Sistema de coordenadas bicéntrico

Las coordenadas bicéntricas son un sistema de coordenadas en un plano en el que la posición de un punto viene dada por las distancias desde dos centros fijos (polos).

Las coordenadas bicéntricas no deben confundirse con las coordenadas bipolares y biangulares , aunque en algunas fuentes se utiliza el término "coordenadas bipolares" para las coordenadas baricéntricas o biangulares [1] .

Fórmulas canónicas para convertir coordenadas (aquí se supone que los polos tienen coordenadas ): ${\ estilo de visualización (\ pmc; 0)}$

{\begin{casos}x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}\\y=\pm {\frac {1}{ 4c)){\raíz cuadrada {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2} }}\end{casos}}

Las siguientes fórmulas convierten coordenadas bicéntricas en coordenadas polares :

{\begin{casos}r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}\\\ theta =\mathrm {arctg} \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{ r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]\end{casos}}

donde es la distancia entre los polos. $2c$

En general, si los polos tienen coordenadas arbitrarias, las fórmulas de traducción se convierten en:

\left\{{\begin{matriz}x=\pm {\frac {r^{2}+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2r}}\ cos \alpha \pm {\frac {\sqrt {(r_{1}+r_{2}+r)(r_{1}-r_{2}-r)(r_{2}-r_{1}-r )(r_{1}+r_{2}-r)}}{2r}}\sin \alpha +x_{1}\\y=\pm {\frac {r^{2}+r_{1}^ {2}-r_{2}^{2}}{2r}}\sin \alpha \mp {\frac {\sqrt {(r_{1}+r_{2}+r)(r_{1}-r_ {2}-r)(r_{2}-r_{1}-r)(r_{1}+r_{2}-r)}}{2r}}\cos \alpha +y_{1}\end{ matriz}}\right.

¿Dónde está la distancia entre los polos, $r$

r_{1}

es la distancia al primer polo,

r_{2}

- distancia al segundo polo,

{\ estilo de visualización (x_ {1}; y_ {1})}

son las coordenadas del primer polo,

{\ estilo de visualización (x_ {2}; y_ {2})}

son las coordenadas del segundo polo,

\alpha =\operatorname {arctg} {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

- el ángulo de inclinación de la recta que pasa por las coordenadas , relativo al eje de abscisas.

{\ estilo de visualización (x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2})}

Los cuatro pares de coordenadas obtenidos por estas fórmulas deben verificarse para el cumplimiento de la condición:

{\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}=r_{1}

{\sqrt {(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}}=r_{2}

Solo dos pares de coordenadas de cuatro satisfarán estas condiciones.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Coordenadas bipolares (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Notas

↑ Coordenadas bipolares // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

Sistemas coordinados
Nombre de las coordenadas	Abscisa ordenada Apliques
Tipos de sistemas de coordenadas	Sistema de coordenadas rectilíneas Sistema de coordenadas curvilíneas
coordenadas 2D	Coordenadas biangulares Coordenadas bicéntricas Coordenadas hiperbólicas Coordenadas polares Coordenadas bipolares Coordenadas parabólicas Coordenadas elípticas Coordenadas tetracíclicas Coordenadas trilineales
coordenadas 3D	Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Coordenadas bisféricas Coordenadas toroidales Coordenadas cilíndricas parabólicas Coordenadas bicilíndricas Coordenadas elipsoidales Coordenadas cónicas Coordenadas pentasféricas Sistema de coordenadas dipolares
$norte$ -coordenadas dimensionales	Coordenadas cartesianas Coordenadas afines Coordenadas proyectivas Coordenadas de Plucker coordenadas baricéntricas
Coordenadas físicas	Coordenadas de Rindler Coordenadas de nacimiento Sistema de coordenadas celestes Coordenadas geográficas Sistema de coordenadas ortodrómico principal
Definiciones relacionadas	Método de coordenadas Origen eje de coordenadas Vector Orth sistema de referencia Punto de referencia Coeficientes cojos tensor métrico