Problemas de Landau

En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1912 , Edmund Landau enumeró cuatro problemas principales en la teoría de los números primos . Estos problemas fueron expresados ​​en su charla como "inexpugnables en el estado actual de las matemáticas" y ahora se conocen como los problemas de Landau .

  1. Conjetura de Goldbach : ¿Se puede escribir cualquier número par mayor que 4 como la suma de dos números primos?
  2. Conjetura de gemelos : ¿Existe un número infinito de primos p tal que p + 2 también sea primo?
  3. Conjetura de Legendre : ¿Hay siempre al menos un número primo entre dos cuadrados perfectos sucesivos ?
  4. ¿Existen infinitos primos p para los cuales p − 1 sea un cuadrado perfecto? En otras palabras, ¿existe un número infinito de números primos de la forma n 2 + 1? (secuencia A002496 en OEIS ).

Los cuatro números para 2022 permanecen abiertos.

Progreso hacia la resolución de problemas

Conjetura de Goldbach

El teorema de Vinogradov demuestra la conjetura débil de Goldbach para n suficientemente grande . En 2013 , Harald Helfgott demostró la conjetura débil para todos los números impares mayores que 5 [1] . A diferencia del problema de Goldbach, la conjetura débil de Goldbach establece que cualquier número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres números primos. Aunque la conjetura fuerte de Goldbach no se ha probado ni refutado, la prueba de la conjetura débil se seguiría de su prueba.

El teorema de Chen demuestra que para todo n suficientemente grande , donde p es primo y q es primo o semisimple . Montgomery y Vaughan demostraron que incluso los números que no pueden representarse como la suma de dos números primos tienen una densidad de cero [2] .

En 2015, Tomohiro Yamada demostró una versión explícita del teorema de Chen [3] : cualquier número par mayor que es la suma de un número primo y el producto de dos números primos como máximo.

Conjetura de los gemelos

Zhang Yitang [4] demostró que hay un número infinito de pares primos con un lapso limitado a 70 millones, y este resultado se mejoró a un lapso de longitud de 246 cuando se combinó con el proyecto Polymath [5] . Al aceptar la hipótesis generalizada de Elliot-Halberstam, la puntuación mejora a 6 ( Meinard [6] , Goldston, Pinz y Yildirim [7] ).

Chen demostró que hay infinitos primos p (más tarde llamados primos de Chen ) tales que p +2 es primo o semiprimo.

Conjetura de Legendre

Basta comprobar que todo hueco entre primos mayor que p es menor que . La tabla de espacios máximos entre números primos muestra que la hipótesis es cierta hasta 4×10 18 [8] . Un contraejemplo alrededor de 10 18 tendría un lapso cincuenta millones de veces el lapso promedio. Matomaki demostró que, como máximo, hay ejemplos que violan la conjetura seguidos de una brecha mayor que . En particular,

[9] .

El resultado de Ingham muestra que existe un primo entre y para cualquier n [10] suficientemente grande .

Primos casi cuadrados

El teorema de Friedlander-Ivanets muestra que un número infinito de números primos tienen la forma [11] .

Ivanets demostró que existe un número infinito de números de la forma con a lo sumo dos divisores primos [12] [13] .

Ankeny demostró que si la hipótesis generalizada de Riemann es cierta para funciones L en caracteres de Hecke , hay infinitos números primos de la forma c [14] .

Deshuilliers e Ivanets [15] , habiendo mejorado el resultado de Hooley [16] y Todd [17] , mostraron que hay infinitos números de la forma con un factor primo mayor al menos . Si reemplazamos el exponente por 2, obtenemos el enunciado de la hipótesis.

Por el contrario, la criba de Brun muestra que hay números primos más pequeños que x .

Notas

  1. ↑
    • Helfgott, HA (2013), Arcos principales para el teorema de Goldbach, arΧiv : 1305.2897 [math.NT]. 
    • Helfgott, HA (2012), Minor arcs for Goldbach's problem, arΧiv : 1205.5252 [math.NT]. 
    • Helfgott, HA (2013), La conjetura ternaria de Goldbach es verdadera, arΧiv : 1312.7748 [math.NT]. 
  2. ↑ Montgomery, Vaughan, 1975 , pág. 353–370.
  3. ↑ * Yamada, Tomohiro (2015-11-11), Teorema de Chen explícito, arΧiv : 1511.03409 [math.NT]. 
  4. ↑ Zhang, 2014 , pág. 1121-1174.
  5. ↑ Polímata, 2014 , pág. 12
  6. ↑ Maynard .
  7. ↑ Goldston, Motohashi, Pintz, Yıldırım, 2006 , p. 61–65.
  8. ↑ Anderson .
  9. ↑ Matomäki, 2007 , pág. 489–518.
  10. ↑ Ingham, 1937 , pág. 255–266.
  11. ↑ Friedlander, Iwaniec, 1997 , pág. 1054-1058.
  12. ↑ Iwaniec, 1978 , pág. 178–188.
  13. ↑ Oliver, 2012 , pág. 241–261.
  14. ↑ Ankeny, 1952 , pág. 913–919.
  15. ↑ Deshouillers, Iwaniec, 1982 , pág. 1–11.
  16. ↑ Hooley, 1967 , pág. 281-299.
  17. ↑ Todd, 1949 , pág. 517–528.

Literatura

Enlaces

 Hipótesis sobre los números primos
Hipótesis