Grupo Conway Co1

El grupo de Conway Co 1 es un grupo simple esporádico de orden

2^{21}{\cdot }3^{9}{\cdot }5^{4}{\cdot }7^{2}{\cdot }11{\cdot }13{\cdot }23

= 4157776806543360000 ≈ 4⋅10 18 .

Historia y propiedades

Co 1 es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descubierto por John Horton Conway en 1968. El grupo es el más grande de los tres grupos esporádicos de Conway y se puede obtener como el cociente de Co 0 ( el grupo de automorfismo que conserva el origen de la red de Leach ) por su centro , que consta de matrices escalares ±1 [1] . El grupo también surge en el vértice del grupo de automorfismos de una red unimodular de 26 dimensiones pares II 25.1 $\lambda$ . Algunos comentarios, no del todo claros, en la colección de artículos de Witt sugieren que encontró la red de Leach, y posiblemente el orden de su grupo de automorfismos, en un artículo inédito de 1940.

El grupo de automorfismos exteriores del grupo Co 1 es trivial, y el multiplicador de Schur tiene orden 2.

Involuciones

Co 0 tiene 4 clases laterales de involuciones. Se contraen a 2 en Co 1 , pero hay 4 elementos en Co 0 que corresponden a la tercera clase de involuciones en Co 1 .

La imagen de conjuntos de 12 elementos (dodecads) tiene un centralizador de tipo 2 11 :M 12 :2, que está contenido en un subgrupo máximo de tipo 2 11 :M 24 .

La imagen de octadas o conjuntos de 16 elementos tiene un centralizador de la forma 2 1+8 .O 8 + (2), el subgrupo máximo.

Vistas

La representación de permutación exacta más pequeña del grupo Co 1 consta de 98280 pares { v ,– v } de vectores con norma 4.

El centralizador de involución tipo 2B en el monstruo tiene la forma . $2^{1+24}\mathrm {Co} _{1}$

El diagrama de Dynkin de un retículo unimodular lorentziano par II 1,25 es isométrico al retículo de Leach (afín) , por lo que el grupo de avomorfismos del diagrama es una extensión dividida , Co 0 de isometrías afines del retículo de Leach. $\lambda$ $\lambda$

Subgrupos máximos

Wilson [2] encontró 22 clases laterales de subgrupos máximos del grupo Co 1 , aunque había varios errores en su lista original, que corrigió más tarde [3] .

Co 2
3. Suz :2 Levantar fija una estructura compleja o la transforma en una estructura conjugada. Parte superior de la Torre Suzuki . $\mathrm {Aut} (\Lambda)$
2 11 : M 24 Elevación para fijar el marco de vectores [4] . La imagen del subgrupo monomio [5] del grupo $\mathrm {Aut} (\Lambda)$ $\mathrm {Aut} (\Lambda)$
Co 3
$2^{1+8}.\mathrm {O} _{8}^{+}(2)$ centralizador de involución (imagen de octadas de ) $\mathrm {Aut} (\Lambda)$
${\displaystyle \mathrm {U} _{6}(2):\mathrm {S} _{3))$
$(\mathrm {A} _{4}\times \mathrm {G} _{2}(4)):2$ en la cadena Suzuki [6] .
$2^{2+12}:(\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{3})$
$2^{4+12}.(\mathrm {S} _{3}\times 3.\mathrm {S}_{6})$
${\displaystyle 3^{2}.\mathrm {U}_{4}(3).\mathrm {D}_{8))$
3 6 :2. M 12 ( holomorfo del código Golay ternario )
(A 5 × J 2 ):2 en cadena Suzuki
$3^{1+4}:2.\mathrm {PSp} _{4}(3).2$
$(\mathrm {A}_{6}\times \mathrm {U}_{3}(3)).2$ en la cadena Suzuki
$3^{3+4}:2.(\mathrm {S}_{4}\times \mathrm {S}_{4})$
${\displaystyle \mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3))$ en la cadena Suzuki
$(\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {L} _{2}(7)):2$ en la cadena Suzuki
$(\mathrm {D}_{10}\times (\mathrm {A}_{5}\times \mathrm {A}_{5}).2$
$5^{1+2}:\mathrm {GL} _{2}(5)$
$5^{3}:(4\veces \mathrm {A} _{5}).2$
$7^{2}:(3\times 2.\mathrm {S}_{4})$
$5^{2}:2\mathrm {A} _{5}$

Notas

↑ Matriz diagonal, cuyos elementos son todos iguales
↑ Wilson, 1983 .
↑ Wilson, 1988 .
↑ Los vectores de longitud 8 en la red de Leach se dividen en 48 pares de vectores perpendiculares entre sí, que se denominan pares de coordenadas ( Wilson 2009 ).
↑ Un grupo finito G se llama monomio o -grupo si todos sus caracteres irreducibles son inducidos por caracteres lineales de subgrupos de G ( Fedorov 2007 ). ${\ matemáticas {M}}$
↑ Cadena Suzuki o torre Suzuki son los siguientes grupos de permutación de rango 3: . $G_{2}(2)=U(3,3)\cdot 2,J_{2}\cdot 2,G_{2}(4),\mathrm {Suz} \cdot 2$

Literatura

John Horton Conway . Un grupo perfecto de orden 8.315.553.613.086.720.000 y los grupos simples esporádicos // Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . - 1968. - T. 61 , núm. 2 . — S. 398–400 . -doi : 10.1073/ pnas.61.2.398.
Teoría de grupos finitos: Un simposio / Brauer R. , Chih-han Sah. — W.A. Benjamin, Inc., Nueva York-Ámsterdam, 1969.
John Horton Conway . Un grupo de orden 8,315,553,613,086,720,000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1969. - T. 1 . — págs. 79–88 . — ISSN 0024-6093 . -doi :/ blms/1.1.79 .
John Horton Conway . Tres conferencias sobre grupos excepcionales // Grupos simples finitos / Powell MB, Graham Higman. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - págs. 215-247. — (Actas de una Conferencia de Instrucción organizada por la London Mathematical Society (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN), Oxford, septiembre de 1969). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Reimpreso enConway, Sloane, 1999, 267-298
John Horton Conway , Neil JA Sloane . Empaquetaduras de Esferas, Celosías y Grupos . — 3er. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
Thomas M. Thompson. Desde códigos de corrección de errores pasando por empaques de esferas hasta grupos simples . - Asociación Matemática de América , 1983. - V. 21. - (Monografías Matemáticas de Carus). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis RT, Robert A. Wilson. Atlas de grupos finitos . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
Roberto L. Jr. Griess. Doce grupos esporádicos. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1998. - (Monografías de Springer en Matemáticas). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
Roberto A. Wilson. Los subgrupos máximos del grupo de Conway Co₁ // Journal of Algebra . - 1983. - T. 85 , núm. 1 . — S. 144–165 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(83)90122-9 .
Roberto A. Wilson. Sobre los 3 subgrupos locales del grupo Co₁ de Conway // Journal of Algebra . - 1988. - T. 113 , núm. 1 . — S. 261–262 . — ISSN 0021-8693 . -doi : 10.1016 / 0021-8693(88)90192-5 .
Roberto A. Wilson. Los grupos simples finitos. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 2009. - (Textos de posgrado en Matemáticas 251). - ISBN 978-1-84800-987-5 . -doi : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 .
Fedorov S. N. Monomialidad de grupos finitos con ciertas condiciones sobre las clases de elementos conjugados // Fundam. y aplicación Mat.. - 2007. - V. 13 , n. 5 . — S. 201–212 .

Enlaces

MathWorld: Conway Groups Archivado el 29 de octubre de 2017 en Wayback Machine .
Atlas de Representaciones de Grupos Finitos: Co 1 versión 2
Atlas de representaciones de grupos finitos: Co 1 Archivado el 27 de marzo de 2008 en Wayback Machine versión 3

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