La hipótesis de Cramer

La conjetura de Cramer es una hipótesis teórica de números formulada por el matemático sueco Harald Cramer en 1936, [1] que establece que

p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n),\

donde denota el n- ésimo número primo , y O es O grande . En términos generales, esto significa que los intervalos entre números primos sucesivos son siempre pequeños. La conjetura de Cramer también se llama una declaración un poco más fuerte: $p_n$

\limsup_{n\rightarrow \infty}}{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=1.

La hipótesis de Cramer aún no ha sido probada ni refutada.

Justificación heurística

La conjetura de Cramer se basa en un modelo probabilístico (esencialmente heurístico ) de la distribución de números primos, que supone que la probabilidad de que un número natural x sea primo es aproximadamente igual a . Este modelo se conoce como modelo de números primos de Cramer . Cramer probó en su modelo que la hipótesis mencionada es cierta con probabilidad 1 [1] . $\frac{1}{\ln x}$

Resultados probados sobre espacios entre números primos

Cramer también dio una prueba condicional de la afirmación más débil de que

p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\ln p_n)

asumiendo la verdadera hipótesis de Riemann [1] .

Por otro lado, E. Westzynthius demostró en 1931 que los espacios entre números primos son más que logarítmicos. es decir, [2]

\limsup_{n\to +\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty.

La conjetura de Cramer-Granville

Daniel Shanks propuso la conjetura de igualdad asintótica para los mayores intervalos entre números primos que no excedan . La hipótesis de Shanks es algo más fuerte que la de Cramer: [3] $g(x)$ $X$

G(x)\sim\ln^{2}x.

En un modelo probabilístico

\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = c,

donde

c = 1.

Pero la constante puede no ser la misma que para las simples, según el teorema de Mayer . Andrew Granville argumentó en 1995 que la constante [4] , donde es la constante de Euler . $C$ $c=2e^{-\gamma }\approx 1{,}1229\ldots$ $\gama$

M. Wolf [5] propuso una fórmula para la distancia máxima entre números primos sucesivos menores que . La fórmula de Wolf expresa en términos de la función de distribución de los números primos : $g(x)$ $X$ $g(x)$ $\pi(x)$

G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)))(2\ln \pi (x)-\ln x+c_{0}),

donde , y es el doble de la constante de primos gemelos . $c_{0}=\ln C_{2}=0{,}2778769\puntos$ $C_{2}=1{,}3203236\puntos$

Thomas Nicely calculó muchas de las brechas más grandes entre números primos. [6] Probó la calidad de la conjetura de Cramer midiendo la relación R del logaritmo de números primos a la raíz cuadrada del tamaño del espacio entre números primos:

R={\frac {\ln p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.

Escribió: "Para las brechas máximas conocidas entre números primos , R permanece en alrededor de 1,13", lo que muestra, al menos en el rango de sus cálculos, que la mejora de Granville de la conjetura de Cramer no parece ser la mejor aproximación para los datos disponibles. .

Véase también

teorema de los números primos
Intervalos entre números primos
La hipótesis de Firuzbekht es una hipótesis más fuerte .
La conjetura de Legendre y la conjetura de Andritz son límites superiores más débiles pero aún no probados para los espacios entre números primos.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Cramér Conjecture (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Cramér-Granville Conjecture (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Notas

↑ 1 2 3 Cramér, Harald (1936), Sobre el orden de magnitud de la diferencia entre números primos consecutivos , Acta Arithmetica Vol. 2: 23–46 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa /aa2/aa212.pdf > Archivado el 23 de julio de 2018 en Wayback Machine .
↑ Westzynthius, Erik (1931), Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind , Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors T. 5:1-37 .
↑ Shanks, Daniel (1964). “Sobre las brechas máximas entre números primos sucesivos”. Matemáticas de Computación . Sociedad Matemática Americana. 18 (88): 646-651. DOI : 10.2307/2002951 . JSTOR2002951 . _
↑ Granville, Andrew (1995). “Harald Cramér y la distribución de los números primos” (PDF) . Diario actuarial escandinavo . 1 :12-28. Archivado desde el original (PDF) el 23 de septiembre de 2015.
↑ Lobo, Marek (2014). “Distribución espaciadora del vecino más cercano de números primos y caos cuántico” . física Rvdo. E._ _ 89 :022922.
↑ Muy bien, Thomas R. (1999). “Nuevos espacios primos máximos y primeras ocurrencias” . Matemáticas de Computación . 68 (227): 1311-1315. DOI : 10.1090/S0025-5718-99-01065-0 . MR 1627813 . Archivado desde el original el 30 de diciembre de 2014.

Hipótesis sobre los números primos
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