Vector axial
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 4 de noviembre de 2021; las comprobaciones requieren 8 ediciones .El vector axial , o pseudovector , es una cantidad cuyos componentes se transforman como componentes de un vector ordinario (verdadero) cuando se gira el sistema de coordenadas , pero cambian su signo opuesto a cómo se comportan los componentes del vector con cualquier inversión (reversión de signo) de coordenadas que cambia la orientación de la base (en el espacio tridimensional de derecha a izquierda o viceversa; tal transformación puede ser, por ejemplo, una imagen especular, en el caso más simple, una imagen especular de un eje de coordenadas). [1] Es decir, el pseudovector invierte la dirección mientras mantiene el valor absoluto (multiplicado por "-1") para cualquier inversión del sistema de coordenadas.
El pseudovector representado gráficamente con tal cambio en las coordenadas cambia de dirección a la opuesta.
Para enfatizar la diferencia entre un vector real, cuyas coordenadas siempre se transforman de la misma manera que las coordenadas de un vector de desplazamiento, un vector real se llama vector verdadero o polar .
El ejemplo más simple de un vector axial en el espacio tridimensional es el producto cruzado de dos vectores polares, por ejemplo, en mecánica , momento de impulso y momento de fuerza , en espacio de cuatro dimensiones , corriente axial .
En el marco del álgebra externa , un pseudovector se representa mediante un vector (n-1) en un espacio n-dimensional. Un vector geométricamente simple (n-1) es un subespacio orientado perpendicular a algún eje. Así, en el espacio tridimensional, un pseudovector es un bivector , que a su vez se puede representar como un plano orientado.
Información básica
Al transformar coordenadas, las coordenadas del vector axial se multiplican por un factor adicional (-1) en comparación con la transformación de coordenadas de los vectores verdaderos (también llamados polares), si la base cambia de orientación (por ejemplo, si la base está sujeta a espejo). reflexión). Así, el vector axial, como el pseudoescalar , es un caso especial del pseudotensor . El pseudovector representado gráficamente con tal cambio en las coordenadas cambia de dirección a la opuesta.
- En geometría, el uso más común de un pseudovector puede ser representar una rotación infinitesimal tridimensional con su ayuda . Probablemente (?), el término vector axial proviene precisamente de aquí, ya que el pseudovector determina el eje de rotación (su dirección), pero solo hasta un factor (±1), con la dirección de rotación asociada a una elección arbitraria condicional de la base correcta desde el punto de vista de las matemáticas. [2] En contraste con el verdadero vector (polar), que representa un segmento dirigido (o traslación paralela ) dado de manera bastante definida e inequívoca por los puntos inicial y final.
- En mecánica, en cinemática, en conexión directa con la representación mencionada anteriormente de una rotación infinitesimal, la cantidad de pseudo-vector más común es el vector de velocidad angular . El vector de velocidad real se obtiene del pseudovector de velocidad angular mediante una operación de pseudovector . En estática y dinámica, estos son, en primer lugar, el momento de fuerza y el momento de impulso antes mencionados.
La forma habitual de generar pseudo-vectores son las operaciones pseudo-vectoriales, la más común, si no la única utilizada en el caso tridimensional, es el producto vectorial (ya que incluye el pseudotensor de Levi-Civita en la notación de coordenadas habitual ) y operaciones que contengan el producto vectorial (por ejemplo, rotor , etc.) n.) [3] o un número impar de ellas. La operación pseudovector genera pseudovectores y pseudoescalares a partir de vectores y escalares verdaderos.
Entonces, al multiplicar un vector verdadero por un vector verdadero, se obtiene un escalar verdadero en el producto escalar y un pseudovector en el producto vectorial. Al multiplicar un vector verdadero por un pseudovector, se obtiene un pseudoescalar en el producto escalar y un vector verdadero en el producto vectorial. Al multiplicar dos pseudovectores se obtiene, respectivamente, un escalar verdadero en el producto escalar, y un pseudovector en el producto vectorial.
En las teorías físicas, con excepción de aquellas en las que existe una violación explícita y, en principio, observable de la simetría especular del espacio, los pseudovectores pueden estar presentes en valores intermedios, pero en los finitos, observables, los factores (-1) en el caso de reflejos especulares de coordenadas deben ser destruidos, ocurriendo en productos de número par de veces (un número par de pseudovector + pseudoescalar + otros factores pseudotensores).
- Por ejemplo, en electrodinámica clásica , la inducción del campo magnético es un pseudovector, ya que se genera mediante una operación de pseudovector, por ejemplo, en la ley de Biot-Savart , pero este valor en sí (pseudovector) se define en principio hasta un factor condicional , que se puede elegir +1 o −1. Sin embargo, el valor real observado, la aceleración de una carga bajo la influencia de un campo magnético, en su cálculo contiene una operación pseudovectorial más en la expresión de la fuerza de Lorentz , que da un factor condicional más ±1, igual al primero. , mientras que la arbitrariedad desaparece en la respuesta, ya que el producto ±1 ( ±1) da solo 1.
Véase también
Notas
- ↑ Estamos hablando de la transformación de vectores base con una matriz de transformación que tiene un determinante negativo. Este es un punto importante para entender la esencia del asunto, ya que, por ejemplo, cuando se cambia el signo de todas las coordenadas, la transformación equivale a una rotación (de 180°) y no cambia la orientación de la base, respectivamente. , y el pseudovector con tal transformación de coordenadas se transformará de la misma manera que un vector verdadero, no cambiará de signo en comparación con él.
- ↑ Significa que desde el punto de vista de las matemáticas, la base derecha es indistinguible de la izquierda (mientras que desde el punto de vista de la física uno puede encontrar diferencias en el mundo físico real; sin embargo, desde un punto de vista matemático, esto el mundo físico real no está singularizado en relación al hipotético antimundo con un reflejo especular, de modo que si uno fuera reemplazado por otro, simplemente no notaríamos nada. Lo mismo vale para vincular la base correcta a la asimetría biológica (el corazón está a la izquierda en la mayoría de las personas, la mayoría son diestros, etc. Por lo tanto, el punto de vista matemático se reduce al hecho de que seleccionamos alguna base inicialmente, por así decirlo, arbitrariamente, llamándola condicionalmente derecha, y luego todos otras bases se pueden clasificar en derecha e izquierda con respecto a ella.
- ↑ En algunos casos, algunas de las definiciones de tales operaciones pueden contener implícitamente la operación de producto vectorial, pero su presencia formal suele ser fácil de detectar cuando se reformula. Y, por supuesto, es posible mostrar su naturaleza pseudo-vectorial directamente, sin involucrar el concepto de producto vectorial.
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