Hipótesis de Ago-Jugi

La hipótesis de Ago-Jugi es una conjetura de teoría numérica sobre los números de Bernoulli , según la cual es un número primo si y solo si . $B_{k}$ $pags$ $pB_{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}$

Formulaciones equivalentes

Históricamente, la primera formulación de la conjetura pertenece al matemático italiano Giuseppe Giuge ( 1950 ), según la cual es primo si: $pags$

\sum _{{i=1}}^{{p-1}}i^{{p-1}}=1^{{p-1}}+2^{{p-1}}+\cdots +(p-1)^{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}

En esta formulación, la primalidad del número es suficiente para satisfacer la propiedad, ya que para un primo , el Pequeño Teorema de Fermat establece que para , lo que implica equivalencia, ya que . $pags$ $pags$ $a^{{p-1}}\equiv 1{\pmod p}$ $a=1,2,\puntos,p-1$ $p-1\equiv -1{\pmod p}$

La formulación moderna con conexión a los números de Bernoulli pertenece al matemático japonés Takashi Agoh ( 1990 ).

Estado actual

El enunciado sigue siendo una hipótesis, ya que no se ha probado que si es compuesto , entonces la fórmula no se cumple. Se ha demostrado que un número compuesto satisface la fórmula si y solo si es un número de Carmichael y un número de Jugi al mismo tiempo, y si tal número existe, contiene al menos 13.800 caracteres [1] . Laerte Sorini finalmente mostró en un artículo de 2001 que un posible contraejemplo a la conjetura debería ser un número n mayor que 10 36067 , que representa el límite sugerido por Bedocchi para la técnica de demostración dada por Juga en su propia sugerencia. $norte$ $norte$

Relación con el teorema de Wilson

La hipótesis de Ago-Jugi es superficialmente similar al enunciado del teorema de Wilson , según el cual es simple si y solo si , que se puede escribir como: $pags$ $(p-1)!\equiv -1{\pmod p}$

\prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1{\pmod {p))

(el enunciado de la hipótesis de Ago-Jugi se formula como:

\sum _{{i=1}}^{{p-1}}i^{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}

Notas

↑ Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn, 1996

Literatura

Takashi Agoh. Sobre la conjetura de Giuga // Manuscripta Mathematica. - 1995. - T. 87 , N º 4 . — Pág. 501–510 . -doi : 10.1007/ bf02570490 .
D. Borwein, JM Borwein, PB Borwein, R. Girgensohn. La conjetura de Giuga sobre la primalidad // American Mathematical Monthly . - 1996. - T. 103 . — P. 40–50 . -doi : 10.2307/ 2975213 . Archivado desde el original el 31 de mayo de 2005.
Giuseppe Giuga. Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi (italiano) // Ist. Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. ciencia Estera. Naturaleza - 1951. - T. 83 . — S. 511–518 . — ISSN 0375-9164 .
Laerte Sorini. Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga (italiano) // Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo. - 2001. - T. 68 . — S. 511–518 . — ISSN 1720-9668 .

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