icosidodecaedro |
Figura de vértice , representada como 3.5.3.5 o (3.5) 2 |
Una configuración de vértice [1] [2] [3] es una abreviatura para representar la figura de vértice de un poliedro o mosaico como una secuencia de caras alrededor de un vértice. Para un poliedro homogéneo , solo hay un tipo de vértice y, por lo tanto, la configuración de vértice define completamente el poliedro. ( Los poliedros quirales existen como pares de espejos con la misma configuración de vértices).
La configuración de vértice se especifica como una secuencia de números que representan el número de lados de las caras que rodean el vértice. La notación " abc " denota un vértice con tres caras alrededor y estas caras tienen lados a , b y c (aristas).
Por ejemplo, "3.5.3.5" denota un vértice que pertenece a cuatro caras, alternando triángulos y pentágonos . Esta configuración de vértice define un icosidodecaedro transitivo de vértice . La notación es cíclica, por lo que el punto de partida no importa. Entonces 3.5.3.5 es lo mismo que 5.3.5.3. El orden es importante, por lo que 3.3.5.5 no es lo mismo que 3.5.3.5. (En el primer caso, dos triángulos adyacentes van seguidos de dos pentágonos). Los elementos que se repiten se pueden reducir mediante superíndices, de modo que nuestro ejemplo se puede escribir como (3.5) 2 .
Junto con el término configuración de vértice , diferentes fuentes también usan los términos descripción de vértice (descripción de vértice) [4] [5] [6] , tipo de vértice (tipo de vértice) [7] [8] , símbolo de vértice (símbolo de vértice) [9 ] [ 10] , disposición de vértice (diseño de vértice) [11] , patrón de vértice (patrón de vértice) [7] , vector de cara (vector de cara) [12] . La configuración de vértices también usa el término Símbolo de Candy y Rollett , ya que usaron la configuración de vértices para describir los sólidos de Arquímedes en su libro de 1952 Modelos matemáticos [ 13 ] [ 14] [15] [16] .
Una configuración de vértice se puede representar como una figura de vértice poligonal , que muestra los bordes alrededor del vértice. Esta figura de vértice tiene una estructura tridimensional, ya que las caras no están en el mismo plano, pero para los poliedros de vértice uniforme , todos los vértices vecinos están en el mismo plano, por lo que puede usar la proyección ortogonal para representar visualmente la configuración de vértice .
{3,3} = 3 3 Defecto 180° |
{3,4} = 3 4 Defecto 120° |
{3,5} = 3 5 Defecto 60° |
{3,6} = 3 6 |
{4,3} Defecto 90° |
{4,4} = 4 4 |
{5,3} = 5 3 Defecto 36° |
{6,3} = 6 3 |
| El vértice debe tener al menos 3 caras y el vértice tiene un defecto de esquina . Un defecto angular de 0° permite cubrir el plano con un mosaico regular. Según el teorema de Descartes, el número de vértices es 720°/ defecto (4 π radianes/ defecto ). | |||
Se utiliza un tipo diferente de notación, a veces separados por una coma (,) a veces separados por un punto (.). También se puede utilizar un superíndice. Por ejemplo, 3.5.3.5 a veces se escribe como (3.5) 2 .
La notación se puede considerar como una forma expandida del símbolo de Schläfli para poliedros regulares . La notación de Schläfli {p, q} significa q p -gons alrededor de cada vértice. Entonces {p, q} se puede escribir como ppp… ( q veces) o p q . Por ejemplo, el icosaedro tiene {3,5} = 3.3.3.3.3 o 3 5 .
Esta notación se aplica tanto a los mosaicos poligonales como a los poliedros. Una configuración de vértice plano significa un mosaico uniforme, al igual que una configuración de vértice no plano significa un poliedro uniforme.
La designación no es única para especies quirales . Por ejemplo, un cubo chato tiene formas que son idénticas cuando se reflejan. Ambas formas tienen configuración de vértice 3.3.3.3.4.
La designación también es aplicable a caras regulares no convexas, polígonos en estrella . Por ejemplo, el pentagrama tiene el símbolo {5/2}, lo que significa que el polígono tiene 5 lados que giran alrededor del centro dos veces.
Por ejemplo, hay 4 poliedros regulares de estrella con figuras poligonales regulares o de vértice de estrella. El pequeño dodecaedro estrellado tiene el símbolo de Schläfli {5/2,5}, que se despliega en la configuración de vértice explícita 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2, que se puede representar como (5/2) 5 . El gran dodecaedro estrellado de símbolo {5/2,3} tiene forma de vértice triangular y configuración (5/2.5/2.5/2) o (5/2) 3 . El gran dodecaedro con símbolo {5,5/2} tiene una figura de vértice de pentagrama con configuración de vértice (5.5.5.5.5)/2 o (5 5 )/2. El gran icosaedro con símbolo {3,5/2} también tiene una figura de vértice de pentagrama con configuración de vértice (3.3.3.3.3)/2 o (3 5 )/2.
| {5/2,5} = (5/2) 5 | {5/2,3} = (5/2) 3 | 3 4 .5/ | 3 4 .5/ | (3 4 .5/2)/2 |
|---|---|---|---|---|
| {5.5/2} = (5 5 )/2 | {3.5/2} = (3 5 )/2 | V.3 4.5/2 [ | V3 4.5/3 [ | V(3 4 .5/2)/2 |
Los politopos semirregulares tienen una configuración de vértice con un defecto de esquina positivo .
Nota : una figura de vértice puede representar un mosaico regular o semirregular en el plano si su defecto es cero. Una figura de vértice puede representar un mosaico en un plano hiperbólico si su defecto es negativo.
Para poliedros uniformes, el defecto de esquina se puede usar para calcular el número de vértices. El teorema de Descartes establece que la suma de todos los defectos angulares en una esfera topológica debe ser igual a 4 π radianes, o 720°.
Como todos los vértices de un poliedro uniforme son idénticos, esta razón nos permite calcular el número de vértices, que es igual al cociente 4 π / defecto o 720°/ defecto .
Ejemplo: el cubo truncado 3.8.8 tiene un defecto de esquina de 30°. Entonces el poliedro tiene 720/30 = 24 vértices.
En particular, se sigue que { a , b } tiene 4 / (2 - b (1 - 2/ a )) vértices.
Cualquier configuración numérica de un vértice define potencialmente de forma única un poliedro semirregular. Sin embargo, no todas las configuraciones son posibles.
Los requisitos topológicos limitan la existencia de un poliedro. En particular, pqr significa que un p - gon está rodeado alternativamente por q -gons y r - gons, por lo que p es par o q es igual a r . De manera similar, q es par, o p es igual a r , r es par, o p es igual a q . Entonces los triples potenciales son 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (para cualquier n >2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. De hecho, todas estas configuraciones con tres caras reunidas en un vértice existen.
De manera similar, cuando cuatro caras se encuentran en el mismo vértice, pqrs , si un número es impar, el resto debe ser igual.
El número entre paréntesis es el número de vértices calculados a partir del defecto de esquina.
tres
cuatro patas
Cincos
seises
Poliedros duales a uniformes, los sólidos catalanes , incluidas las bipirámides y los trapezoedros , son verticalmente regulares ( transitivos de caras ) y, por lo tanto, pueden identificarse mediante una notación similar, a veces denominada configuración de caras [2] . Cundy y Rollett anteponen estas notaciones duales con el símbolo V. Por el contrario, el libro Tilings and Patterns [17] utiliza corchetes para las teselaciones isoédricas.
Esta notación representa el número consecutivo de caras cerca de cada vértice alrededor de una cara [18] . Por ejemplo, V3.4.3.4 o V(3.4) 2 representa un dodecaedro rómbico que es cara-transitivo: cualquier cara es un rombo y los vértices alternos del rombo rodean 3 o 4 caras.