Las hipótesis de Mersenne

Las hipótesis de Mersenne se refieren a la descripción de los números primos de los números de Mersenne (números iguales a potencias de dos sin unidad).

Conjetura original de Mersenne

La conjetura original, llamada hipótesis de Mersenne , es la afirmación de Marin Mersenne en su Cogitata Physica-Mathematica (1644; véase Dickson 1919) de que los números son primos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 , 67 , 127 y 257 y compuesto para todos los demás números enteros positivos n ≤ 257. Debido al tamaño de estos números, Mersenne no probó ni pudo probar todos estos números en el siglo XVII. Finalmente, después de tres siglos y la disponibilidad de nuevas técnicas como la prueba de Luc-Lehmer , se encontró que la hipótesis de Mersenne contenía cinco errores, a saber, dos compuestos ( n = 67, 257) y tres primos perdidos ( n = 61, 257). 89, 107) números. Lista correcta: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.

Si bien la conjetura original de Mersenne no es correcta, ha llevado a la Nueva Hipótesis de Mersenne .

La nueva conjetura de Mersenne

La nueva conjetura de Mersenne o la conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff [1] establece que para cualquier número natural impar p , si se cumplen dos cualesquiera de las siguientes condiciones, entonces también se cumple la tercera:

  1. p = 2k ± 1 o p = 4k ± 3 para algún número natural k . ( A122834 )
  2. 2 p − 1 es primo ( número de Mersenne ). ( A000043 )
  3. ( 2p + 1) / 3 es un número primo ( primo de Wagstaff ). ( A000978 )

Si p es un compuesto impar , entonces también lo son los números compuestos. Por lo tanto, para probar la corrección de la hipótesis, es suficiente probar solo números primos.

Actualmente se sabe que entre los números para los que se cumplen las tres condiciones están 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 ( A107360 ), y se supone que entre los números mayores de 127 hay sin números, para los cuales se cumplen las tres condiciones.

Simple, para el que se cumple al menos una condición:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... ( A120334 )

Tenga en cuenta que los dos números con los que Mersenne se equivocó (67 y 257) entran en las condiciones (67 = 2 6  + 3, 257 = 2 8  + 1), pero 89 y 107 no. Así, en su forma original, Mersenne podría pensar que 2 p − 1 es primo si y sólo si p = 2 k ± 1 o p = 4 k ± 3 para alguna k natural .

Estado de la conjetura de Mersenne para los primeros 100 números primos
2 3 5 7 once 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
pags p tiene la forma 2 n  ± 1 o 4 n  ± 3
pags 2 p  − 1 es simple
pags (2 p  + 1)/3 es primo
pags p satisface al menos una condición

La nueva hipótesis de Mersenne puede verse como un intento de resolver una hipótesis de Mersenne de siglos de antigüedad que no es correcta. Sin embargo, según Robert D. Silverman [2] , John Selfridge cree que la nueva conjetura de Mersenne es "obviamente cierta" porque fue formulada para satisfacer datos conocidos y los contraejemplos bajo las condiciones de la conjetura son extremadamente improbables. Puede verse más como una observación curiosa que como una pregunta que requiere verificación.

Renaud Lifshitz demostró que la nueva conjetura es cierta para todos los números enteros menores que 20 996 010 [3] probando sucesivamente todos los primos impares para los que se sabe que se cumple una condición. Su sitio web [4] documenta los resultados del control hasta ese número. Otra versión más reciente de la página sobre la nueva conjetura es "A New Conjecture on Mersenne Primes" [5] .

La hipótesis de Lenstra-Pomerans-Wagstaff

Lenstra , Pomerans y Wagstaff conjeturaron que hay infinitos números primos de Mersenne . Más precisamente, el número de primos de Mersenne menores que x se aproxima asintóticamente por

[6] ,

donde es la constante de Euler-Mascheroni . En otras palabras, el número de primos de Mersenne con exponente p que es menor que y es asintóticamente

[6]

Esto significa que debería haber, en promedio, alrededor de ≈ 5.92 primos p con un número dado de decimales tales que sea primo.

Véase también

Notas

  1. ↑ Bateman, Selfridge, Wagstaff, 1989 , pág. 125-128.
  2. ↑ Hilo: La nueva conjetura de Mersenne  . mersenneforum.org . Archivado desde el original el 15 de junio de 2017.
  3. ↑ La nueva conjetura de Mersenne Prime en Prime Pages  . Consultado el 20 de marzo de 2018. Archivado desde el original el 6 de marzo de 2018.
  4. ↑ Renaud Lifchitz. Estado de la "Nueva Conjetura de Mersenne  " . www.númerosprincipales.net . Archivado desde el original el 3 de abril de 2019.
  5. ↑ Chris K. Caldwell. La nueva conjetura del primo de Mersenne  . Las páginas principales . Archivado desde el original el 6 de marzo de 2018.
  6. ↑ 1 2 Heurística: derivación de la conjetura de Wagstaff Mersenne Archivado el 5 de marzo de 2018 en Wayback Machine . Las páginas principales . Recuperado el 11-05-2014.

Literatura

Enlaces

 Hipótesis sobre los números primos
Hipótesis