Invariante de tipo finito
Una invariante de tipo finito (o invariante de Vasiliev ) es una clase de invariantes de nudo caracterizadas por una cierta relación con todas las resoluciones de un nudo singular con un número determinado de autointersecciones.
Definición
Sea una invariante de nodos con valores en números reales, es decir , hay un número real definido para cada nodo , tal que si los nodos y son isotópicos.
Considere un diagrama de nudo plano y elija un subconjunto de sus intersecciones, que consta de elementos. Numeremos estas intersecciones del 1 al .
Para el conjunto , donde consideramos el diagrama obtenido al cambiar las intersecciones de acuerdo con la siguiente regla: si , entonces la -ésima intersección no cambia, y si , entonces cambia a la opuesta.
![{\displaystyle D[\varepsilon _{1},\puntos,\varepsilon _{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28424e0dd1fdbb29a0253eafd175ded60634aa2)
Sea un entero no negativo. Si para cualquier diagrama y cualquier elección de intersecciones la identidad
![{\ Displaystyle \ sum _ {(\ varepsilon _ {1}, \ puntos, \ varepsilon _ {m})} \ varepsilon _ {1} \ cdots \ varepsilon _ {m} \ cdot f (D [\ varepsilon _ { 1},\puntos,\varepsilon _{m}])=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4a8a1b150af793d899f6cfc983299091357200)
entonces dicen que tiene un grado no superior a .
Los invariantes de grado finito se denominan invariantes de tipo finito .
Ejemplos
- Todos los invariantes de nudos polinómicos conocidos se expresan en términos de invariantes de tipo finito.
- El coeficiente del término cuadrático en el polinomio de Alexander es un invariante de tipo finito de grado dos.
- Cualquier coeficiente en la integral de Kontsevich es un invariante de tipo finito.
Propiedades
- Las invariantes de grado no mayor forman un espacio vectorial . Donde
- y son unidimensionales, es decir, invariantes de grado no mayor son solo constantes.
Preguntas abiertas
- ¿Los invariantes de tipo finito forman un sistema completo de invariantes? Es decir, ¿es cierto que si dos nodos y no son isotópicos, entonces existe un invariante de tipo finito tal que ?
Historia
Los invariantes de nudos de tipo finito fueron propuestos de forma independiente por Vasiliev y Gusarov [1] a finales de la década de 1980. Vasiliev posee las primeras publicaciones sobre este tema (1990), [1] Gusarov, habló en el seminario de Rokhlin en 1987, y la primera publicación se publicó solo en 1991 [2] .
En 1992, Arnold dio una charla sobre este tema en el Congreso Matemático Europeo . [3] Desde entonces, el término "invariantes de Vassiliev" se ha fijado.
Notas
- ↑ VA Vassiliev. Cohomología de espacios de nudos // Avances en matemáticas soviéticas .. - 1990. - T. 1 . — S. 23–69 .
- ↑ MN Gusarov. Una nueva forma del polinomio de enlaces orientados de Conway-Jones // Apuntes de Seminarios Científicos POMI. - 1991. - T. 193 .
- ↑ VI Arnoldo. Teoría de discriminantes y nudos de Vassiliev // Primer Congreso Europeo de Matemáticos. - 1992. - T. 1 . — págs. 3–29 .
Literatura
- S. V. Duzhin , S. V. Chmutov Nudos y sus invariantes // Matem. iluminación, ser. 3 . - 1999. - T. 3 . - S. 59-93 .