Exponente de la matriz

El exponente matricial es una función matricial de una matriz cuadrada , similar a la función exponencial habitual . El exponente matricial establece una conexión entre el álgebra de Lie de matrices y el grupo de Lie correspondiente .

Para una matriz real o compleja de tamaño, el exponente de , denotado como o , es la matriz definida por la serie de potencias : $X$ $n\veces n$ $X$ $e^{X}$ $\exp(X)$ $n\veces n$

e^{X}=\sum_{{k=0}}^{\infty}{1\over k!}X^{k}

donde es la k- ésima potencia de la matriz . Esta serie siempre converge, por lo que el exponente de siempre está bien definido. $X^{k}$ $X$ $X$

Si es una matriz de tamaño , entonces el exponente de la matriz de es una matriz de tamaño , cuyo único elemento es igual al exponente habitual de un solo elemento . $X$ $1\veces 1$ $X$ $1\veces 1$ $X$

Propiedades

Propiedades básicas

Para matrices complejas y tamaño , números complejos arbitrarios y , matriz identidad y matriz cero , el exponente tiene las siguientes propiedades: $X$ $Y$ $n\veces n$ $a$ $b$ $mi$ ${\ estilo de visualización 0}$

$\exp 0=E$ ;
$\exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\right)$ ;
$\exp X\exp \left(-X\right)=E$ ;
si , entonces ; $XY=YX$ $\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)$
si es una matriz no singular , entonces . $Y$ $\exp(YXY^{{-1}})=Y\exp(X)Y^{{-1}}$
$\exp X^{{\mathrm T}}=(\exp X)^{{\mathrm T}}$ , donde denota la matriz traspuesta para , por lo tanto, si es simétrica , entonces también es simétrica, y si es una matriz asimétrica , entonces es ortogonal ; $X^{{\mathrm T}}$ $X$ $X$ $\exp X$ $X$ $\exp X$
$\exp(X^{*})=(\exp X)^{*}$ , donde denota la matriz conjugada hermítica para , por lo tanto, si es una matriz hermítica , entonces también es hermítica, y si es una matriz antihermítica , entonces es unitaria . $X^{*}$ $X$ $X$ $\exp X$ $X$ $\exp X$

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Una de las razones por las que el exponente matricial es importante es que se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias [1] . Solución del sistema:

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}

donde es una matriz constante, viene dada por: $A$

y(t)=e^{En}y_{0}.

El exponente matricial también se puede usar para resolver ecuaciones no homogéneas de la forma

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}

No existe una expresión analítica cerrada para soluciones de ecuaciones diferenciales no autónomas de la forma

{\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}

donde no es una constante, pero la expansión de Magnus permite obtener una representación de la solución como una suma infinita. $A$

Exponente de suma

Para dos números reales cualesquiera (escalares) y la función exponencial satisface la ecuación , la misma propiedad se cumple para las matrices simétricas: si las matrices y conmutan (es decir ), entonces . Sin embargo, para matrices no conmutadas, esta igualdad no siempre es cierta; en el caso general , se utiliza la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para el cálculo . $X$ $y$ ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y))$ $X$ $Y$ $XY=YX$ $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $\exp(X+Y)$

En el caso general, la igualdad no implica que y conmuta. $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $X$ $Y$

Para las matrices hermitianas , hay dos teoremas notables relacionados con la traza de los exponentes de la matriz.

La desigualdad de Golden-Thompson

Si y son matrices hermitianas, entonces [2] : $A$ $H$

\operatorname {tr}\exp(A+H)\leqslant \operatorname {tr}(\exp(A)\exp(H))

donde es la traza de la matriz . No se requiere conmutatividad para que esta declaración se cumpla. Hay contraejemplos que muestran que la desigualdad de Golden-Thompson no se puede extender a tres matrices y no siempre es un número real para las matrices hermitianas , y . $\nombre del operador {tr}X$ $X$ $\nombre del operador {tr}(\exp(A)\exp(B)\exp(C))$ $A$ $B$ $C$

Teorema de Lieb

El teorema de Lieb, llamado así por Elliott Lieb , establece que para una matriz hermítica fija , la función es: $H$

f(A)=\nombre del operador {tr}\,\exp \left(H+\log A\right)

es cóncava en el cono de matrices definidas positivas [3] .

Mapeo Exponencial

El exponente de una matriz es siempre una matriz no singular . La inversa de la matriz es , que es análoga al hecho de que el exponente de un número complejo nunca es cero. Entonces el exponente de la matriz define el mapeo: $\exp X$ $\exp(-X)$

\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )

desde el espacio de todas las matrices de dimensión hasta el grupo lineal completo de orden , es decir, el grupo de todas las matrices de dimensión no degeneradas . Esta aplicación es una sobreyección , es decir, toda matriz no singular puede escribirse como exponente de alguna otra matriz (para que esto suceda, es necesario considerar el campo de los números complejos , no de los números reales ). $n\veces n$ $norte$ $n\veces n$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $\matemáticas {R}$

Para dos matrices cualesquiera y tenemos la desigualdad $X$ $Y$

\|e^{{X+Y}}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{{\|X\|}}e^{{\|Y\|}}

donde denota una norma de matriz arbitraria . De ello se deduce que el mapeo exponencial es continuo y Lipschitz en subconjuntos compactos . $\|\cdot \|$ $M_{n}(\mathbb {C} )$

Monitor:

t\mapsto e^{{tX}},\qquad t\in {\mathbb R}

define una curva suave en el grupo lineal general que pasa por el elemento de identidad en . $t = 0$

Aplicaciones

Ecuaciones diferenciales lineales

Un ejemplo de un sistema homogéneo

Para el sistema:

{\begin{matriz}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{matriz))

su matriz es:

A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.

Se puede demostrar que el exponente de la matriz es $ejército de reserva$

e^{{tA}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e^{{2t}}-2t)&-2te^{{ 2t}}&e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)&2(t+ 1 )e^{{2t}}&-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(-1+e^{{2t}} + 2t)&2te^{{2t}}&e^{{2t}}(1+e^{{2t}})\end{bmatriz}}~,

por lo que la solución general de este sistema es:

{\begin{bmatriz}x\\y\\z\end{bmatriz}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatriz}e^{{2t}}(1+e ^{{2t}}-2t)\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)\\e^{{2t}}(-1+e^{{ 2t}}+2t)\end{bmatriz}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatriz}-2te^{{2t}}\\2(t+1)e^ {{2t}}\\2te^{{2t}}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(-1 +e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(1+e^{{2t}} )\end{bmatriz}}~.

Un ejemplo de un sistema no homogéneo

Para resolver un sistema no homogéneo:

{\begin{matriz}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{{2t}}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{{2t} }\end{matriz}}

se introducen notaciones:

A=\left[{\begin{matriz}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{matriz}}\right]~,

{\mathbf {b}}=e^{{2t}}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}

Dado que la suma de la solución general de una ecuación homogénea y una solución particular dan la solución general de una ecuación no homogénea, solo queda encontrar una solución particular. Porque:

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{(-u)A}}{\begin{bmatrix}e^{{ 2u}}\\0\\e^{{2u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{{2u}}&- 2ue^{{2u}}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{{2u}}&2(u+1)e^{{2u}}&0\\\\ 2ue^{{2u}}&2ue^{{2u}}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}\\0\\e^{{2u}} \end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}(2e^{u}-2ue ^{{2u}})\\\\e^{{2u}}(-2e^{u}+2(1+u)e^{{2u}})\\\\2e^{{3u} }+2ue^{{4u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t-1) -16)\\\\{1 \sobre 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \sobre 24}e^{{3t} }(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{{2t}}&-2te^{{2t}} &0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{{2t}}&2(t+1)e^{{2t}}&0\\\\2te^{{2t}} &2te^{{2t}}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,

donde es la condición inicial. ${\mathbf c}={\mathbf y}_{p}(0)$

Generalización: variación de una constante arbitraria

En el caso de un sistema no homogéneo, se puede utilizar el método de variación de una constante arbitraria. Estamos buscando una solución particular en la forma : ${\mathbf y}_{p}(t)=\exp(tA){\mathbf z}(t)$

{\begin{alineado}{\mathbf {y}}_{p}'(t)&=(e^{{tA}})'{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA} }{\mathbf {z}}'(t)\\[6pt]&=Ae^{{tA}}{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z} }'(t)\\[6pt]&=A{\mathbf {y}}_{p}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)~.\end {alineado}}

Para una solución, debe ocurrir lo siguiente: ${\mathbf y}_{p}$

{\begin{alineado}e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)&={\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}'( t)&=(e^{{tA))^{{-1}}{\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}(t)&=\int _ { 0}^{t}e^{{-uA}}{\mathbf {b}}(u)\,du+{\mathbf {c}}~.\end{alineado}}

De este modo:

{\begin{alineado}{\mathbf {y}}_{p}(t)&{}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{-uA}}{ \mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\\&{}=\int _{0}^{t}e^{{(tu) A}}{\mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\end{alineado}}~,

donde se determina a partir de las condiciones iniciales del problema. ${\ matemáticas {c}}$

Véase también

Funciones trigonométricas a partir de una matriz

Notas

↑ Piskunov H. S. Cálculo diferencial e integral para instituciones de educación superior, volumen 2.: Libro de texto para instituciones de educación superior. - 13ª ed. - M. : Nauka, Edición principal de literatura física y matemática, 1985. - S. 544-547. — 560 págs.
↑ Bhatia, R. Matrix Analysis (sin especificar) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Textos de Grado en Matemáticas). — ISBN 978-0-387-94846-1 .
↑ EH Lieb. Funciones de traza convexas y la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson // Adv . Matemáticas. : diario. - 1973. - vol. 11 , núm. 3 . - pág. 267-288 . -doi : 10.1016 / 0001-8708(73)90011-X .

Enlaces

Weisstein, Eric W., "Matriz exponencial" , MathWorld
Módulo para la Matriz Exponencial