Plano proyectivo real


Polígono fundamental plano proyectivo. 		Una tira de Möbius con un solo borde se puede cerrar en el plano proyectivo pegando los bordes opuestos.
A modo de comparación, una botella de Klein  es una tira de Möbius cerrada en un cilindro.

El plano proyectivo real es un ejemplo de una variedad 2 compacta no orientada , en otras palabras, una superficie de un solo lado . El plano proyectivo no se puede incrustar en el espacio tridimensional ordinario sin autointersección. El principal campo de aplicación de este plano es la geometría , ya que la construcción principal del plano proyectivo real es el espacio de líneas en R 3 que pasan por el origen.

El plano a menudo se describe topológicamente en términos de construcción basada en la tira de Möbius  : si pega el borde (único) de la tira de Möbius a sí mismo en la dirección correcta, obtiene un plano proyectivo (esto no se puede hacer en un espacio tridimensional ). De manera equivalente, pegar un círculo a lo largo del límite de una cinta de Möbius produce un plano proyectivo. Topológicamente, la superficie tiene la característica de Euler 1 porque el semigénero (no orientable o género de Euler) es 1.

Dado que la cinta de Möbius, a su vez, se puede construir a partir de un cuadrado pegando dos de sus lados, el plano proyectivo real se puede representar como un cuadrado unitario (es decir, [0,1] × [0,1]), en la que los lados se identifican por la siguiente relación de equivalencia :

y

,

como en la imagen de la izquierda arriba.

Ejemplos

La geometría proyectiva no tiene que ver necesariamente con la curvatura, y el plano proyectivo real se puede torcer y colocar en el plano euclidiano o en el espacio tridimensional de muchas maneras [1] . A continuación se describen algunos ejemplos importantes de anidamiento de planos.

El plano proyectivo no se puede incrustar (sin intersecciones) en el espacio euclidiano tridimensional . La prueba de esto es algo así: suponga que el plano está incrustado, luego el plano proyectivo delimita una región compacta del espacio euclidiano tridimensional de acuerdo con el teorema de Jordan generalizado . El campo vectorial unitario dirigido hacia afuera define la orientación del límite de la variedad, pero el límite de la variedad es el plano proyectivo , que no es orientable. Tenemos una contradicción.

Esfera proyectiva

Considere una esfera , deje que los grandes círculos de la esfera sean "líneas rectas" y los pares de puntos antípodas sean "puntos". Es fácil comprobar que el sistema obedece a los axiomas del plano proyectivo :

Si identificamos cualquier punto de la esfera con su punto antípoda, obtenemos una representación del plano proyectivo real, en la que los "puntos" del plano proyectivo son puntos reales. Esto quiere decir que el plano proyectivo es el espacio cociente de la esfera, que se obtiene dividiendo la esfera en clases de equivalencia por la relación , donde si y = −x. Este espacio cociente es homeomorfo al conjunto de todas las rectas que pasan por el origen en R 3 .

El mapeo factorial de la esfera al plano proyectivo real es, de hecho, una cubierta de dos hojas (es decir, dos a uno ) . Se sigue que el grupo fundamental del plano proyectivo real es un grupo cíclico de orden 2. Se puede tomar el ciclo AB de la figura anterior como generador.

Hemisferio proyectivo

Dado que la esfera cubre dos veces el plano proyectivo real, el plano proyectivo se puede representar como un hemisferio cerrado, en el que se identifican los puntos opuestos del borde [2] .

Superficie de Batalla - Inmersión

El plano proyectivo se puede sumergir (los vecindarios locales del dominio de definición no tienen autointersecciones) en un espacio tridimensional. La superficie de Boi es un ejemplo de tal inmersión.

Los ejemplos poliédricos deben tener al menos nueve caras [3] .

Superficie romana

La superficie romana de Steiner es un mapeo degenerado del plano proyectivo en un espacio tridimensional que contiene la cinta de Möbius .

La representación del poliedro  es el tetrahemihexaedro [4] , que tiene la misma forma general que la superficie de Steiner.

Semipoliedros

En la otra dirección, algunos poliedros regulares abstractos , el semicubo , el semidodecaedro y el semiicosaedro , pueden construirse como figuras en el plano proyectivo . Ver el artículo " Poliedro proyectivo ".

Proyecciones planas

Se han descrito varias proyecciones planas o proyecciones del plano proyectivo. En 1874 Klein describió el mapeo [1]

La proyección central de un hemisferio proyectivo sobre un plano da el plano proyectivo infinito habitual, que se describe a continuación.

Cinta de Möbius

Si pegamos el círculo con la cinta de Möbius , obtenemos una superficie cerrada. Esta superficie se puede representar paramétricamente mediante las siguientes ecuaciones:

donde u y v van de 0 a 2 π . Estas ecuaciones son similares a las de un toro . La Figura 1 muestra un disco cerrado con una tira de Möbius.

Figura 1. Dos vistas de un disco con cinta de Möbius.

El disco con la cinta de Möbius tiene un plano de simetría , que pasa por un segmento con puntos de intersección (en la figura, el plano será horizontal). En la Figura 1, el disco de la tira de Möbius se muestra desde arriba con respecto al plano de simetría z = 0, pero se verá exactamente igual cuando se vea desde abajo.

Un disco con una tira de Möbius se puede cortar a lo largo del plano de simetría con la condición de que no se corte ningún punto doble. El resultado se muestra en la Figura 2.

Figura 2. Dos vistas de un disco disecado con una tira de Möbius.

Bajo esta condición, se puede ver que un disco disecado con una tira de Möbius es homeomorfo a un disco de autointersección, como se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Dos vistas diferentes de un disco de autointersección.

Un disco de autointersección es homeomorfo a un disco ordinario. Ecuaciones paramétricas de un disco autointersecante:

donde u va de 0 a 2 π y v va de 0 a 1.

La proyección de un disco que se corta a sí mismo sobre un plano de simetría ( z = 0 bajo la parametrización anterior), que solo pasa por puntos dobles, es un disco regular que se repite (se pliega sobre sí mismo).

El plano z = 0 corta el disco de autointersección en un par de discos que son imágenes especulares entre sí. Los discos están centrados en el origen .

Considere ahora las llantas de disco (con v = 1). Los puntos en el borde de un disco de autointersección vienen en pares como reflejos entre sí sobre el plano z = 0.

El disco con la cinta de Möbius se forma identificando estos pares de puntos. Esto significa que un punto con parámetros ( u ,1) y coordenadas se identifica con un punto ( u + π,1) cuyas coordenadas son . Pero esto significa que se identifican pares de puntos opuestos en el borde de un disco ordinario (equivalente). Así, se forma un plano proyectivo real a partir del disco, de modo que la superficie que se muestra en la Figura 1 (el disco con la tira de Möbius) es topológicamente equivalente al plano proyectivo real RP 2 .

Coordenadas homogéneas

Los puntos del plano se pueden representar mediante coordenadas homogéneas . El punto tiene coordenadas homogéneas , mientras que las coordenadas y corresponden al mismo punto para todos los valores distintos de cero de t . Los puntos con coordenadas representan el plano real habitual , que se llama la parte finita del plano proyectivo, y los puntos con coordenadas se llaman puntos en el infinito o puntos ideales , que forman una línea, que se llama la línea en el infinito . Las coordenadas homogéneas no representan ningún punto.

Las líneas en el plano se pueden representar mediante coordenadas homogéneas. La línea proyectiva correspondiente al plano en R 3 tiene coordenadas homogéneas . Por lo tanto, estas coordenadas tienen una relación de equivalencia para todos los valores distintos de cero de d . Esto es consecuencia del hecho de que la ecuación de la misma recta da las mismas coordenadas homogéneas. Un punto está en una línea si . Así, las rectas con coordenadas donde a y b no son iguales a 0 corresponden a rectas en el plano real ordinario , ya que contienen puntos que no están en el infinito. La línea con coordenadas es una línea en el infinito, ya que solo se encuentran puntos para los cuales .

Puntos, rectas y planos

Una línea recta en el plano P 2 se puede representar mediante la ecuación . Si consideramos a , b y c como el vector columna g , y x , y , z como el vector columna x , entonces la ecuación anterior se puede escribir como:

o .

Usando notación vectorial, podemos escribir en su lugar

o .

La ecuación (donde k es un escalar distinto de cero) barre un plano que pasa por el origen en R 3 , y k ( x ) barre otra vez una línea que pasa por el origen. El plano y la recta son subespacios lineales en R 3 que siempre pasan por el origen.

Puntos Ideales

En P 2 la ecuación de una recta es , y esta ecuación puede representar cualquier recta en cualquier plano paralelo al plano x , y cuando la ecuación se multiplica por k .

Si z = 1, tenemos coordenadas homogéneas normalizadas. Todos los puntos para los que z = 1 crean un plano. Imaginemos que estamos mirando este plano (desde un punto más alejado del eje z y mirando hacia el origen) y hay dos líneas paralelas en el plano. Desde el punto de vista, podemos ver solo una parte del plano (debido a las propiedades de la visión), que está resaltada en rojo en la figura. Si nos alejamos del plano a lo largo del eje z (mientras continuamos mirando hacia el origen), podemos ver la mayor parte del plano. Los puntos de partida de nuestro fragmento de vista se están moviendo. Podemos reflejar este movimiento dividiendo las coordenadas homogéneas por una constante. En la figura, hemos dividido por 2, por lo que el valor z ahora es 0,5. Si nos alejamos lo suficiente, el área en cuestión se convierte en un punto. A medida que nos alejamos, vemos las líneas cada vez más ampliamente, mientras que las líneas paralelas se cruzan en la línea en el infinito (la línea que pasa por el origen en el plano z \u003d 0). Las rectas en el plano z = 0 son puntos ideales. El plano z = 0 es una línea recta en el infinito.

Un punto con coordenadas uniformes (0, 0, 0) es el punto donde convergen todos los puntos reales cuando miras el plano desde el infinito, y la línea en el plano z = 0) es la línea donde se cruzan todas las líneas paralelas.

Dualidad

Hay dos vectores columna en la ecuación . Puede cambiar otro mientras mantiene una columna constante. Si mantenemos el punto x constante y cambiamos los coeficientes g , creamos nuevas líneas que pasan por el punto. Si mantenemos los coeficientes constantes y cambiamos los puntos que satisfacen la ecuación, creamos una línea recta. Tratamos x como un punto porque los ejes que estamos usando son x , y y z . Si en cambio usamos los ejes a , b , c como coeficientes , los puntos se convierten en líneas rectas y las líneas rectas se convierten en puntos. Si probamos algún hecho para la representación gráfica de datos en los ejes x , y y z , se puede usar el mismo razonamiento para los ejes a , b y c . Esto se llama dualidad.

Líneas que conectan puntos e intersecciones de líneas (usando dualidad)

La ecuación calcula el producto punto de dos vectores de columna. El producto punto de dos vectores es cero si los vectores son ortogonales . En el plano P 2 , la línea entre los puntos x 1 y x 2 se puede representar como un vector columna g que satisface las ecuaciones y , o, en otras palabras, un vector columna g que es ortogonal a los vectores x 1 y x 2 . El producto vectorial encuentra dicho vector - una línea recta que conecta dos puntos tiene coordenadas homogéneas dadas por la ecuación - . La intersección de dos rectas se puede encontrar de la misma manera, usando la dualidad, como el producto vectorial de los vectores que representan las rectas .

Incrustación en el espacio de 4 dimensiones

El plano proyectivo está incrustado en un espacio euclidiano de 4 dimensiones. El plano proyectivo real P 2 ( R ) es el espacio cociente de la 2-esfera

en relación antípoda . Considere una función dada como . Esta aplicación se limita a una aplicación cuyo dominio es S 2 y, dado que cada término es un polinomio homogéneo de grado par, toma los mismos valores en R 4 en cada uno de los dos puntos antípodas de la esfera S 2 . Esto da la pantalla . Además, este mapeo es un archivo adjunto. Tenga en cuenta que esta incrustación permite la proyección en R 3 , que una romana

Superficies no orientables de semigénero superior

Al pegar los planos proyectivos uno tras otro, obtenemos superficies no orientables de un semigénero superior . El proceso de pegado consiste en cortar un pequeño disco de cada superficie e identificar ( pegar ) los límites. Pegando dos planos proyectivos se obtiene una botella de Klein .

El artículo sobre el polígono fundamental describe superficies no orientables de un semigénero superior.

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 Apéry, 1987 .
  2. ↑ Semanas, 2002 , pág. 59.
  3. ↑ Brehm, 1990 , pág. 51-56.
  4. ↑ Richter .

Literatura

  • Apery F. Modelos del plano proyectivo real. - Vieweg, 1987. - ISBN 9783528089559 .
  • Coxeter HSM El plano proyectivo real. — 2ª ed. —Cambridge: En University Press, 1955.
  • Reinhold Baer. Álgebra Lineal y Geometría Proyectiva. - Dover, 2005. - ISBN 0-486-44565-8 .
  • David A. Richter. Dos Modelos del Plano Proyectivo Real .
  • Weeks J. La forma del espacio. - Marcel Dekker, Ine, 2002. - (MONOGRAFÍAS Y LIBROS DE TEXTO DE Matemática Pura y Aplicada). — ISBN 0-8247-0709-5 .
  • Brehm U. Cómo construir modelos poliédricos mínimos de la superficie de Boy // El inteligente matemático. - 1990. - T. 12 , núm. 4 .

Enlaces

 Superficies compactas y sus inmersiones en el espacio tridimensional
La clase de homeoformidad de una superficie triangulada compacta está determinada por la orientabilidad, el número de componentes de contorno y la característica de Euler.
Sin bordes
Orientable
no orientable
con frontera

Conceptos relacionados
Propiedades
Características
Operaciones