Múltiplo completo

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 21 de diciembre de 2019; la verificación requiere 1 edición .

Un múltiplo completo es un número entero positivo que es divisible por el cuadrado de cada uno de sus divisores primos .

Definición equivalente: un número que se puede representar como , donde y son números enteros positivos ( números naturales ). ${\ estilo de visualización a^{2}b^{3))$ $a$ $b$

Los múltiplos completos son estudiados sistemáticamente por Pal Erdős y György Székeres , nombre dado por Solomon Golomb .

Lista de múltiplos completos entre 1 y 1000 [1] :

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256 288 289 324 343 361 392 400 432 441 484 500 512 529 576 625 648 675 676 729 784 800 841 864 1900 96 , 968, 972, 1000.

Equivalencia de dos definiciones

Si , entonces cualquier número primo en la descomposición aparece dos veces y el elemento entra al menos tres veces; de modo que cualquier número primo en la descomposición esté incluido al menos en el cuadrado . ${\displaystyle m=a^{2}b^{3))$ $a$ $b$ $metro$

Por otro lado, sea un número múltiplo completo con descomposición $metro$

m=\prod p_{i}^{\alpha _{i))

donde cada uno . Definimos igual a tres si es impar, y cero en caso contrario, y definimos . Entonces todos los valores son enteros pares no negativos, y todos los valores son cero o tres, entonces: ${\ estilo de visualización \ alfa _ {i} \ geq 2}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {i}}$ $\alpha_i$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {i} = \ alfa _ {i} - \ gamma _ {i}}$ $\beta _{i}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {i}}$

m=(\prod p_{i}^{\beta _{i)))(\prod p_{i}^{\gamma _{i)))=(\prod p_{i}^{\ beta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}

da la representación deseada como el producto de un cuadrado y un cubo. $metro$

En otras palabras, para una expansión dada, los números pueden tomarse como el producto de factores primos incluidos en la expansión con potencias impares (si no hay ninguno, entonces 1). Dado que es un múltiplo completo, todo factor primo incluido en la factorización con un grado impar tiene un grado de al menos 3, por lo que es un número entero. Ahora todo factor primo tiene un grado par, por lo que es un cuadrado perfecto, denotemoslo como ; y resulta Por ejemplo: $metro$ $b$ $metro$ ${\ Displaystyle m/b^{3))$ ${\ Displaystyle m/b^{3))$ ${\ Displaystyle m/b^{3))$ $un ^ 2$ ${\displaystyle m=a^{2}b^{3))$

{\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2))

{\ estilo de visualización b = 2 \ veces 3 = 6}

a={\sqrt {\frac {m}{b^{3))))={\sqrt {2^{2}\times 5^{2))}=10

m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}

Propiedades matemáticas

La suma de los recíprocos de múltiplos completos converge:

\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)))\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\ zeta (6)))={\frac {315}{2\pi ^{4))}\zeta (3)

donde se pasa por alto todos los números primos , es la función zeta de Riemann y es la constante de Apéry (Golomb, 1970). $pags$ $\zeta (s)$ $\zeta (3)$

Denotemos el número de números múltiples completos en el intervalo . Entonces proporcional a la raíz cuadrada de . Más precisamente: $k(x)$ ${\ estilo de visualización [1, x]}$ $k(x)$ $X$

cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)= 2.173\cpuntos

[2] .

Los dos múltiplos completos consecutivos más pequeños son 8 y 9. Dado que la ecuación de Pell tiene un número infinito de soluciones, también hay un número infinito de pares de múltiplos completos consecutivos [2] ; De manera más general, uno puede encontrar múltiplos completos sucesivos al encontrar una solución a una ecuación similar a la ecuación de Pell para cualquier cubo . Sin embargo, uno de los múltiplos enteros del par así obtenido debe ser un cuadrado. Según Gay, Erdős estaba preguntando si hay infinitos pares de números múltiples completos similares a , en los que ninguno de los números del par es un cuadrado. Yaroslav Vroblevsky demostró que, por el contrario, hay infinitas parejas de este tipo, mostrando que tiene infinitas soluciones. ${\ estilo de visualización x^{2}-8y^{2}=1}$ $x^{2}-ny^{2}=\pm 1$ $norte$ $(23^{3},2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 13^{2})$ ${\ estilo de visualización 3^{3}c^{2}+1=7^{3}d^{2}}$

De acuerdo con la conjetura de Erdős-Mollin-Walsh , no hay tres números enteros múltiplos consecutivos.

Sumas y diferencias de múltiplos completos

Cualquier número impar se puede representar como la diferencia de dos cuadrados consecutivos:

(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1\Rightarrow (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1

De la misma manera, cualquier número que sea múltiplo de cuatro se puede representar como la diferencia de dos números que se diferencian por dos: . Sin embargo, un número divisible por dos, pero no por cuatro, no se puede representar como una diferencia de cuadrados, es decir, surge la pregunta: qué números pares que no son divisibles por 4 se pueden representar como la diferencia de dos números enteros múltiplos. ${\ estilo de visualización (k+2)^{2}-k^{2}=4k+4}$

Golomb dio varias representaciones de este tipo:

2 = 3 3 − 5 2 10 = 13 3 − 3 7 18 \u003d 19 2 - 7 3 \u003d 3 2 (3 3 - 5 2 ).

Primero, se hizo una conjetura de que el número 6 no se puede representar de esta forma, y Golomb sugirió que hay infinitos números enteros que no se pueden representar como la diferencia de dos números múltiples completos. Sin embargo, Narkiwicz descubrió que hay infinitas formas de representar el número 6, como

6 = 5 4 7 3 − 463 2 ,

y McDaniel [3] mostró que cualquier número tiene un número infinito de tales representaciones.

Erdős conjeturó que cualquier número entero suficientemente grande es la suma de, como máximo, tres múltiplos completos. La conjetura fue probada por Roger Heath-Brown [4] .

Generalización

$k$ -números completos - números en cuya descomposición aparecen números primos con un grado de al menos . $k$

${\ estilo de visualización (2^{k+1}-1)^{k))$ , , son múltiplos enteros en progresión aritmética . ${\ estilo de visualización 2^{k}(2^{k+1}-1)^{k))$ ${\ estilo de visualización (2^{k+1}-1)^{k+1}}$ $k$

Además, si son -múltiplos completos en progresión aritmética con diferencia , entonces: ${\displaystyle a_{1},a_{2},\puntos,a_{s))$ $k$ $d$

(a_{1}+d)^{k},a_{2}(a_{s}+d)^{k},\dots,a_{s}(a_{s}+d)^{ k},a_{s}(a_{s}+d)^{k+1}

son -números completos en progresión aritmética. $k$

Para - números múltiples completos tenemos: $k$

a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k}+a^{k+1}(a^{l}+\dots +1)+\dots +a^ {k+l}(a^{l}+\puntos +1)=a^{k}(a^{l}+\puntos +1)^{k+1}

Esta igualdad da infinitos conjuntos de longitudes , múltiplos completos de números cuyas sumas también son múltiplos completos. Nitaj [5] demostró que hay infinitas soluciones de la ecuación entre números coprimos 3-completos. Cohn [6] construyó una familia infinita de soluciones a la ecuación entre múltiplos coprimos de 3: el triple $l+1$ $k$ $k$ ${\ estilo de visualización x+y=z}$ ${\ estilo de visualización x+y=z}$

{\ estilo de visualización X = 9712247684771506604963490444281}

{\ estilo de visualización Y = 32295800804958334401937923416351}

{\ estilo de visualización Z = 27474621855216870941749052236511}

es una solución a la ecuación . Es posible construir otra solución sumando y quitando un divisor común. ${\ estilo de visualización 32X^{3}+49Y^{3}=81Z^{3}}$ $X'=X(49Y^{3}+81Z^{3}),Y'=-Y(32X^{3}+81Z^{3}),Z'=Z(32X^{3} -49Y^{3})$

Notas

↑ Secuencia OEIS A001694 _
↑ 12 Golomba , 1970 .
↑ McDaniel, 1982 .
↑ Heath-Brown, 1988 .
↑ Nitaj, 1995 .
↑ Cohn, 1998 .

Literatura

Cohn, JHE Una conjetura de Erdős sobre números de 3 potencias // Matemáticas. compensación - 1998. - T. 67 , núm. 221 . - S. 439-440 . -doi : 10.1090/ S0025-5718-98-00881-3 .
Pal Erdős, György Szekeres. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. ciencia tamaño - 1934. - Nº 7 . - S. 95-102 .
Salomón W. Golomb. Números poderosos // American Mathematical Monthly . - 1970. - T. 77 , N º 8 . - S. 848-852 . -doi : 10.2307/ 2317020 . — .
Richard K Guy. Sección B16 // Problemas no resueltos de teoría de números, 3.ª edición. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 0-387-20860-7 .
Roger Heath Brown. Formas cuadráticas ternarias y sumas de tres números cuadrados completos. - Boston: Birkhäuser, 1988. - S. 137-163. — (Seminaire de Théorie des Nombres, París, 1986-7).
Roger Heath Brown. Sumas de tres números cuadrados completos. — Coloq. Matemáticas. soc. Janos Bolyai, n. 51, 1990. - S. 163-171. — (Teoría de Números, I (Budapest, 1987)).
Wayne L. McDaniel. Representaciones de cada número entero como la diferencia de números poderosos // Fibonacci Quarterly . - 1982. - Nº 20 . - S. 85-87 .
Abderrahman Nitaj. Sobre una conjetura de Erdős sobre números de 3 potencias // Bull. Matemáticas de Londres. soc. . - 1995. - V. 4 , N º 27 . - S. 317-318 . -doi : 10.1112 / blms/27.4.317 .

Enlaces

Weisstein , Eric W. Número poderoso en Wolfram MathWorld .
la conjetura abc

Números por características de divisibilidad
Información general	Factorización de números enteros Divisibilidad divisor unitario Función divisoria número primo Teorema fundamental de la aritmética número aritmético
Formas de factorización	número primo Número compuesto Semiprima número rectangular número esfénico Número sin cuadrados múltiplo completo grado perfecto numero de aquiles número suave número normal número aproximado número inusual
Con divisores limitados	número perfecto Cifras ligeramente insuficientes Números ligeramente redundantes número multiperfecto Números hemiperfectos número hiperperfecto número súper perfecto primo unitario número semiperfecto número pararítmico Número de Erdős-Nicolas
Números con muchos divisores	exceso de números Exceso de números primitivos Números altamente redundantes Números superredundantes Números enormemente redundantes número supercompuesto Un número altamente supercompuesto número extraño
Relacionado con secuencias alícuotas	número sagrado números amistosos números públicos Números casi amigables
Otro	No hay suficientes números números de amigos numeros sublimados Números de mineral número humilde Dígitos iguales número extravagante