Serie laurent

La serie de Laurent de una función compleja es una representación de esta función como una serie de potencias, en la que hay términos con potencias negativas. Nombrado en honor al matemático francés P. A. Laurent .

Definición

La serie de Laurent en el punto final es una serie funcional en potencias enteras sobre el campo de los números complejos : $z_{0}\en \mathbb {C}$ ${\ estilo de visualización (z-z_{0})}$

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad

donde es una variable y coeficientes para .

{\displaystyle z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\))

c_{n}\en \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

Esta serie es la suma de dos series de potencias:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n))$ es la parte en potencias no negativas , ${\ estilo de visualización (z-z_{0})}$
$\sum_{n=-\infty}^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}$ es una parte en potencias negativas de . ${\ estilo de visualización (z-z_{0})}$

La serie de Laurent converge si y solo si ambas partes (tanto en potencia negativa como positiva) convergen.

Si la región de convergencia de la serie de Laurent es tal que , entonces para $A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\})$ ${\displaystyle z_{0}\in \parcial {A_{z_{0))))$ $A_{z_{0))$

la fila se llama la parte derecha ,

{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n))

la fila se llama la parte principal .

\sum_{n=-\infty}^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

La serie de Laurent en el infinito es una serie funcional en potencias enteras sobre el campo de los números complejos: $z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}$ $z$

\sum _{n=-\infty}^{+\infty}c_{n}z^{n},\quad

donde es una variable y coeficientes para .

{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\))

c_{n}\en \mathbb {C}

n\in \mathbb {Z}

En apariencia, la serie por coincide con la serie por , sin embargo, desde el punto de vista formal, se obtuvo reemplazando por . $z_{0}=\infty$ ${\ estilo de visualización z_ {0} = 0}$ $z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta}}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {0} = 0}$

Si la región de convergencia de la serie de Laurent es tal que , entonces para $A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\})$ $\infty \in \parcial {A_{\infty}}$ ${\displaystyle A_{\infty ))$

la fila se llama la parte derecha ,

\sum _{n=-\infty}^{0}c_{n}z^{n}

la fila se llama la parte principal .

\sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}

Propiedades

La parte converge en potencias positivas en el interior de una circunferencia de radio , ${\ estilo de visualización (z-z_{0})}$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$ $R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\in [0;+\ infinito]$

la parte en potencias negativas converge en el exterior de una circunferencia de radio .

{\ estilo de visualización (z-z_{0})}

\Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} } }:|z-z_{0}|>r\}

{\ Displaystyle D_ {r}}

r={\varlimsup \limits_{n\rightarrow +\infty}}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty]

Por lo tanto, si , entonces el interior de la región de convergencia de la serie de Laurent no es vacío y es un anillo circular

{\ estilo de visualización r<R\,}

A

A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{ R}

El comportamiento de la serie de Laurent en los puntos del círculo límite depende solo de un arbitrario , ${\displaystyle C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=R\))$ $\sum_{n=n_{s}}^{+\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n}$ $n_{s}\en \mathbb {N}$

y en los puntos del círculo límite , solo de para arbitrario .

{\displaystyle C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=r\))

\sum_{n=-\infty}^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}

n_{s}\en \mathbb {N}

Así, en cuanto a la serie de potencias , se puede variar el comportamiento de la serie de Laurent en los puntos límite del anillo .

A

La serie de Laurent converge absolutamente en todos los puntos del anillo . $A$
En cualquier subconjunto compacto , la serie converge uniformemente . $K\subconjunto A$
Para cada punto , existe un valor tal que , y la serie de Laurent se puede escribir como una serie convergente en potencias de : ${\ estilo de visualización \ zeta _ {0} \ en A}$ $\rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist }}(C_{R}(z_{0}),\zeta_{0})\}>0$ $D_{\rho }(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\ }\subconjunto A$ $f(z)$ ${\ Displaystyle D_ {\ rho} (\ zeta _ {0})}$ ${\ estilo de visualización (z-\ zeta _ {0})}$

\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum_{k=0}^{+\infty} t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad

donde y para _

{\ estilo de visualización z \ en D_ {\ rho} (\ zeta _ {0})}

t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!)}}

k\in \{0\}\cup \mathbb {N}

aquellos. es para el punto correcto . Así, la suma de la serie de Laurent es una función analítica .

{\ estilo de visualización \ zeta _ {0))

f(z)

A

f(z)

Porque en los círculos límite del anillo de convergencia , hay conjuntos no vacíos , de puntos que no son regulares. $0<r<R<+\infty$ $A$ $I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})$ $I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})$ $f(z)$
La serie Laurent se puede diferenciar en cualquier compacto término a término. $K\subconjunto A$
La integración de la serie de Laurent da una función de un solo valor solo para , ya que para cualquier valor $A$ ${\ estilo de visualización c_ {-1} = 0}$ ${\ estilo de visualización \ rho> 0}$ $\int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{ \begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\ Correcto.$

La serie que representa la función en un dominio doblemente conexo para cualquier curva orientada compacta y rectificable se puede integrar término a término, mientras que el resultado de la integración depende solo de los puntos inicial y final y no depende de la forma de la curva .

\sum _{n=-\infty,n\neq -1}^{+\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n}\,

A

f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,

K\subconjunto A

{\ estilo de visualización \ gamma \ subconjunto K}

\gama

\gama

\gama

Los coeficientes de la serie de Laurent satisfacen las relaciones $(c_{n})_{n\en \mathbb {Z} }$ $f(z)$

c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0} )^{n+1))}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\ ,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}

, donde está cualquier curva rectificable que se encuentra en una compacta y gira alrededor del punto en sentido contrario a las agujas del reloj una vez . En particular, se puede tomar como cualquier círculo de radio con centro en , ubicado dentro del anillo de convergencia y orientado positivamente (el parámetro debe aumentar).

\gama

K\subconjunto A

z_{{0}}

\gama

{\displaystyle C_{\rho }=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\))

{\ estilo de visualización \ rho \ en (r; R)}

z_{{0}}

t

La expansión en una serie de Laurent es única , es decir, si para dos series de Laurent en potencias convergentes en y , respectivamente, sus sumas coinciden en un cierto círculo o en una curva rectificable homotópica a él , entonces todos los coeficientes de estas series coinciden. ${\ estilo de visualización (z-z_{0})}$ ${\ estilo de visualización A_ {1}}$ ${\ estilo de visualización A_ {2}}$ $C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=\rho \}\subconjunto (A_{1}\cap A_{2})$ $A_{1}\cap A_{2}$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ sim C_ {\ rho}}$

Teorema de Laurent

La aplicación de la serie de Laurent se basa principalmente en el siguiente teorema de Laurent:

Cualquier función que sea de un solo valor y analítica en un anillo se puede representar en una serie de Laurent convergente en potencias .

f(z)

{\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \))

A

{\ estilo de visualización (z-z_{0})}

La representación de una función analítica inequívoca en forma de serie de Laurent sirve como herramienta principal para estudiar su comportamiento en la vecindad de un punto singular aislado : $f(z)$ $A_{z_{0))$

1) si el punto es , entonces hay un radio tal que en la vecindad perforada $z_{0}\neq\infty$ $R_{z_{0}}\in (0;+\infty]$

A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad

la función es representable por una serie de Laurent (convergente); $f(z)$

2) si el punto es , entonces hay un radio tal que en la vecindad perforada $z_{0}=\infty$ $r_{\infty}\in [0;+\infty)$

{\displaystyle A_{\infty}=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \))

la función es representable por una serie de Laurent (convergente). $f(z)$

El tipo de un punto singular aislado está determinado por la parte principal de la serie de Laurent en la vecindad perforada : $z_{{0}}$ $A_{z_{0))$

Punto singular removible : la parte principal de la serie Laurent es igual a 0.
Polo : la parte principal contiene un número finito de miembros distintos de cero.
Punto esencialmente singular : la parte principal contiene un número infinito de términos distintos de cero.

Literatura

Evgrafov M. A. Funciones analíticas. - 2ª ed., revisada. y adicional — M .: Nauka , 1968 . — 472 pág.
Markushevich AI Teoría de las funciones analíticas. Volumen 1: Los comienzos de la teoría. - Ed. 2do. — M .: Nauka , 1967 . — 486 pág.
Privalov II Introducción a la teoría de funciones de variable compleja. - 13. — M .: Nauka , 1984 . — 432 págs.
Titchmarsh E. Teoría de funciones: Per. De inglés. - 2ª ed., revisada. — M .: Nauka , 1980 . — 464 pág.
Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka , 1969 . — 577 pág.

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux