Teoría K

La teoría K es una teoría matemática que estudia los anillos generados por paquetes de vectores sobre espacios o esquemas topológicos . En topología algebraica , esta teoría de cohomología generalizada se denomina teoría K topológica . En álgebra y geometría algebraica, la rama correspondiente se llama teoría K algebraica. También juega un papel importante en las álgebras de operadores y puede considerarse como una teoría de ciertos tipos de invariantes de matrices grandes [1] .

La teoría K implica la construcción de familias de K- funtores que asignan espacios o esquemas topológicos a los anillos correspondientes; estos anillos reflejan algunos aspectos de la estructura de los espacios o esquemas originales. Al igual que con los funtores en la categoría de grupos utilizados en la topología algebraica, este mapeo funcional facilita el cálculo de algunas propiedades topológicas de los anillos mapeados que de los espacios o esquemas originales. Los ejemplos de resultados derivados del enfoque de la teoría K incluyen el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch, la periodicidad de Bott, el teorema del índice de Atiyah-Singer y las operaciones de Adams.

En la física de altas energías , la teoría K, y en particular la teoría K con torsión, se utiliza en la teoría de cuerdas de tipo II, donde se ha sugerido que clasifiquen las branas D , las intensidades de campo de Ramond-Ramond y algunos espinores en términos generalizados . variedades complejas.

En la física de la materia condensada, la teoría K se ha utilizado para clasificar aisladores topológicos , superconductores y superficies estables de Fermi .

La construcción de Grothendieck

La construcción de Grothendieck es un componente necesario para la construcción de la teoría K. Sea un monoide. Denotar por la siguiente relación de equivalencia en ${\ estilo de visualización (A,+')}$ $\sim$ $A\veces A:$

{\ estilo de visualización (a_ {1}, a_ {2}) \ sim (b_ {1}, b_ {2})}

si existe tal que Entonces el conjunto tiene la estructura de grupo , donde: ${\ estilo de visualización c \ en A,}$ $a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.$ $G(A)=A\times A/\sim$ ${\ estilo de visualización (G (A), +)}$

[(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+' b_{2})]

Las clases de equivalencia en este grupo deben considerarse como diferencias formales de elementos en un monoide abeliano.

Para comprender mejor este grupo, considere algunas de las clases de equivalencia del monoide abeliano . Denotamos la unidad del monoide como . Primero, para cualquier , ya que podemos poner y aplicar la igualdad de la relación de equivalencia para obtener . Significa ${\ estilo de visualización (A, +)}$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización (0,0) \ sim (n, n)}$ ${\ estilo de visualización n \ en A}$ $c=0$ ${\ estilo de visualización n = n}$

{\ estilo de visualización [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, a + b)] = 0}

por lo tanto, tenemos un inverso aditivo para cada elemento en . Por lo tanto, las clases de equivalencia pueden verse como diferencias formales . Otra observación útil es la invariancia de las clases de equivalencia bajo escala: ${\ estilo de visualización G (A)}$ ${\ estilo de visualización [(a, b)] \ en G (A)}$ $abdominales$

{\ estilo de visualización (a, b) \ sim (a + k, b + k)}

para todos

{\ Displaystyle k \ en A}

La construcción de Grothendieck puede verse como un funtor . Se deja conjugado con respecto al funtor de olvido correspondiente . En otras palabras, si es un monoide abeliano, es un grupo abeliano, entonces cada homomorfismo de monoides abelianos puede asociarse con un único homomorfismo de grupo . $G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp}$ $U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .$ $A$ $B$ ${\ estilo de visualización \ phi: A \ a U (B)}$ ${\ estilo de visualización G (A) \ a B}$

Un buen ejemplo a considerar es el monoide abeliano , el conjunto de los números naturales. Podemos ver eso . Para cualquier par, podemos encontrar el representante mínimo usando la invariancia de escala. Por ejemplo, $\matemáticas {N}$ $G((\mathbb {N},+))=(\mathbb {Z},+)$ $(a,b)$ $(a',b')$

{\ estilo de visualización (4,6) \ sim (3,5) \ sim (2,4) \ sim (1,3) \ sim (0,2)}

En general, si ponemos , entonces encontramos que $k=\min\{a,b\}$

{\ estilo de visualización (a, b) \ sim (ak, bk)}

, que tiene la forma o

{\ estilo de visualización (c, 0)}

{\ estilo de visualización (0, d).}

Esto muestra lo que podemos considerar como números enteros positivos y -- como números enteros negativos. ${\ estilo de visualización (a, 0)}$ ${\ estilo de visualización (0, b)}$

Definiciones

Hay una serie de definiciones básicas de la teoría K: dos de topología y dos de geometría algebraica.

Sea un espacio topológico de Hausdorff compacto . Denótese como el conjunto de paquetes vectoriales de dimensión finita hasta el isomorfismo, y denote la clase de isomorfismo de un paquete vectorial por . Dado que las clases de isomorfismos de paquetes vectoriales se comportan bien con respecto a las sumas directas, podemos definir una suma directa de dos elementos como $X$ ${\text{Vect}}(X)$ $X$ ${\ estilo de visualización \ pi: E \ a X}$ ${\ estilo de visualización [E]}$ ${\text{Vect}}(X)$

[E]\oplus [E']=[E\oplus E']

Está claro que es un monoide abeliano, donde la identidad viene dada por el haz vectorial trivial . Entonces podemos aplicar la construcción de Grothendieck para obtener un grupo abeliano a partir de este monoide abeliano. Este grupo se llama teoría K y se denota . $({\text{Vect}}(X),\oplus )$ $\mathbb {R} ^{0}\veces X\to X$ $X$ $K^{0}(X)$

El teorema de Serre-Swan permite dar una descripción alternativa de paquetes de vectores como módulos proyectivos sobre un anillo defunciones continuas de valor complejo enLuego, pueden identificarse conmatrices idempotentes en algún anillo de matriz . Podemos definir clases de equivalencia de matrices idempotentes y formar un monoide abeliano. Su diseño de Grothendieck también se llama. $C^{0}(X;\mathbb {C} )$ $X.$ $M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))$ ${\textbf {Ídem}}(X)$ $K^{0}(X)$

En geometría algebraica, la misma construcción se puede aplicar a paquetes de vectores algebraicos sobre esquemas suaves. También hay una construcción alternativa para cualquier esquema noetheriano . Es decir, sobre el conjunto de clases de isomorfismo de haces coherentes sobre uno se puede introducir una relación de equivalencia: si hay una sucesión exacta corta $X$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Coh} (X)}$ $X$ $[{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']$

0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.

Esto da un grupo que es isomorfo si el esquema es suave. El grupo también tiene una estructura de anillo, definida como $K_{0}(X)$ $K^{0}(X)$ $X$ $K_{0}(X)$

[{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{ \mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\derecha].

Usando el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , tenemos que

\operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q}

es un isomorfismo de anillos. Por lo tanto, podemos usar para la teoría de la intersección. $K_{0}(X)$

Historia temprana

Se puede decir que este tema comienza con Alexander Grothendieck (1957), quien lo utilizó para formular su teorema de Grothendieck-Riemann-Roch. El nombre "teoría K" proviene del alemán "Klasse" ("clase"). Grothendieck estudió haces coherentes en una variedad algebraica "X". En lugar de trabajar directamente con poleas, definió el grupo usando las clases de isomorfismos de las poleas como generadores, con una relación que identifica cualquier extensión de dos poleas con su suma. El grupo resultante se denomina "K(X)" cuando solo se consideran roldanas libres localmente , o "G(X)" cuando todas las roldanas son coherentes. Cualquiera de estas dos construcciones se denomina grupo de Grothendieck "K(X)" tiene un comportamiento cohomológico y "G(X)" tiene un comportamiento homológico .

Si "X" es una variedad suave, entonces estos dos grupos son iguales. Si es una variedad afín suave, entonces todas las extensiones de gavillas libres localmente se dividen, por lo que el grupo tiene una definición alternativa.

En topología , aplicando la misma construcción a haces vectoriales, Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch definieron "K(X)" para el espacio topológico "X" en 1959 y utilizando el teorema de periodicidad de Bott lo convirtieron en la base de la teoría de la cohomología extendida. Esto jugó un papel importante en la segunda prueba del teorema del índice de Atiyah-Singer (alrededor de 1962). Además, este enfoque condujo a una teoría K no conmutativa para C*-álgebras .

Ya en 1955, Jean-Pierre Serre utilizó el paralelismo entre haces vectoriales y módulos proyectivos para formular la conjetura de Serre , que establece que todo módulo proyectivo generado finitamente sobre un anillo polinomial es libre ; esta afirmación resultó ser cierta, pero no se comprobó hasta 20 años después. (El teorema de Serra-Swan es otro aspecto de esta analogía).

Mayor desarrollo

Otra fuente histórica de la teoría K algebraica fue el trabajo de J. G. C. Whitehead y otros sobre lo que más tarde se conocería como la torsión de Whitehead.

A esto le siguió un período durante el cual se dieron varias definiciones parciales de "funtores de la teoría K superior". Finalmente, Daniel Quillen dio dos definiciones útiles y equivalentes utilizando la teoría de la homotopía en 1969 y 1972. Friedhelm Waldhausen también dio una variante para estudiar la "teoría algebraica K de los espacios", que está relacionada con el estudio de las pseudoisotopías. Muchos estudios modernos de la teoría K superior están relacionados con la geometría algebraica y el estudio de la cohomología motívica .

Las construcciones correspondientes que involucran la forma cuadrática auxiliar se denominan teoría L . Es el principal instrumento de la cirugía de Morse .

En la teoría de cuerdas , la clasificación de la teoría K de los campos de tensión de Ramond-Ramond y las cargas de las D-branas estables se propuso por primera vez en 1997 [2] .

Ejemplos

El ejemplo más simple de un grupo de Grothendieck es el grupo de Grothendieck de un punto para un campo . Dado que el paquete vectorial sobre este espacio es simplemente un espacio vectorial de dimensión finita que es un objeto libre en la categoría de haces coherentes (por lo tanto, también proyectivo), el monoide de clase de isomorfismo es , según la dimensión del espacio vectorial. El grupo de Grothendieck correspondiente es . ${\text{Especificación))(\mathbb {F} )$ $\matemáticas {F}$ $\matemáticas {N}$ $\matemáticas {Z}$
Una de las propiedades importantes del grupo de Grothendieck de un esquema noetheriano es que [3] . Por lo tanto, el grupo de Grothendieck de cualquier álgebra artiniana es igual a . $X$ $K(X)=K(X_{\text{rojo)))$ $\matemáticas {F}$ $\matemáticas {Z}$
Otra fórmula importante para el grupo de Grothendieck es la fórmula del paquete proyectivo: [4] si es un paquete vectorial de rango "r" sobre un esquema noetheriano , entonces el grupo de Grothendieck del paquete proyectivo es un módulo libre de rango "r" con base _ Esta fórmula te permite calcular el grupo de Grothendieck . ${\ matemáticas {E}}$ $X$ $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proy} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))$ ${\ estilo de visualización K (X)}$ ${\ estilo de visualización 1, \ xi, \ puntos, \ xi ^{n-1))$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} _ {\ mathbb {F} }^ {n}}$

Aplicaciones

Paquetes virtuales

Una aplicación útil del grupo de Grothendieck es la definición de paquetes de vectores virtuales. Por ejemplo, si tenemos una incrustación de espacios suaves , entonces hay una secuencia exacta corta $Y\hookrightarrow X$

0\a \Omega _{Y}\a \Omega _{X}|_{Y}\a C_{Y/X}\a 0

donde hay una gavilla conormal en . Si tenemos un espacio especial incrustado en un espacio liso , definimos una gavilla conormal virtual como ${\ estilo de visualización C_ {Y/X}}$ $Y$ $X$ $Y$ $X$

[\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]

Otra aplicación útil de los paquetes virtuales está relacionada con la definición de un paquete tangente virtual para la intersección de espacios: sean subvariedades proyectivas de una variedad proyectiva suave. Entonces podemos definir el haz tangente virtual de su intersección como $Y_{1},Y_{2}\subconjunto X$ $Z=Y_{1}\cap Y_{2}$

[T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}] |_{Z}.

Kontsevich utiliza esta construcción en una de sus obras. [5]

Personajes de Zhen

Las clases de Chern se pueden utilizar para construir un homomorfismo de anillos a partir de una teoría K topológica de un espacio para (completar) sus anillos de cohomología racional. El símbolo de Chern "ch" del paquete de líneas "L" se define mediante la fórmula

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

De manera más general, si es una suma directa de paquetes de líneas, con las primeras clases de Chern, el carácter de Chern se define de forma aditiva ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n))$ ${\ estilo de visualización x_ {i} = c_ {1} (L_ {i}),}$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\puntos +x_{n}^{m}).

El símbolo de Chern es útil en parte porque facilita el cálculo de la clase de Chern de un producto tensorial. El símbolo de Chern se utiliza en la formulación del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch.

Teoría K equivalente

Una teoría K algebraica equivariante es una teoría K algebraica relacionada con la categoría de haces coherentes equivariantes en un esquema algebraico con una acción de grupo algebraica lineal , a través de la construcción Q de Quillen; así, por definición, ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Coh} ^ {G} (X)}$ $X$ $GRAMO$

K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).

En concreto, se trata del grupo Grothendieck . Esta teoría fue desarrollada por R. W. Thomason en la década de 1980. [6] En particular, demostró análogos equivariantes de teoremas fundamentales como el teorema de localización. $K_{0}^{G}(C)$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Coh} ^ {G} (X)}$

Véase también

Bott Periodicidad
Teoría de control de calidad
Teoría CR
Lista de teorías cohomológicas
Teoría K algebraica
Teoría K topológica
Operador K-teoría
Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch

Notas

↑ [[ Michael Atiyah |Atiyah, Michael]] (2000), K-Theory Past and Present, arΧiv : math/0012213 .
↑ Ruben Minasian ( http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7 Archivado el 22 de septiembre de 2020 en Wayback Machine ) y Gregory Moore en K-theory and Ramond's charge - Ramonda Archivado el 21 de abril 2020 en la Wayback Machine
↑ Grupo de Grothendieck para el espacio proyectivo sobre los números duales . mathoverflow.net . Consultado el 16 de abril de 2017. Archivado desde el original el 17 de abril de 2017. (indefinido)
↑ Manin, Yuri Ivánovich . Conferencias sobre el funtor K en geometría algebraica (inglés) // Uspekhi matematicheskikh nauk : revista. - Academia Rusa de Ciencias , 1969. - 1 de enero ( vol. 24 , no. 5 ). - P. 1-89 . — ISSN 0036-0279 . -doi : 10.1070/ rm1969v024n05abeh001357 . - .
↑ [[ Maxim Kontsevich |Kontsevich, Maxim]] (1995), Enumeración de curvas racionales a través de acciones toroidales, El espacio de módulos de curvas (Texel Island, 1994) , vol. 129, Progreso en Matemáticas, Boston, MA: Birkhauser Boston, p. 335–368
↑ Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952–1995) Archivado el 7 de febrero de 2020 en Wayback Machine .

Literatura

Atiyah M. Conferencias sobre la teoría K. - M. : Literatura extranjera, 1967. - 261 p.

Enlaces

Michael Atiyah . K-teoría. — 2do. - Addison-Wesley , 1989. - (Clásicos de libros avanzados). - ISBN 978-0-201-09394-0 .
Manual de teoría K / Friedlander, Eric; Grayson, Daniel. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-30436-4 . -doi : 10.1007 / 978-3-540-27855-9 .
Parque, Efton. Teoría K Topológica Compleja. - Cambridge University Press , 2008. - V. 111. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). - ISBN 978-0-521-85634-8 .
Cisne, RGTeoría K algebraica. - Springer , 1968. - T. 76. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-04245-8 .
karoubi maxTeoría K: una introducción. - Springer-Verlag , 1978. - (Clásicos de las Matemáticas). — ISBN 0-387-08090-2 . -doi :/ 978-3-540-79890-3 .
Karoubi, Max (2006), Teoría K. Una introducción elemental, arΧiv : math/0602082 .
Hatcher, Allen Vector Bundles y K-Theory (2003). (indefinido)
Weibel, CarlosEl libro K: una introducción a la teoría K algebraica . - Sociedad Americana de Matemáticas, 2013. - Vol. 145.- (Grado. Estudios en Matemáticas). - ISBN 978-0-8218-9132-2 .