Orden 4 panal dodecaédrico
| Orden 4 panal dodecaédrico | |
|---|---|
| Tipo de | Panales regulares hiperbólicos |
| Símbolo Schläfli | {5,3,4} {5,3 1,1 } |
| Diagramas de Coxeter-Dynkin |
      ↔ 
|
| células | {5,3} |
| facetas | Pentágono {5} |
| costilla figura | cuadrados {4} |
| figura de vértice | Octaedro |
| panales dobles | Panales cúbicos orden 5 |
| grupo coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Propiedades | Panales regulares, casi regulares |
En el espacio 3D hiperbólico , los panales dodecaédricos de orden 4 son uno de los cuatro teselados regulares compactos que llenan el espacio (o panales ). Con el símbolo de Schläfli {5,3,4}, el panal tiene cuatro dodecaedros alrededor de cada borde y 8 dodecaedros alrededor de cada vértice en una disposición octaédrica . Los vértices del panal se construyen sobre 3 ejes ortogonales. El cuerpo dual de panales es panales cúbicos de orden 5 .
Los panales geométricos son celdas poliédricas que llenan el espacio de tal manera que no quedan espacios libres. Los panales son un ejemplo de un concepto matemático más general de mosaico en espacios de cualquier dimensión.
Los panales generalmente se construyen en el espacio euclidiano ("plano") habitual como panales uniformes convexos . También se pueden construir en espacios no euclidianos , como panales homogéneos hiperbólicos . Cualquier poliedro uniforme finito se puede proyectar sobre su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Descripción
El ángulo diedro de un dodecaedro es de ~116,6°, por lo que no es posible colocar 4 dodecaedros en una arista en el espacio tridimensional euclidiano. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, el dodecaedro se puede dimensionar para que sus ángulos diedros disminuyan a 90 grados, en cuyo caso cuatro dodecaedros llenan exactamente el espacio alrededor de cada borde.
Simetría
Los panales se construyen con media simetría, {5,3 1,1 }, con dos tipos (colores) de mosaicos hexagonales en la construcción de Wythoff .↔.
Dibujos
Poliedros y panales relacionados
Hay cuatro tipos de panales compactos regulares en el espacio hiperbólico 3D:
{5,3,4} |
{4,3,5} |
{3,5,3} |
{5,3,5} |
Hay quince tipos de panales uniformes en la familia [5,3,4] de los grupos de Coxeter , incluidas estas formas regulares.
| {5,3,4}
|
r{5,3,4}
|
t{5,3,4}
|
rr{5,3,4}
|
t0,3 { 5,3,4 }
|
tr{5,3,4}
|
t 0,1,3 {5,3,4}
|
t0,1,2,3 { 5,3,4 }
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {4,3,5}
|
r{4,3,5}
|
{4,3,5}
|
rr{4,3,5}
|
2t{4,3,5}
|
tr{4,3,5}
|
t 0,1,3 {4,3,5}
|
t0,1,2,3 { 4,3,5 }
|
Hay once tipos de panales uniformes en la familia ramificada [5,3 1,1 ] de los grupos de Coxeter, incluidos los panales en forma alterna. Esta construcción se puede representar alternando (como en un tablero de ajedrez) con dos colores de celdas dodecaédricas.
Estos panales también están relacionados con los panales cúbicos de 16 celdas y los panales hexagonales de orden 4 , todos con figuras de vértices octaédricos:
| Panales regulares {p,3,4} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Espacio | S3 _ | mi 3 | H3 _ | ||||||||
| Vista | Final | afín | Compacto | paracompacto | Neocompacto | ||||||
| Nombre | {3,3,4}
|
{4,3,4}   
|
{5,3,4}
|
{6,3,4}   
|
{7,3,4}
|
{8,3,4}  
|
... {∞,3,4} 
| ||||
| Imagen | |||||||||||
| células | {3,3}
|
{4,3}
|
{5,3}
|
{6,3}
|
{7,3}
|
{8,3}
|
{∞,3}
| ||||
Estos panales son parte de una secuencia de poliedros 4D y panales con celdas dodecaédricas :
| Espacio | S3 _ | H3 _ | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vista | Final | Compacto | paracompacto | Neocompacto | |||
| Nombre | {5,3,3}
|
{5,3,4}
|
{5,3,5}
|
{5,3,6}
|
{5,3,7}
|
{5,3,8}
|
... {5,3,∞}
|
| Imagen | |||||||
figura de vértice 
|
{3,3}
|
{3,4}
|
{3,5}
|
{3,6}
|
{3,7}
|
{3,8}
|
{3,∞}
|
Panales dodecaédricos completamente truncados de orden 4
| Panales dodecaédricos completamente truncados de orden 4 | |
|---|---|
| Tipo de | Panales homogéneos en espacio hiperbólico |
| Símbolo Schläfli | r{5,3,4} r{5,3 1,1 } |
| Diagramas de Coxeter-Dynkin |
↔
|
| células | r{5,3} {3,4} |
| facetas | Triángulos {3} Pentágonos {5} |
| figura de vértice | cubo |
| grupo coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Propiedades | Transitivo de vértice, transitivo de borde |
Panales dodecaédricos completamente truncados de orden 4' ,, tienen celdas alternas octaédricas e icosidodecaédricas , con un cubo como figura de vértice .
Hay cuatro tipos de panales regulares compactos completamente truncados:
| Imagen | ||||
|---|---|---|---|---|
| Designacion | r{5,3,4}
|
r{4,3,5}
|
r{3,5,3}
|
r{5,3,5}
|
figura de vértice |
Panales dodecaédricos truncados de orden 4
| Panales dodecaédricos truncados de orden 4 | |
|---|---|
| Tipo de | Panales homogéneos en espacio hiperbólico |
| Símbolo Schläfli | t{5,3,4} t{5,3 1,1 } |
| Diagramas de Coxeter-Dynkin |
↔
|
| células | {5,3} {3,4} |
| facetas | Triángulos {3} Decágonos {10} |
| figura de vértice | pirámide cuadrada |
| grupo coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Propiedades | vértice transitivo |
Panales dodecaédricos truncados de orden 4 ,, tienen celdas octaédricas y dodecaédricas truncadas con un cubo como figura de vértice .
Los panales se pueden considerar como un análogo de teselaciones pentagonales truncadas hiperbólicas bidimensionales de orden 4 t{5,4} con pentágono truncado y caras cuadradas:
Panales relacionados| Imagen | ||||
|---|---|---|---|---|
| Designacion | t{5,3,4}
|
{4,3,5}
|
t{3,5,3}
|
t{5,3,5}
|
figura de vértice |
Ordene 4 panales dodecaédricos bitruncados
| Orden 4 panal dodecaédrico bitruncado Orden 5 panal cúbico bitruncado | |
|---|---|
| Tipo de | Panales homogéneos en espacio hiperbólico |
| Símbolo Schläfli | 2t{5,3,4} 2t{5,3 1,1 } |
| Diagramas de Coxeter-Dynkin |
↔
|
| células | t{3,5} t{3,4} |
| facetas | Triángulos {3} Cuadrados {4} Hexágonos {6} |
| figura de vértice | tetraedro |
| grupo coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Propiedades | vértice transitivo |
Pida 4 panales dodecaédricos bitruncados o 5 panales cúbicos bitruncados ,, tienen octaedros truncados e icosaedros truncados como celdas y un tetraedro como figura de vértice .
Panales relacionados
| Imagen | |||
|---|---|---|---|
| Designacion | 2t{4,3,5}
|
2t{3,5,3}
|
2t{5,3,5}
|
figura de vértice |
Panales dodecaédricos biselados de orden 4
| Panal dodecaédrico biselado de orden 4 | |
|---|---|
| Tipo de | Panales homogéneos en espacio hiperbólico |
| Símbolo Schläfli | rr{5,3,4} rr{5,3 1,1 } |
| Diagramas de Coxeter-Dynkin |
↔
|
| células | rr{3,5} r{3,4} {}x{4} cubo |
| facetas | Triángulos {3} Cuadrados {4} Pentágonos {5} |
| figura de vértice | prisma triangular |
| grupo coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Propiedades | vértice transitivo |
Panal dodecaédrico oblicuo de orden 4 ,, tienen celdas rombicosidodecaédricas , cuboctaédricas y cúbicas y un prisma triangular como su figura de vértice .
Panales relacionados
| Cuatro tipos de panales compactos regulares biselados en H 3 | |||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Orden truncado oblicuamente 4 panales dodecaédricos
| Panales dodecaédricos truncados oblicuamente de orden 4 | |
|---|---|
| Tipo de | Panales homogéneos en espacio hiperbólico |
| Símbolo Schläfli | tr{5,3,4} tr{5,3 1,1 } |
| Diagramas de Coxeter-Dynkin |
↔
|
| células | tr{3,5} t{3,4} {}x{4} Cubos |
| facetas | cuadrados {4} hexágonos {6} decágonos {10} |
| figura de vértice | espejo esfenoidal |
| grupo coxeter | BH 3 , [5,3,4] DH 3 , [5,3 1,1 ] |
| Propiedades | vértice transitivo |
Los panales dodecaédricos truncados oblicuamente de orden 4 son panales uniformes con un diagrama de Coxeter-Dynkiny teniendo un espejo esfenoidal como figura de vértice .
Panales relacionados
| Imagen | ||||
|---|---|---|---|---|
| Designacion | tr{5,3,4}
|
tr{4,3,5}
|
tr{3,5,3}
|
tr{5,3,5}
|
figura de vértice |
Panales dodecaédricos truncados en strug de orden 4
| Panales dodecaédricos truncados en punta de orden 4 | |
|---|---|
| Tipo de | Panales homogéneos en espacio hiperbólico |
| Símbolo Schläfli | t 0,1,3 {5,3,4} |
| Diagramas de Coxeter-Dynkin |
|
| células | t{5,3} rr{3,4} {}x{10} {}x{4} |
| facetas | Triángulos {3} Cuadrados {4} Decágonos {10} |
| figura de vértice | pirámide cuádruple |
| grupo coxeter | BH 3 , [5,3,4] |
| Propiedades | vértice transitivo |
Los panales dodecaédricos truncados en punta de orden 4 son panales uniformes con un diagrama de Coxeter-Dynkiny una pirámide cuadrangular como figura de vértice .
Panales relacionados
| Cuatro tipos de panales compactos regulares truncados con arado en H 3 | |||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Véase también
- Panales homogéneos convexos en espacio hiperbólico
- Esfera de homología de Poincaré Espacio dodecaédrico de Poincaré
- Espacio dodecaédrico de Seifert -Weber Espacio dodecaédrico de Seifert-Weber
- Lista de poliedros y compuestos multidimensionales regulares
Notas
Literatura
- coxeter _ Tablas I y II: Politopos regulares y panales //Politopos regulares . — 3er. ed.. - Publicaciones de Dover, 1973. - págs . 294-296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
- coxeter _ Capítulo 10: Panales regulares en el espacio hiperbólico, tablas de resumen II, III, IV, V // La belleza de la geometría: doce ensayos . - Publicaciones de Dover, 1999. - S. 212-213 . - ISBN 0-486-40919-8 .
- Jeffrey R. Semanas. Capítulo 16-17: Geometrías en Tres-variedades I,II // La Forma del Espacio. — 2do. — ISBN 0-8247-0709-5 .
- NW Johnson . Politopos uniformes. - 1991. - (Manuscrito).
- NW Johnson . La teoría de politopos uniformes y panales. - Universidad de Toronto, 1966. - (Tesis doctoral).
- NW Johnson . Capítulo 13: Grupos hiperbólicos de Coxeter // Geometrías y Transformaciones. — 2015.