Colorante tricolor
En la teoría de nudos, la tricolorabilidad de un nudo es la capacidad de colorear un nudo con tres colores, siguiendo ciertas reglas. La coloreabilidad en tres colores es un invariante isotópico y, por lo tanto, esta propiedad se puede utilizar para distinguir entre dos nodos ( no isotópicos En particular, dado que un nudo trivial no es tricolor, cualquier nudo colorable no será trivial.
Reglas para colorear
Un nudo se puede colorear si cada hilo del diagrama de nudo se puede colorear con uno de los tres colores según las siguientes reglas: [1]
1. Se deben usar al menos dos colores 2. En cada intersección, tres hilos deben ser todos del mismo color o de un color diferente (el hilo de arriba en la intersección no cambia de color, y el hilo de abajo se considera dos hilos diferentes).Notas
- Algunas fuentes requieren que se usen los tres colores [2] . Para nudos esto es equivalente a la definición anterior, pero para enlaces no lo es.
Ejemplos
Un ejemplo de coloración de nodos de acuerdo con las reglas anteriores. Por lo general, los colores rojo, verde y azul se usan para colorear.
“El trébol y el enlace trivial de 2 son tricolores, pero el nudo trivial, el enlace de Whitehead y la figura ocho no lo son.
Un ejemplo de un nodo de tres colores
El nudo babi se puede pintar en tres colores. En esta coloración, los tres hilos en cada intersección tienen tres colores diferentes. Un nudo consta de dos tréboles, y colorear uno de los dos (pero no ambos) tréboles completamente rojo también da una coloración válida. El nudo de la "amistad verdadera" también es tricolor [3]
Un ejemplo de un nodo no tricolor
La figura ocho no se puede pintar en tres colores. En el diagrama que se muestra, el nudo tiene cuatro hilos, de los cuales cualquier par se encuentra en alguna intersección. Si tres de los hilos tienen el mismo color, entonces el cuarto hilo también debe tener el mismo color. De lo contrario, cada uno de estos cuatro hilos debe tener un color diferente. Dado que la tricolorabilidad es una invariante de un nudo, ninguno de los diagramas de este nudo puede ser tricolor.
Propiedades
- Si la proyección de un nudo es tricolor, entonces Reidemeister se mueve sobre el nudo para conservar la colorabilidad, por lo que todas las proyecciones del nudo son tricolores o ninguna proyección es colorable” [1] . En otras palabras, la tricolorabilidad es una isotopía invariante , una propiedad de un nudo o enlace que permanece sin cambios para cualquier isotopía ambiental .
- Esto se puede probar si uno considera los movimientos de Reidemeister . Dado que cada movimiento de Reidemeister se puede realizar sin cambiar la propiedad de capacidad de color, esta propiedad es una isotopía invariante.
| el Reidemeister que muevo no cambia la colorabilidad. | el movimiento Reidemeister II no cambia la colorabilidad. | el movimiento Reidemeister III no cambia la colorabilidad. |
|---|---|---|
- Debido a que la tricoloración es una clasificación binaria (ya sea que el enlace sea coloreable o no), esta es una invariante relativamente débil. La suma de un nodo coloreable con otro nodo siempre es coloreable.
- La forma de fortalecer este invariante es contar el número de colorantes posibles en tres colores. En este caso, descartamos la regla de que se usan al menos dos colores, y ahora cualquier enlace tiene al menos tres colores (simplemente colorea todos los arcos con el mismo color). Ahora se considera que un enlace tiene 3 colores si tiene más de 3 colores diferentes.
- Cualquier enlace separable con un componente separable coloreable también es tricolorable.
- Si un nudo toroide o enlace , se puede colorear en tres colores, entonces lo mismo es válido para y para cualquier número natural y .
Véase también
- El n-coloring de Fox
- Gráficos para colorear
Notas
- ↑ 1 2 Weisstein, 2010 , pág. 3045.
- ↑ Gilbert y Porter 1994 , pág. ocho.
- ↑ Mladen Bestvina (febrero de 2003). " Nudos: un folleto para círculos matemáticos Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine ", Math.Utah.edu .
Literatura
- Eric W. Weisstein. CRC Enciclopedia Concisa de Matemáticas. - Segunda edicion. — Boca Ratón, Londres, Nueva York. Washington DC: Chapman & Hall/CRC, 2010. - ISBN 9781420035223 .
- ND Gilbert, T. Porter. Nudos y Superficies. - Oxford, Nueva York, Tokio: Oxford University Press, 1994. - ISBN 0-19-853397-7 .
Enlaces
- Weisstein, Eric W. Three-Colorable Knot (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld . Consultado: 5 de mayo de 2013.