Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado con una forma general

ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0,

donde es la incógnita, y los coeficientes , y son números reales o complejos . $X$ $a$ $b$ $C$

La raíz de la ecuación es el valor de la variableque convierte el trinomio cuadrado en cero y la ecuación cuadrática en la igualdad numérica correcta. Este valor también se llama la raíz del polinomio en sí. $hacha^{2}+bx+c=0$ $X$ $hacha^{2}+bx+c.$

Los elementos de la ecuación cuadrática tienen sus propios nombres [1] :

$a$ llamado coeficiente primero o principal ,
$b$ se llama el segundo , coeficiente medio o coeficiente en $X$ ,
$C$ se llama un miembro libre .

Se llama ecuación cuadrática reducida , en la que el coeficiente principal es igual a uno [1] . Tal ecuación se puede obtener dividiendo la expresión completa por el coeficiente principal: $a$

x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a)),\quad q={\frac {c}{a)).

Se dice que una ecuación cuadrática es completa si todos sus coeficientes son distintos de cero.

Tal ecuación cuadrática se llama incompleta si al menos uno de los coeficientes, excepto el más alto (ya sea el segundo coeficiente o el término libre), es igual a cero.

Una ecuación cuadrática es resoluble en radicales , es decir, sus raíces se pueden expresar en términos de coeficientes de manera general.

Información histórica sobre ecuaciones cuadráticas

Babilonia antigua

Ya en el segundo milenio antes de Cristo, los babilonios sabían resolver ecuaciones cuadráticas [1] . Su solución en la antigua Babilonia estuvo estrechamente relacionada con tareas prácticas, principalmente como medir el área de parcelas de tierra, trabajos de tierra relacionados con necesidades militares; la presencia de este conocimiento también se debe al desarrollo de las matemáticas y la astronomía en general. Se conocían métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas e incompletas. Aquí hay ejemplos de ecuaciones cuadráticas que se resolvieron en la antigua Babilonia usando notación algebraica moderna:

x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.

Las reglas para resolver ecuaciones cuadráticas son en muchos aspectos similares a las modernas, pero el razonamiento por el cual se obtuvieron estas reglas no está registrado en los textos babilónicos.

India

Los problemas resueltos mediante ecuaciones cuadráticas se encuentran en el tratado de astronomía "Aryabhattiam", escrito por el astrónomo y matemático indio Aryabhata en el año 499 d.C. Una de las primeras derivaciones conocidas de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática pertenece al científico indio Brahmagupta (circa 598) [1] ; Brahmagupta esbozó una regla universal para resolver una ecuación cuadrática reducida a forma canónica: además, se suponía que todos los coeficientes en ella, a excepción de, pueden ser negativos. La regla formulada por el científico coincide esencialmente con la moderna. $hacha^{2}+bx=c;$ $a,$

Las raíces de una ecuación cuadrática en el conjunto de números reales

yo camino La fórmula general para calcular raíces usando el discriminante

El discriminante de una ecuación cuadrática es la cantidad . $hacha^{2}+bx+c=0$ $D=b^{2}-4ac$

Condición	$D>0$	$D=0$	$D<0$
Número de raíces	dos raíces	Una raíz de multiplicidad 2 (en otras palabras, dos raíces iguales)	Sin raíces reales
Fórmula	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ (una)	$x=-{\frac{b}{2a))$	—

Derivación de fórmula

La fórmula (1) se puede obtener de la siguiente manera:

hacha^{2}+bx+c=0

hacha^{2}+bx=-c

Multiplica cada parte por y suma :

4a

segundo^{2}

4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}

(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}

2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}

2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2))}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.

La fórmula del caso es un caso especial de la fórmula (1): $D=0$

x={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {0}}}{2a}}=-{\ fracción {b}{2a}}.

Para el caso, la ausencia de raíces reales también se sigue de la fórmula (1), ya que la raíz cuadrada de un número negativo no pertenece al conjunto de los números reales. $D<0$

Este método es universal, pero no el único.

Yo camino. Las raíces de una ecuación cuadrática con un coeficiente par b

Para ecuaciones de la forma , es decir, para incluso , donde $hacha^{2}+2kx+c=0$ $b$

k={\ fracción {1}{2}}b,

en lugar de la fórmula (1) para encontrar las raíces, existe la posibilidad de usar expresiones más simples [1] .

Nota: las fórmulas que se dan a continuación se pueden obtener sustituyendo la expresión b = 2 k en las fórmulas estándar , mediante transformaciones simples.

discriminante		Raíces
no reducido	reducido	D > 0	no reducido	reducido
más fácil de calcular cuartos del discriminante: ${\frac{D}{4}}=k^{2}-ac$ Todas las propiedades necesarias se conservan.	${\frac{D}{4}}=k^{2}-c$ .		$x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.$	$x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c))$
		re = 0	$x={\frac{-k}{a}}$	$x=-k$

Vía III. Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas

Se practica un enfoque especial para la solución de ecuaciones cuadráticas incompletas . Se consideran tres situaciones posibles.

segundo = 0c = 0

b=0; c≠0

b≠0; c=0

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}&=0,\\x^{2}&=0,\\x&=0.\end{alignedat))

(el proceso de conversión se muestra especialmente en detalle; en la práctica, puede ir inmediatamente a la última igualdad)

{\begin{alineado}ax^{2}+c&=0,\\ax^{2}&=-c,\\x^{2}&=-{\frac {c}{a} },\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a)))).\end{alineado))

Si , entonces la ecuación tiene dos raíces reales , y si , entonces la ecuación no tiene raíces reales .

-{\frac{c}{a}}>0

-{\frac{c}{a}}<0;

{\begin{alineado}ax^{2}+bx&=0,\\x(ax+b)&=0,\end{alineado))

$x=0$ o $hacha+b=0,$ $x_{1}=0,\quad x_{2}=-{\frac {b}{a)).$

Tal ecuación debe tener dos raíces reales .

Vía IV. Uso de razones de coeficientes parciales

Hay casos especiales de ecuaciones cuadráticas en las que los coeficientes son proporcionales entre sí, lo que facilita mucho su resolución.

Las raíces de una ecuación cuadrática en la que la suma del coeficiente principal y el término libre es igual al segundo coeficiente

Si en una ecuación cuadrática la suma del primer coeficiente y el término libre es igual al segundo coeficiente: , entonces sus raíces son también el número opuesto a la razón del término libre al coeficiente más alto ( ). $hacha^{2}+bx+c=0$ $a+c=b$ $-una$ $-{\frac {c}{a}}$

Prueba

Método 1. Primero, averigüe si tal ecuación realmente tiene dos raíces (incluidas dos coincidentes):

D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2 }=(ac)^{2}

Sí, esto es cierto, porque para cualquier valor real de los coeficientes , y por lo tanto, el discriminante no es negativo. Así, si , entonces la ecuación tiene dos raíces, si , entonces tiene una sola raíz. Encuentra estas raíces: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\no=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(ac)^{2 }}}}{2a}}={\frac {-ac\pm |ac|}{2a}}={\frac {-ac\pm a\mp c}{2a}}

x_{1}={\frac {-ac-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;

x_{2}={\frac {-a-c+ac}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.

En particular, si , entonces la raíz será una: $a=c$ $-una.$

Método 2.

Usamos el modelo geométrico de las raíces de una ecuación cuadrática: las consideraremos como los puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas. Toda parábola, independientemente de la expresión que la defina, es una figura simétrica respecto de una recta . Esto significa que el segmento de cualquier línea recta perpendicular a ella, cortado por una parábola en ella, está dividido por el eje de simetría por la mitad. Lo anterior es, en particular, cierto para el eje x. Así, para cualquier parábola, una de las siguientes igualdades es verdadera: (si ) o (si la desigualdad de significado opuesto es verdadera). Usando la identidad que expresa el significado geométrico del módulo, y también aceptando que (esto se puede demostrar sustituyendo la igualdad en el trinomio cuadrado: , por lo tanto -1 es la raíz de tal ecuación), llegamos a la siguiente igualdad: Si tenemos en cuenta que la diferencia en el caso cuando sumamos el módulo, siempre es positiva, y cuando restamos es negativa, lo que indica la identidad de estos casos, y además, recordando la igualdad , abrimos el módulo : . En el segundo caso, habiendo hecho transformaciones similares, llegamos al mismo resultado, etc. $y=ax^{2}+bx+c$ $x=-{\frac{b}{2a}}$ $-{\frac{b}{2a}}+\rho(x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $-{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}$ $\rho (a;b)=|ab|$ $x_{1}=-1$ $a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0$ $-{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.$ $ba=c$ $x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {ba {a}}=-{\frac{c}{a}}$

De ello se deduce que antes de resolver cualquier ecuación cuadrática, conviene comprobar la posibilidad de aplicarle este teorema: comparar la suma del coeficiente principal y el término libre con el segundo coeficiente. Las raíces de una ecuación cuadrática cuya suma de todos los coeficientes es cero

Si en una ecuación cuadrática la suma de todos sus coeficientes es igual a cero ( ), entonces las raíces de tal ecuación son también la razón del término libre al coeficiente principal ( ). $a+b+c=0$ $una$ ${\frac{c}{a))$

Prueba

Método 1. En primer lugar, notamos que de la igualdad se sigue que Vamos a establecer el número de raíces: $a+b+c=0$ $b=-(a+c)$

D=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c ^{2}=(ac)^{2}.

Para cualquier valor de los coeficientes, la ecuación tiene al menos una raíz: de hecho, para cualquier valor de los coeficientes , y por lo tanto, el discriminante no es negativo. Tenga en cuenta que si , entonces la ecuación tiene dos raíces, pero si , entonces solo una. Encuentra estas raíces: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\no=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(ac)^{2}}} {2a}}={\frac {a+c\pm |ac|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};

x_{1}={\frac {a+c+ac}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;

x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},

QED

En particular, si , entonces la ecuación tiene una sola raíz, que es el número .

a=c

una

Método 2. Usando la definición anterior de la raíz de una ecuación cuadrática, encontramos por sustitución que el número 1 es tal en el caso que se considera: - la igualdad correcta, por lo tanto, la unidad es la raíz de este tipo de ecuaciones cuadráticas. Además, según el teorema de Vieta, encontramos la segunda raíz: según este teorema, el producto de las raíces de la ecuación es igual al número igual a la relación entre el término libre y el coeficiente principal , etc. $a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0$ $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Rightarrow x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac{c}{a}}$

De ello se deduce que antes de resolver la ecuación por métodos estándar, es recomendable verificar la aplicabilidad de este teorema, es decir, la suma de todos los coeficientes de la ecuación dada y establecer si esta suma no es igual a cero.

V manera. Descomposición de un trinomio cuadrado en factores lineales

Si un trinomio de la forma se puede representar de alguna manera como un producto de factores lineales , entonces puedes encontrar las raíces de la ecuación : serán y , de hecho, porque después de resolver las ecuaciones lineales indicadas, obtenemos lo anterior. Un trinomio cuadrado no siempre se descompone en factores lineales con coeficientes reales: esto es posible si la ecuación que le corresponde tiene raíces reales. $hacha^{2}+bx+c~(a\no =0)$ $(kx+m)(lx+n)=0$ $hacha^{2}+bx+c=0$ $-{\frac{m}{k}}$ $-{\frac {n}{l}}$ $(kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow {\biggl [}{\begin{matriz}{lcl}kx+m=0,\\lx+n=0,\end{matriz} }$

Se consideran algunos casos especiales.

Usando la fórmula para el cuadrado de la suma (diferencia)

Si el trinomio cuadrado tiene la forma , entonces al aplicarle la fórmula anterior, puedes descomponerlo en factores lineales y, por lo tanto, encontrar las raíces: $(hacha)^{2}+2abx+b^{2}$

(hacha)^{2}+2abx+b^{2}=(hacha+b)^{2},

{\ estilo de visualización (ax + b) ^ {2} = 0,}

x=-{\frac{b}{a}}.

Selección del cuadrado completo de la suma (diferencia)

Además, la fórmula nombrada se usa usando el método llamado "selección del cuadrado completo de la suma (diferencia)". En relación con la ecuación cuadrática dada con la notación presentada anteriormente, esto significa lo siguiente:

sumar y restar el mismo número: .
$x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;$
aplique la fórmula a la expresión resultante, transfiera el sustraendo y el término libre al lado derecho:
$(x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{ 2}})^{2}+q)=0,$
$(x+{\frac{p}{2}})^{2}={\frac{p^{2}}{4}}-q;$
saca la raíz cuadrada de los lados izquierdo y derecho de la ecuación y expresa la variable:
$x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q)),$
$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q}}).$

Nota: esta fórmula coincide con la propuesta en el apartado “Raíces de la ecuación cuadrática reducida”, la cual, a su vez, se puede obtener de la fórmula general (1) sustituyendo la igualdad a = 1 . Este hecho no es solo una coincidencia: por el método descrito, habiendo hecho, sin embargo, algún razonamiento adicional, es posible derivar una fórmula general, así como probar las propiedades del discriminante.

Camino VI. Usando los teoremas directo e inverso de Vieta

El teorema directo de Vieta (ver más abajo ) y su teorema inverso nos permiten resolver las ecuaciones cuadráticas dadas oralmente, sin recurrir a cálculos usando la fórmula (1).

De acuerdo con el teorema inverso, cualquier par de números (número) , siendo una solución a un sistema de ecuaciones $x_{1},x_{2}$

{\begin{casos}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q,\end{casos))

son las raíces de la ecuación .

x^{2}+px+q=0

Un teorema directo te ayudará a seleccionar verbalmente números que satisfagan estas ecuaciones. Con su ayuda, puede determinar los signos de las raíces sin conocer las raíces mismas. Para hacer esto, sigue la regla:

1) si el término libre es negativo, entonces las raíces tienen un signo diferente y el valor absoluto más grande de las raíces es el signo opuesto al signo del segundo coeficiente de la ecuación; 2) si el término libre es positivo, entonces ambas raíces tienen el mismo signo, y este es el signo opuesto del segundo coeficiente.

7mo camino. Método de transferencia

En esencia, el método de "vuelco" es simplemente una modificación del teorema de Vieta .

El método “rollover” es la reducción de una ecuación que no se puede reducir de modo que todos los coeficientes permanezcan enteros, a una ecuación reducida con coeficientes enteros:

1) multiplicar ambas partes por el coeficiente principal:

ax^{2}+bx+c=0\quad \cdot a,

(hacha)^{2}+b(hacha)+ac=0;

2) reemplazar

y=ax\dos puntos

y^{2}+por+ac=0.

Luego, resolvemos la ecuación para y usando el método descrito anteriormente , y encontramos x = y / a .

Como puede ver, en el método de "transferencia", el coeficiente senior simplemente se " transfiere " al término libre.

Sentido geométrico

La gráfica de una función cuadrática es una parábola . Las soluciones (raíces) de una ecuación cuadrática son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas . Si la parábola descrita por la función cuadrática no interseca el eje x, la ecuación no tiene raíces reales. Si la parábola se cruza con el eje x en un punto (en el vértice de la parábola), la ecuación tiene una raíz real (también se dice que la ecuación tiene dos raíces coincidentes). Si la parábola se cruza con el eje x en dos puntos, la ecuación tiene dos raíces reales (ver imagen a la derecha).

Si el coeficiente es positivo, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba y viceversa. Si el coeficiente es positivo (para positivo , para negativo, viceversa), entonces el vértice de la parábola se encuentra en el semiplano izquierdo y viceversa. $a$ $b$ $a$

Manera gráfica de resolver ecuaciones cuadráticas

Además del método universal descrito anteriormente, existe el llamado método gráfico . En términos generales, este método de resolución de una ecuación racional de la forma es el siguiente: en un sistema de coordenadas, gráficas de funciones y encontrar las abscisas de los puntos comunes de estas gráficas; los números encontrados serán las raíces de la ecuación. $f(x)=g(x)$ $y=f(x)$ $y=g(x)$

Solo hay cinco formas principales de resolver gráficamente ecuaciones cuadráticas. Método I

Para resolver una ecuación cuadrática de esta manera, se construye una función gráfica y se encuentran las abscisas de los puntos de intersección de dicha gráfica con el eje . $hacha^{2}+bx+c=0$ $y=ax^{2}+bx+c$ $X$

Método II

Para resolver la misma ecuación de esta manera, se convierte a la forma y se trazan los gráficos de una función cuadrática y una función lineal en el mismo sistema de coordenadas , luego se encuentra la abscisa de sus puntos de intersección. $hacha^{2}=-bx-c$ $y=ax^{2}$ $y=-bx-c$

Método III

La solución por este método involucra la transformación de la ecuación original a la forma usando el método de extraer el cuadrado completo de la suma (diferencia) y luego a . Después de eso, se construye un gráfico de función (es un gráfico de función desplazado por unidades de escala hacia la derecha o hacia la izquierda según el signo) y una línea recta paralela al eje x. Las raíces de la ecuación serán las abscisas de los puntos de intersección de la parábola y la recta. $a(x+l)^{2}+m=0$ $a(x+l)^{2}=-m$ $y=a(x+l)^{2}$ $y=ax^{2}$ $|l|$ $y=-m$

Método IV

La ecuación cuadrática se convierte a la forma , se construye una gráfica de la función (es la gráfica de la función , desplazada en unidades de escala hacia arriba si este coeficiente es positivo, o hacia abajo si es negativo), y se encuentran las abscisas de sus puntos comunes. $hacha^{2}+c=-bx$ $y=ax^{2}+c$ $y=ax^{2}$ $C$ $y=-bx$

Vía V

La ecuación cuadrática se convierte a una forma especial:

{\frac {ax^{2}}{x}}+{\frac {bx}{x}}+{\frac {c}{x}}={\frac {0}{x}});

ax+b+{\frac{c}{x}}=0;

después

ax+b=-{\frac{c}{x}}.

Habiendo hecho transformaciones, construyen gráficas de una función lineal y de proporcionalidad inversa , encuentran las abscisas de los puntos de intersección de estas gráficas. Este método tiene un límite de aplicabilidad: si , entonces no se utiliza el método. $y=ax+b$ $y=-{\frac {c}{x}};\ (c\no =0)$ $c=0$

Resolución de ecuaciones cuadráticas con compás y regla

Los métodos de solución gráfica descritos anteriormente tienen importantes inconvenientes: son bastante laboriosos, mientras que la precisión de la construcción de curvas (parábolas e hipérbolas) es baja. Estos problemas no son inherentes al método que se propone a continuación, que implica construcciones relativamente más precisas con compás y regla.

Para tomar tal decisión, debe realizar la siguiente secuencia de acciones.

Construya un círculo en el sistema de coordenadas Oxy con el centro en el punto de intersección del eje y en el punto C(0;1). $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {a+c}{2a)))$
Son posibles otros tres casos:
- la longitud del radio del círculo excede la longitud de la perpendicular al eje x, omitida del punto S: en este caso, el círculo corta al eje x en dos puntos, y la ecuación tiene dos raíces reales iguales a las abscisas de estos puntos;
- el radio es igual a la perpendicular: un punto y una raíz real de multiplicidad 2;
- el radio es menor que la perpendicular: no hay raíces en el conjunto . $\matemáticas {R}$

Prueba

El método en consideración implica la construcción de un círculo que interseca el eje y en puntos (puntos), cuyas abscisas son las raíces (o raíz) de la ecuación que se está resolviendo. ¿Cómo debe construirse tal círculo? Supongamos que ya se ha construido. Un círculo se define de forma única especificando tres de sus puntos. Sea, si hay dos raíces, estas serán puntos donde , naturalmente, son las raíces reales de la ecuación cuadrática (resaltamos: si existen ). Encuentre las coordenadas del centro de dicho círculo. Para ello demostramos que esta circunferencia pasa por el punto . De hecho, de acuerdo con el teorema de la secante , la igualdad se cumple en la notación aceptada (ver figura). Transformando esta expresión, obtenemos el valor del segmento OD, que determina la ordenada deseada del punto D: (en la última transformación se utilizó el teorema de Vieta (ver más abajo en el apartado del mismo nombre)). Si solo hay una raíz, es decir, el eje de abscisas será tangente a dicho círculo, y el círculo interseca al eje y en un punto con una ordenada de 1, entonces ciertamente lo intersecará en un punto con el anterior ordenada (en particular, si 1=c/a, puede haber puntos coincidentes), lo que se demuestra de manera similar usando el teorema de la secante y la tangente, que es un caso especial del teorema de la secante. En el primer caso ( ), el punto tangente, el punto del eje y con ordenada 1, y su mismo punto con ordenada estarán definiendo . Si c/a y 1 son puntos coincidentes, y hay dos raíces, este punto y los puntos de intersección con el eje de abscisas serán definitorios. En el caso de que (1=c/a) y solo haya una raíz, la información indicada es suficiente para la prueba, ya que solo puede haber un círculo de este tipo: su centro será el vértice del cuadrado formado por los segmentos de tangentes. y perpendiculares, y el radio será el lado de este cuadrado, constituyendo 1. Sea S el centro de una circunferencia que tiene dos puntos comunes con el eje x. Hallemos sus coordenadas: para ello bajamos las perpendiculares a los ejes de coordenadas desde este punto. Los extremos de estas perpendiculares serán los puntos medios de los segmentos AB y CD; después de todo, los triángulos ASB y CSD son isósceles , ya que en ellos AS=BS=CS=DS como radios de un círculo, por lo tanto, las alturas en ellos dibujadas a la las bases también son medianas. Encuentre las coordenadas de los puntos medios de los segmentos nombrados. Como la parábola es simétrica con respecto a la recta , entonces el punto de esta recta con la misma abscisa será el punto medio del segmento AB. Por tanto, la abscisa del punto S es igual a este número. Si la ecuación tiene una raíz, entonces el eje x es tangente a la circunferencia, por tanto, según su propiedad, su radio es perpendicular al eje, por tanto, en este caso, el número indicado es la abscisa del centro. Encontramos su ordenada de la siguiente manera: . En el tercer caso posible, cuando c\a=1 (y por lo tanto a=c), entonces . $A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)$ $x_{1},x_{2}$ $D(0;{\frac {c}{a}})$ $OA\cdot OB=OC\cdot OD$ $OD={\frac {OA\cdot OB}{OC}}={\frac {x_{1}x_{2}}{1}}={\frac {c}{a}}$ ${\frac{c}{a}}\no =1$ ${\frac{c}{a))$ $x=-{\frac{b}{2a}}$ ${\frac {CD}{2}}={\frac {OC+(OC+CD)}{2}}={\frac {OC+OD}{2}}={\frac {1+{\frac { c}{a}}}{2}}={\frac {a+c}{2a}}$ ${\frac {c}{a}}=1={\frac {2a}{2a}}={\frac {a+c}{2a}}$

Entonces, hemos encontrado los datos necesarios para la construcción. De hecho, si construimos un círculo con un centro en un punto que pasa por un punto , entonces, en los casos en que la ecuación tiene raíces reales, cortará el eje x en los puntos cuyas abscisas son estas raíces. Además, si la longitud del radio es mayor que la longitud de la perpendicular al eje Ox, entonces la ecuación tiene dos raíces (suponiendo lo contrario, obtendríamos una contradicción con lo demostrado anteriormente), si las longitudes son iguales, entonces uno (por la misma razón), si la longitud del radio es menor que la longitud de la perpendicular, entonces el círculo no tiene puntos comunes con el eje x, por lo tanto, la ecuación no tiene raíces reales (también se demuestra por contradicción: si hay raíces, entonces el círculo que pasa por A, B, C coincide con el dado y, por lo tanto, corta el eje, sin embargo, no debe cruzar el eje de abscisas por condición, lo que significa que la suposición es incorrecta) . $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {c+a}{2a)))$ $C(0;1)$

Las raíces de una ecuación cuadrática en el conjunto de números complejos

Ecuación con coeficientes reales

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales siempre tiene, teniendo en cuenta la multiplicidad , dos raíces complejas , como lo establece el teorema fundamental del álgebra . En este caso, en el caso de un discriminante no negativo, las raíces serán reales, y en el caso de uno negativo, serán conjugadas complejas : $a~b~c$

cuando la ecuación tendrá dos raíces reales: $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}});$
cuando - una raíz de multiplicidad 2 (en otras palabras, dos raíces idénticas): $D=0$ $x=-{\frac{b}{2a));$
at son dos raíces conjugadas complejas expresadas por la misma fórmula que para el discriminante positivo. También se puede reescribir para que no contenga una expresión radical negativa, de la siguiente manera: $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}} {2a}}.$

Ecuación con coeficientes complejos

En el caso complejo, la ecuación cuadrática se resuelve utilizando la misma fórmula (1) y sus variantes indicadas anteriormente, pero solo se distinguen dos casos: cero discriminante (una raíz doble) y distinto de cero (dos raíces de multiplicidad unitaria).

Las raíces de la ecuación cuadrática reducida

Una ecuación cuadrática de la forma en que el coeficiente principal es igual a uno se llama reducida . En este caso, la fórmula para las raíces (1) se simplifica a $x^{2}+px+q=0,$ $a$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.

Reglas mnemotécnicas:

De " Monitor de bebé ":

"Menos" escribimos primero,
Junto a él p por la mitad,
"Más-menos" es el signo del radical,
Desde la infancia nos es familiar.
Bueno, bajo la raíz, mi amigo,
Todo se reduce a nada:
p por la mitad y al cuadrado
Menos la hermosa [2] q .

De " Baby Monitor " (segunda versión):

p , con un signo inverso,
lo dividiremos en dos,
y lo separaremos cuidadosamente de la raíz con un
signo menos-más.
Y debajo de la raíz es muy útil la
mitad de p al cuadrado
menos q - y aquí están las soluciones,
es decir, las raíces de la ecuación.

De " Baby Monitor " (tercera versión basada en el motivo de las Tardes de Moscú ):

Para hallar x a la mitad de p ,
no olvide tomar con menos,
agregue un radical con más menos,
perfectamente, no de alguna manera.
Y debajo está el cuadrado de la mitad de p ,
Tú, resta por q y el final,
Habrá una fórmula dada,
Tu razonamiento es la corona.
Habrá una fórmula dada,
Tu razonamiento es la corona.

Teorema de Vieta

Formulación de la ecuación cuadrática reducida

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al coeficiente con signo menos, y el producto de las raíces es igual al término libre $x^{2}+px+q=0$ $pags$ ${\ estilo de visualización q \ dos puntos}$

x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.

Con su ayuda, las ecuaciones dadas se pueden resolver oralmente:

Ejemplo

{\ estilo de visualización x^{2}-8x+12=0,}

{\begin{casos}x_{1}+x_{2}=8,\\x_{1}x_{2}=12,\end{casos))

x_{1}=2,\quad x_{2}=6.

Para una ecuación cuadrática no reducida

En el caso general, es decir, para una ecuación cuadrática no reducida $hacha^{2}+bx+c=0\dos puntos$

{\begin{casos}x_{1}+x_{2}=-b/a,\\x_{1}x_{2}=c/a.\end{casos))

En la práctica (siguiendo el método de la "transferencia" ), se utiliza una modificación del teorema de Vieta para calcular las raíces:

{\begin{casos}x_{1}+x_{2}=-b/a&\mid \cdot a,\\x_{1}x_{2}=c/a&\mid \cdot a^{ 2};\end{casos}}

{\begin{casos}(ax_{1})+(ax_{2})=-b,\\(ax_{1})(ax_{2})=ac,\end{casos))

por lo que puedes encontrar verbalmente ax 1 , ax 2 , y desde allí, las raíces mismas:

Ejemplos

8x^{2}+2x-1=0,

{\begin{casos}8x_{1}+8x_{2}=-2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=8\cdot (-1),\end{casos))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=2,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {1}{4)).

8x^{2}-2x-3=0,

{\begin{casos}8x_{1}+8x_{2}=2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=-24,\end{casos))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=6,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {3}{4)).

Pero para algunas ecuaciones no reducidas, las raíces se pueden adivinar verbalmente incluso mediante el teorema estándar de Vieta:

Ejemplo

{\ estilo de visualización 5x^{2}-26x+5=0,}

{\begin{casos}x_{1}+x_{2}={\tfrac {26}{5}}=5+{\tfrac {1}{5)),\\x_{1}x_ {2}=1,\end{casos}}

x_{1}={\tfrac {1}{5)),\quad x_{2}=5.

Factorización del trinomio cuadrado y teoremas que se derivan de esto

Si se conocen ambas raíces de un trinomio cuadrado, se puede desarrollar mediante la fórmula

hacha^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})

(2) Prueba

Para probar esta afirmación, usamos el teorema de Vieta. Según este teorema, las raíces y de la ecuación cuadrática forman relaciones con sus coeficientes: . Sustituye estas razones en el trinomio cuadrado: $x_{1}$ $x_{2}$ $hacha^{2}+bx+c=0$ $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a)),\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a))$

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}+bx+c&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a} })=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=\\&=a(x^{2}-x_{1} x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))\\&=a(x -x_{1})(x-x_{2}).\end{alineado en}}

En el caso de un discriminante cero, esta razón se convierte en una de las variantes de la fórmula del cuadrado de la suma o diferencia .

La fórmula (2) tiene dos consecuencias importantes: Corolario 1 Si un trinomio cuadrado se descompone en factores lineales con coeficientes reales, entonces tiene raíces reales. Prueba

deja _ Entonces, reescribiendo esta expansión, obtenemos: $hacha^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)$

(kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k)))n(x+{\frac {l}{n)))=kn(x-(-{\frac { m}{k))))(x-(-{\frac {l}{n))))

Comparando la expresión resultante con la fórmula (2), encontramos que las raíces de dicho trinomio son y . Como los coeficientes son reales, entonces los números opuestos a sus razones también son elementos del conjunto . $-{\frac{m}{k}}$ $-{\frac{l}{n}}$ $\matemáticas {R}$

Consecuencia 2 Si un trinomio cuadrado no tiene raíces reales, entonces no se puede descomponer en factores lineales con coeficientes reales. Prueba

En efecto, si suponemos lo contrario (que tal trinomio puede descomponerse en factores lineales), entonces, según el Corolario 1 , tiene raíces en el conjunto , lo que contradice la condición, y por lo tanto nuestra suposición es falsa, y tal trinomio no se puede descomponer en factores lineales. $\matemáticas {R}$

Ecuaciones cuadráticas

Algebraico

Una ecuación de la forma es una ecuación que se reduce a una cuadrática. $a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0$

En el caso general, se resuelve reemplazando donde E es el conjunto de valores de la función f , seguido de la solución de la ecuación cuadrática . ${\ estilo de visualización f (x) = t, ~ t \ en E (f),}$ $a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0$

Además, al resolver, puede prescindir del reemplazo resolviendo un conjunto de dos ecuaciones:

f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

Por ejemplo, si , entonces la ecuación se convierte en: $f(x)=x^{2}$

hacha^{4}+bx^{2}+c=0.

Tal ecuación de cuarto grado se llama bicuadrática [3] [1] .

Por reemplazo

y=x+{\dfrac{k}{x}}

la ecuación se reduce a una ecuación cuadrática

hacha^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,

conocida como la ecuación simétrica recíproca o generalizada [1] .

Diferenciales

Ecuación diferencial homogénea lineal con coeficientes constantes de segundo orden

y''+py'+qy=0

la sustitución se reduce a la ecuación cuadrática característica : $y=e^{kx}$

k^{2}+pk+q=0

Si las soluciones de esta ecuación y no son iguales entre sí, entonces la solución general tiene la forma: $k_{1}$ $k_{2}$

y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}

, donde y son constantes arbitrarias.

A

B

Para raíces complejas , la solución general se puede reescribir usando la fórmula de Euler : $k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i$

y=e^{k_{r}x}\left(A\cos {k_{i}x}+B\sin {k_{i}x}\right)=Ce^{k_{r}x }\cos(k_{i}x+\varphi ),

donde A , B , C , φ son constantes cualesquiera. Si las soluciones de la ecuación característica son iguales , la solución general se escribe como: $k_{1}=k_{2}=k$

y=Hacha^{kx}+Be^{kx}

Las ecuaciones de este tipo a menudo ocurren en una amplia variedad de problemas en matemáticas y física, por ejemplo en la teoría de oscilaciones o la teoría de circuitos de corriente alterna .

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Diccionario enciclopédico de un joven matemático, 1985 .
↑ otra opción - "desafortunado"
↑ Diccionario enciclopédico matemático. — M.: Enciclopedia soviética. — 1988.

Literatura

Ecuación cuadrática; Trinomio cuadrado // Diccionario enciclopédico de un joven matemático / Comp. A. P. Savin. - M .: Pedagogía , 1985. - S. 133 -136. — 352 págs.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Derivación de la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática completa. Solución de las ecuaciones cuadráticas reducidas y ecuaciones con un segundo coeficiente par Copia archivada del 28 de enero de 2016 en Wayback Machine / Open Lesson Festival of Pedagogical Ideas.

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	BNF : 12124598x J9U : 987007552898205171 LCCN : sh85044517

Ecuaciones algebraicas
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