de sucesiones numéricasesuna sucesión numéricatal que. $x_{n}$ $y_{n}$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}$

La secuencia de números privados y la secuencia de números, cuyos elementos soncero, se denomina secuencia de números. Si todavía hay un elemento cero en la secuenciaen la posición, entonces el resultado de la división por tal secuencia todavía se puede definir como la secuencia. $x_{n}$ $y_{n}$ $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{{n=1}}^{\infty}$ $y_{n}$ $k\neq 1$ $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{{n=1}}^{{k-1}}$

Por supuesto, las operaciones aritméticas se pueden definir no solo sobre el conjunto de secuencias numéricas, sino también sobre cualquier conjunto de secuencias de elementos de conjuntos sobre los que se definan operaciones aritméticas, ya sean campos o incluso anillos .

Subsecuencias

Una subsecuencia de una secuencia es una secuencia, donde es una secuencia creciente de elementos del conjunto de números naturales. $(x_{n})$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

En otras palabras, una subsecuencia se obtiene de una secuencia eliminando un número finito o contable de elementos.

Ejemplos

La secuencia de números primos es una subsecuencia de la secuencia de números naturales.
La secuencia de números naturales que son múltiplos de 12 es una subsecuencia de la secuencia de números naturales pares .

Propiedades

Cada secuencia es su propia subsecuencia.
Para cualquier subsecuencia , es cierto que . $(x_{{k_{n}}})$ $\forall n\in \mathbb{N} \colon k_{n}\geqslant n$
Una subsecuencia de una secuencia convergente converge al mismo límite que la secuencia original.
Si todas las subsecuencias de alguna secuencia original convergen, entonces sus límites son iguales.
Cualquier subsecuencia de una secuencia infinitamente grande también es infinitamente grande.
De cualquier secuencia de números ilimitados, uno puede seleccionar una subsecuencia infinitamente grande, todos los elementos de los cuales tienen un cierto signo.
De cualquier secuencia numérica, se puede seleccionar una subsecuencia convergente o una subsecuencia infinitamente grande, cuyos elementos tienen un cierto signo.

Punto límite de una secuencia

Un punto límite de una sucesión es un punto en cualquier vecindad del cual hay infinitos elementos de esta sucesión. Para sucesiones numéricas convergentes, el punto límite coincide con el límite .

Límite de secuencia

El límite de una secuencia es el objeto al que se acercan los miembros de la secuencia a medida que aumenta el número. Así, en un espacio topológico arbitrariolímite de una sucesión es un elemento en cualquier entorno en el que se encuentran todos los miembros de la sucesión, empezando por alguno. En particular, para sucesiones numéricas, el límite es un número en cualquier vecindad del cual se encuentran todos los miembros de la sucesión, comenzando por alguno.

Un límite parcial de una secuencia es el límite de una de sus subsecuencias. Para sucesiones numéricas convergentes, siempre coincide con el límite habitual.

El límite superior de una secuencia es el punto límite más alto de esa secuencia.

El límite inferior de una secuencia es el punto límite más pequeño de esa secuencia.

Algunos tipos de secuencias

Una sucesión estacionaria es una sucesión en la que todos los miembros, a partir de algunos, son iguales. $(x_{n})$ estacionario _ $\Leftrightarrow \left(\exists N\in \mathbb {N} ~\forall i,j\in \mathbb {N} \colon \left(i\geqslant N\right)\land \left(j\ geqslant N\right)\Rightarrow \left(x_{i}=x_{j}\right)\right)$

Secuencias restringidas y no restringidas

Bajo el supuesto de una ordenación lineal del conjunto de elementos de una sucesión, se pueden introducir los conceptos de sucesiones acotadas y no acotadas. $X$

Una secuencia acotada es una secuencia de elementos del conjunto, todos cuyos miembros no exceden algún elemento de este conjunto. Este elemento se llama el límite superior de la secuencia dada. $X$ $(x_{n})$ delimitado en la parte superior . $\Leftrightarrow \exists M\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\leqslant M$
Una secuencia acotada a continuación es una secuencia de elementos del conjuntopara la cual hay un elemento en este conjunto que no excede a todos sus miembros. Este elemento se llama el mínimo de la sucesión dada. $X$ $(x_{n})$ delimitada desde abajo . $\Leftrightarrow \exists m\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\geqslant m$
Una sucesión acotada ( acotada en ambos lados ) es una sucesión acotada tanto por arriba como por abajo. $(x_{n})$ limitado _ $\Leftrightarrow \exists m,M\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon m\leqslant x_{n}\leqslant M$
Una sucesión ilimitada es una sucesión que no está acotada. $(x_{n})$ ilimitado _ $\Leftrightarrow \forall m,M\in X~\exists n\in \mathbb {N} \colon \left(x_{n}<m\right)\lor \left(x_{n}>M\ Correcto)$

Criterio de acotación de una sucesión numérica

Una secuencia numérica está acotada si y solo si existe un número tal que los valores absolutos de todos los miembros de la secuencia no lo excedan.

(x_{n})

limitado _

\Leftrightarrow \exists A\in \mathbb{R} ~\forall n\in \mathbb{N} \colon |x_{n}|\leqslant A

Propiedades de sucesiones acotadas

Una secuencia numérica con límite superior tiene infinitos límites superiores.
Una sucesión numérica acotada desde abajo tiene infinitas cotas inferiores.
Una sucesión acotada tiene al menos un punto límite .
Una sucesión acotada tiene un límite superior e inferior .
Para cualquier número positivo tomado de antemano, todos los elementos de la secuencia numérica limitada , a partir de algún número que depende de , se encuentran dentro del intervalo . $\varepsilon$ $\left(x_{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty}}$ $\varepsilon$ $\left(\varliminf_{{n\to \infty}}x_{n}-\varepsilon,\varlimsup_{{n\to \infty}}x_{n}+\varepsilon \right)$
Si sólo un número finito de elementos de una secuencia numérica limitada se encuentran fuera del intervalo , entonces el intervalo está contenido en el intervalo . $\izquierda(a,b\derecha)$ $\left(x_{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty}}$ $\left(\varliminf_{{n\to \infty}}x_{n},\varlimsup_{{n\to \infty}}x_{n}\right)$ $\izquierda(a,b\derecha)$
El teorema de Bolzano- Weierstrass es válido . De cualquier secuencia acotada, se puede distinguir una subsecuencia convergente.

Sucesiones infinitesimales e infinitesimales

Una sucesión infinitesimal es una sucesión cuyo límite es cero .
Una sucesión infinitamente grande es una sucesión cuyo límite es el infinito .

Propiedades de las sucesiones infinitesimales

Las secuencias infinitamente pequeñas tienen una serie de propiedades notables que se utilizan activamente en cálculo , así como en disciplinas relacionadas y más generales.

La suma de dos sucesiones infinitesimales es también una sucesión infinitesimal.
La diferencia de dos sucesiones infinitesimales es también una sucesión infinitesimal.
La suma algebraica de cualquier número finito de secuencias infinitesimales es también una secuencia infinitesimal.
El producto de una sucesión acotada y una sucesión infinitesimal es una sucesión infinitesimal.
El producto de cualquier número finito de sucesiones infinitesimales es una sucesión infinitesimal.
Cualquier sucesión infinitesimal está acotada.
Si la secuencia estacionaria es infinitamente pequeña, entonces todos sus elementos, comenzando por algunos, son iguales a cero.
Si toda la secuencia infinitesimal consta de elementos idénticos, entonces estos elementos son ceros.
Si es una sucesión infinitamente grande que no contiene términos cero, entonces hay una sucesión que es infinitamente pequeña. Si todavía contiene cero elementos, entonces la secuencia aún se puede definir a partir de algún número y aún ser infinitesimal. $(x_{n})$ $(1/x_{n})$ $(x_{n})$ $(1/x_{n})$ $norte$
Si es una secuencia infinitesimal que no contiene términos cero, entonces hay una secuencia que es infinitamente grande. Si aún contiene cero elementos, entonces la secuencia aún se puede definir a partir de algún número y seguirá siendo infinitamente grande. $(\alfa _{n})$ $(1/\alfa _{n})$ $(\alfa _{n})$ $(1/\alfa _{n})$ $norte$

Sucesiones convergentes y divergentes

Una sucesión convergente es una sucesión de elementos de un conjuntoque tiene un límite en este conjunto. $X$
Una sucesión divergente es una sucesión que no es convergente.

Propiedades de sucesiones convergentes

Toda sucesión infinitesimal es convergente. Su límite es cero .
Eliminar cualquier número finito de elementos de una secuencia infinita no afecta ni la convergencia ni el límite de esa secuencia.
Cualquier secuencia convergente de elementos de un espacio de Hausdorff tiene un solo límite.
Toda sucesión convergente está acotada. Sin embargo, no todas las sucesiones acotadas convergen.
Una secuencia converge si y solo si está acotada y sus límites superior e inferior coinciden.
Si la sucesión converge, pero no es infinitamente pequeña, entonces, a partir de algún número, se define una sucesión acotada. $(x_{n})$ $(1/x_{n})$
La suma de sucesiones convergentes también es una sucesión convergente.
La diferencia de sucesiones convergentes también es una sucesión convergente.
El producto de sucesiones convergentes también es una sucesión convergente.
El cociente de dos sucesiones convergentes se define a partir de algún elemento, a menos que la segunda sucesión sea infinitesimal. Si se define el cociente de dos sucesiones convergentes, entonces es una sucesión convergente.
Si una secuencia convergente está acotada por debajo, entonces ninguno de sus límites inferiores excede su límite.
Si una secuencia convergente está acotada desde arriba, entonces su límite no excede ninguno de sus límites superiores.
Si para cualquier número los términos de una sucesión convergente no exceden los términos de otra sucesión convergente, entonces el límite de la primera sucesión tampoco excede el límite de la segunda.
Si todos los elementos de una cierta sucesión, a partir de un cierto número, se encuentran en el segmento entre los elementos correspondientes de otras dos sucesiones que convergen en el mismo límite, entonces esta sucesión también converge en el mismo límite.
Cualquier secuencia convergente se puede representar como , donde es el límite de la secuencia y es una secuencia infinitesimal. $(x_{n})$ $(x_{n})=(a+\alfa _{n})$ $a$ $(x_{n})$ $\alpha_{n}$
Toda sucesión convergente es fundamental . Además, la secuencia numérica fundamental siempre converge (así como cualquier secuencia fundamental de elementos del espacio completo).

Secuencias monótonas

Una sucesión monótona es una sucesión no creciente o no decreciente. Se supone que sobre el conjunto del que se toman los elementos de la sucesión se introduce la relación de orden .

Secuencias fundamentales

Una sucesión fundamental ( sucesión autoconvergente, sucesión de Cauchy ) es una sucesión de elementos de un espacio métrico en el que, para cualquier distancia predeterminada, existe tal elemento, cuya distancia a cualquiera de los elementos que le siguen no supera la dado uno Para sucesiones numéricas, los conceptos de sucesiones fundamental y convergente son equivalentes, pero en el caso general no es así.

Notas

↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. El curso de cálculo diferencial e integral / Ed. 7º, estereotipado. - M. : Nauka , 1969. - T. 1. - S. 44. - 608 p.
↑ Mikisha A. M., Orlov V. B. Diccionario matemático explicativo. Términos básicos: alrededor de 2500 términos / Ed. Doctor. A. P. Savina. - M. : idioma ruso , 1989. - S. 16 . — 244 págs. — ISBN 5-200-01253-8 .

Véase también

Enciclopedia de secuencias enteras

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux