La hipótesis de Dixon

La conjetura de Dixon es una suposición teórica de números realizada por Linord Dixon en 1904, que establece que para cualquier conjunto finito de formas lineales con , existen infinitos números naturales n para los cuales todos los valores de las formas serán primos al mismo tiempo, a menos que exista una comparación con respecto a algún módulo principal que excluya inmediatamente esta posibilidad. ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ ${\ Displaystyle a_ {j} \ geqslant 1}$

Redacción

Sea k un número natural, considere k progresiones aritméticas con números enteros , y . La conjetura de Dixon sugiere que hay infinitos números naturales n tales que para cada n todos los k números son primos. Sólo se excluye de la consideración el caso trivial, cuando existe un primo p tal que, para cualquier n , al menos un número es múltiplo de p . Esta restricción se puede reformular de la siguiente manera: no es cierto que para cualquier n se realice la comparación . En el último caso, tanto varias progresiones para diferentes n como una progresión para todos los n se pueden dividir por p . Por ejemplo, para 2 progresiones siempre , y para otras 2 progresiones para par n , y para impar - , de modo que en pares de progresiones y el número de pares simples no es infinito. ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ ${\ estilo de visualización a_ {j}, b_ {j}}$ ${\ Displaystyle a_ {j} \ geqslant 1}$ ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$ $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod p}$ ${\ estilo de visualización n, 2n}$ ${\ estilo de visualización 2 \ mid 2n}$ ${\ estilo de visualización n, n + 3}$ ${\ estilo de visualización 2 \ mid n}$ ${\ estilo de visualización 2 \ mid n + 3}$ ${\ estilo de visualización n, 2n}$ ${\ estilo de visualización n, n + 3}$

También notamos que la formulación de la hipótesis se vuelve más natural si su alcance se extiende de los números naturales a todos los números enteros, en particular, no solo los números positivos se consideran primos , sino también los números negativos (que de hecho son elementos primos en el anillo en el sentido habitual). En este caso, no hay necesidad de exigir la positividad de todos los valores de todas las progresiones , y por lo tanto la condición puede debilitarse a , y esta última puede eliminarse por completo, ya que de lo contrario no es una progresión aritmética. ${\ estilo de visualización 2,3,5,...}$ ${\ estilo de visualización -2, -3, -5,...}$ $\matemáticas {Z}$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$ ${\ Displaystyle a_ {j} \ geqslant 1}$ $a_{j}\neq 0$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$

Casos especiales

El caso ya ha sido probado: este es el teorema de Dirichlet . $k=1$
Los dos casos especiales son conjeturas bien conocidas: hay infinitos números primos gemelos ( n y n + 2 primos), y hay infinitos números de Sophie Germain ( n y 2 n + 1 primos).
Conjetura de Polignac : hay infinitos pares simples de la forma t es un número natural fijo (es decir, un número infinito de pares simples , etc. ). ${\ estilo de visualización n, n + 2t}$ ${\ estilo de visualización (n, n + 2)}$ ${\ estilo de visualización (n, n + 4)}$ ${\ estilo de visualización (n, n + 6)}$
Conjetura de los primos consecutivos: si no existe un primo p tal que para todo n , entonces el número de primos consecutivos es infinito (estos son de nuevo pares , triples , cuádruples , etc.) $p\mid (n+b_{1})(n+b_{2})...(n+b_{k})$ ${\ estilo de visualización (n, n + 2)}$ ${\ estilo de visualización (n, n + 2, n + 6)}$ ${\ estilo de visualización (n, n + 2, n + 6, n + 8)}$
Como otras consecuencias, se puede citar el hecho de que la infinidad del número de números compuestos de Mersenne y la infinidad de los números de Carmichael que contienen exactamente 3 factores primos se derivan de la conjetura de Dixon, etc.

Consideraciones heurísticas a favor de la hipótesis

Sea el número de soluciones de comparación . De acuerdo con el supuesto de la hipótesis, y luego de acuerdo con el razonamiento heurístico a favor de la hipótesis de Bateman-Horn, obtenemos que la densidad de números n que no exceda de x , para los cuales todos los números son primos, se estima por el valor ${\ estilo de visualización w (p)}$ $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod p}$ ${\ estilo de visualización w (p) <p}$ $a_{j}n+b+j$

\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}\int \limits _{2}^ {x}{\frac{dt}{\ln^{k}t)),

aquí el producto se toma sobre todos los números primos p y es el logaritmo natural del número. El valor es asintóticamente equivalente pero la primera expresión debería ser más precisa. Cuando , es fácil comprobar que el coeficiente será igual a , lo que corresponde al teorema de Dirichlet (aquí está la función de Euler ). $\ln$ $\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k))}{\frac {x}{\ln ^{k}x}},$ $k=1$ ${\frac {1}{\varphi (a_{1)))))$ $\varphi$

Generalizaciones

La conjetura de Dixon fue luego generalizada por Schinzel a la conjetura de Schinzel .

Véase también

Enlaces

Dickson, L. E. (1904), Una nueva extensión del teorema de Dirichlet sobre los números primos , Messenger of math , volumen 33: 155–161 , < https://books.google.com/books?id=i8MKAAAAIAAJ&pg=PA155 > Archivado desde mayo 16, 2016 en la Wayback Machine
Ribenboim, Paulo (1996), El nuevo libro de registros de números primos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94457-9 , < https://books.google.com/books?id= 72eg8bFw40kC > Archivado el 23 de junio de 2016 en Wayback Machine .
http://primes.utm.edu/glossary/xpage/DicksonsConjecture.html Archivado el 23 de octubre de 2012 en Wayback Machine .

Hipótesis sobre los números primos
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