La hipótesis de Gilbraith

La conjetura de Gilbraith es una hipótesis de la teoría de números que establece que si se toma una secuencia de números primos y se le aplica iterativamente el operador diferencia , las secuencias obtenidas en cada paso siempre comenzarán con 1. La conjetura ganó fama después de que se publicado en 1958 por Norman Gilbraith [1] . Sin embargo, ya en 1878, François Prot publicó una supuesta prueba de la misma conjetura, que resultó ser errónea [1] .

Orígenes de la hipótesis

Considere una secuencia de números primos

{\ estilo de visualización 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \ puntos}

Calculemos los valores absolutos de las diferencias entre cada par de términos vecinos y escribamos la secuencia resultante:

{\ estilo de visualización 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, \ puntos}

Siguiendo realizando esta operación por cada nueva secuencia obtenida, obtendremos lo siguiente:

1,0,2,2,2,2,2,2,4,\puntos

{\ estilo de visualización 1,2,0,0,0,0,0,2, \ puntos}

{\ estilo de visualización 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, \ puntos}

{\ estilo de visualización 1, 2, 0, 0, 0, 2, \ puntos}

{\ estilo de visualización 1, 2, 0, 0, 2, \ puntos}

Vemos que el primer elemento de cada secuencia es . $una$

Hipótesis

Es más fácil formular la conjetura de Gilbraith si introducimos alguna notación para las sucesiones de la sección anterior. denote la secuencia ordenada de números primos y defina los términos de la secuencia como ${\ estilo de visualización \ {p_ {n} \}}$ $p_{n}$ ${\ estilo de visualización \ {d_ {n} \}}$

{\displaystyle d_{n}=p_{n+1}-p_{n))

donde n es natural. También consideramos que para cada natural , definimos la secuencia por la fórmula $\{d_{n}\}=\{d_{n}^{1}\}$ $k>1$ $\{d_{n}^{k}\}$

d_{n}^{k}=|d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|

(aquí - esto no es un título, sino un superíndice) $k$

La conjetura de Gilbraith establece que cada miembro de la sucesión es igual a . ${\displaystyle a_{k}=d_{1}^{k))$ $una$

Verificación e intentos de prueba

A partir de 2011, no se publicó una prueba correcta de la conjetura. Como se mencionó en la introducción, Prot prueba de la afirmación, pero luego se demostró que estaba equivocada Andrew Odlyzhko en 1993 comprobó que es 1 para todos [2] , pero la conjetura sigue siendo un problema abierto. En lugar de calcular todas las filas de la tabla, Odlyzhko calculó 635 filas y descubrió que la fila 635 comienza desde 1 y más adelante hasta el -ésimo elemento consta solo de los números 0 y 2. De ello se deduce que todas las filas posteriores comienzan desde uno. ${\displaystyle d_{1}^{k))$ $k\leqslant n=3{,}4\cdot 10^{11}$ $norte$ $norte$ $norte$

Secuencias de números primos hasta el 150

En la siguiente tabla, los ceros están resaltados en verde, los unos en rojo, los dos en azul y los demás números en gris. La esencia de la hipótesis es que el área gris nunca llegará a la columna roja de unidades.

2	3	5	7	once	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149
una	2	2	cuatro	2	cuatro	2	cuatro	6	2	6	cuatro	2	cuatro	6	6	2	6	cuatro	2	6	cuatro	6	ocho	cuatro	2	cuatro	2	cuatro	catorce	cuatro	6	2	diez
una	0	2	2	2	2	2	2	cuatro	cuatro	2	2	2	2	0	cuatro	cuatro	2	2	cuatro	2	2	2	cuatro	2	2	2	2	diez	diez	2	cuatro	ocho
una	2	0	0	0	0	0	2	0	2	0	0	0	2	cuatro	0	2	0	2	2	0	0	2	2	0	0	0	ocho	0	ocho	2	cuatro
una	2	0	0	0	0	2	2	2	2	0	0	2	2	cuatro	2	2	2	0	2	0	2	0	2	0	0	ocho	ocho	ocho	6	2
una	2	0	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	2	2	0	ocho	0	0	2	cuatro
una	2	0	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	0	2	0	2	0	0	0	0	0	0	2	ocho	ocho	0	2	2
una	2	0	2	0	2	0	2	0	0	0	0	2	2	2	2	2	0	0	0	0	0	2	6	0	ocho	2	0
una	2	2	2	2	2	2	2	0	0	0	2	0	0	0	0	2	0	0	0	0	2	cuatro	6	ocho	6	2
una	0	0	0	0	0	0	2	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	2	2	2	cuatro
una	0	0	0	0	0	2	2	0	2	0	2	0	0	2	0	2	0	0	2	0	0	0	0	2
una	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	2	2	2	2	0	2	2	0	0	0	2
una	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	2	0	0	2
una	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	0	2	0	2	2	2	0	2
una	0	2	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	0	2	2	2	0	0	2	2
una	2	0	2	2	0	2	0	2	0	0	0	2	2	0	0	2	0	2	0
una	2	2	0	2	2	2	2	2	0	0	2	0	2	0	2	2	2	2
una	0	2	2	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	0	0
una	2	0	2	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	0	0
una	2	2	2	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	2	0
una	0	0	2	0	2	2	0	2	2	0	0	2	0	2
una	0	2	2	2	0	2	2	0	2	0	2	2	2
una	2	0	0	2	2	0	2	2	2	2	0	0
una	2	0	2	0	2	2	0	0	0	2	0
una	2	2	2	2	0	2	0	0	2	2
una	0	0	0	2	2	2	0	2	0
una	0	0	2	0	0	2	2	2
una	0	2	2	0	2	0	0
una	2	0	2	2	2	0
una	2	2	0	0	2
una	0	2	0	2
una	2	2	2
una	0	0
una	0
una

Véase también

Notas

↑ 1 2 Caldwell, Chris, The Prime Glossary: Gilbreath's conjecture , < http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=GilbreathsConjecture > Archivado el 24 de marzo de 2012 en Wayback Machine .
↑ Odlyzko, AM (1993), Valores absolutos iterados de diferencias de números primos consecutivos , Matemáticas de Computación Vol. 61: 373–380 , < http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/ gilbreath.conj.ps > Archivado el 27 de septiembre de 2011 en Wayback Machine .

Literatura

V. Serpinski . Lo que sabemos y lo que no sabemos sobre los números primos. - L., FizMatLit, 1963.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Gilbraith Conjetura en Wolfram MathWorld .

Hipótesis sobre los números primos
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