La hipótesis de opperman

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 11 de septiembre de 2018; la verificación requiere 1 edición . Problemas no resueltos en Matemáticas : ¿Cada par de números cuadrados y rectangulares (si ambos son mayores que 1) están separados por al menos un número primo?

La conjetura de Opperman es un problema no resuelto en matemáticas sobre la distribución de los números primos [1] . La conjetura está estrechamente relacionada con la conjetura de Legendre , la conjetura de Andritz y la conjetura de Brokar , pero más rigurosa. La conjetura lleva el nombre del matemático danés Ludwig Oppermann, quien publicó la conjetura en 1882 [2] .

Declaración

La conjetura establece que para cualquier número entero hay al menos un número primo entre $x>1$

{\ estilo de visualización x (x-1)}

y ,

x^{2}

y al menos otro primo entre

x^{2}

y .

{\ estilo de visualización x (x + 1)}

La hipótesis también se puede reformular de manera equivalente afirmando que la función de distribución de números primos debe tomar valores desiguales en los extremos de cada intervalo [3] . Eso es

\pi (x^{2}-x)<\pi (x^{2})<\pi (x^{2}+x)

para ,

x>1

donde el número de números primos no excede . Los extremos de estos dos intervalos son el cuadrado entre dos números rectangulares , y cada uno de estos números rectangulares es igual al doble del número triangular . La suma de estos dos números triangulares es igual al cuadrado. $\pi(x)$ $X$

Consecuencias

Si la hipótesis es correcta, entonces los intervalos entre números primos deben ser del orden

g_{n}<{\sqrt {p_{n))}\,

que es solo un poco mejor que el indiscutiblemente probado

g_{n}<p_{n}^{0.525}\,

Esto también significa que debe haber al menos dos números primos entre y (uno en el intervalo de a , y los otros en el intervalo de a ), lo que refuerza la conjetura de Legendre , según la cual debe haber al menos un número en este intervalo. Dado que hay al menos un compuesto entre dos números primos impares, la hipótesis también implica la conjetura de Brokar de que hay al menos cuatro números primos entre los cuadrados de números impares sucesivos [1] . Además, la conjetura implica que los mayores intervalos posibles entre dos primos consecutivos no deben ser más que proporcionales al doble de la raíz cuadrada de los números, que es lo que establece la conjetura de Andrica . $x^{2}$ ${\ estilo de visualización (x + 1) ^ {2}}$ $x^{2}$ ${\ estilo de visualización x (x + 1)}$ ${\ estilo de visualización x (x + 1)}$ ${\ estilo de visualización (x + 1) ^ {2}}$

También se deduce de la conjetura que al menos un número primo se puede encontrar en un cuarto de vuelta de la espiral de Ulam .

Estado de la hipótesis

Incluso para valores pequeños de x , el número de primos en los intervalos dados por la hipótesis es mucho mayor que 1, lo que da más esperanza de que la hipótesis sea cierta. Sin embargo, la hipótesis no se ha probado a partir de 2015 [1] .

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 Wells, 2011 , pág. 164.
↑ Oppermann, 1882 , pág. 169–179.
↑ Ribenboim, 2004 , pág. 183.

Literatura

David pozos. Números primos: las figuras más misteriosas de las matemáticas. - John Wiley & Sons, 2011. - Pág. 164. - ISBN 9781118045718 .
Oppermann L. Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser // Oversigt over det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og dets Medlemmers Arbejder. - 1882. - S. 169-179 .
Pablo Ribenboim. El pequeño libro de los números primos más grandes . - Springer, 2004. - ISBN 9780387201696 .

Hipótesis sobre los números primos
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