Las hipótesis de Tate

Las hipótesis de Tate  son tres hipótesis formuladas por el matemático del siglo XIX Peter Guthrie Tate mientras estudiaba los nudos [1] . Las hipótesis de Tate involucran conceptos de la teoría de nudos, como nudos alternos , quiralidad y número de torsión . Todas las conjeturas de Tate han sido probadas, siendo la última la conjetura de inversión.

Antecedentes

Tate ideó sus hipótesis a fines del siglo XIX después de intentar tabular todos los nodos. Como fundador de la teoría de nudos, su trabajo no tuvo un fundamento matemático riguroso, y no está del todo claro si extendió sus hipótesis a todos los nudos, o solo a los nudos alternos . Resultó que la mayoría de ellos son ciertos solo para nodos alternos [2] . En las conjeturas de Tate, se dice que un diagrama de nudos se "reduce" si se eliminan todos los "cuellos" o "cruces triviales".

Número de intersecciones de nodos alternos

Tate sugirió que, en algunas circunstancias, el número de intersección es un nudo invariante , en particular:

Cualquier diagrama reducido de un enlace alterno tiene el menor número posible de intersecciones.

En otras palabras, el número de intersecciones de un enlace alterno reducido es un nudo invariante. Esta conjetura fue probada por Louis Kaufman, Kunio Murasugi (村杉邦男) y Morven B. Thistlethwaite en 1987 utilizando el polinomio de Jones [3] [4] [5] .

Una prueba geométrica que no utiliza polinomios de nudos fue dada en 2017 por Joshua Green [6] .

Número de torsión y quiralidad

Segunda hipótesis de Tate:

Un enlace alterno anficharal (o aquiral) tiene un número de torsión cero.

Esta conjetura también fue probada por Kaufman y Thistlethwaite [3] [7] .

Volteando

La hipótesis de inversión de Tate se puede establecer de la siguiente manera:

Dados dos diagramas alternos abreviados y un enlace alterno simple orientado, entonces el diagrama se puede transformar mediante una secuencia de algún tipo de operaciones llamadas inversión [8]

La hipótesis de inversión de Tate fue probada por Thistlethwaite y William Menasco en 1991 [9] . Varias otras hipótesis de Tate se derivan de la conjetura de inversión de Tate:

Dos diagramas reducidos cualesquiera del mismo nudo alterno tienen el mismo número de torsión.

Esto se deriva del hecho de que voltear conserva el número de giro. Este hecho fue probado anteriormente por Murasugi y Thistlethwaite [7] [10] . Esto también se desprende del trabajo de Green [6] . Para nudos no alternos, esta conjetura no es cierta y el par de Perco es un contraejemplo [2] .

Este resultado también implica la siguiente conjetura:

Los nodos anfiquirales alternados tienen un número par de intersecciones [2] .

Esto se deriva del hecho de que el nudo de espejo tiene el número de torsión opuesto. Esta hipótesis vuelve a ser cierta solo para nodos alternos: hay un nodo anfiquiral no alterno con 15 intersecciones [11] .

Véase también

Notas

  1. ↑ Lickorish, 1997 , pág. 47.
  2. ↑ 1 2 3 Stoimenow, 2008 , pág. 285–291.
  3. ↑ 1 2 Kauffman, 1987 , pág. 395–407.
  4. ↑ Murasugi, 1987 , pág. 187–194.
  5. ↑ Thistlethwaite, 1987 , pág. 297–309.
  6. ↑ 12 Greene , 2017 , pág. 2133-2151.
  7. ↑ 1 2 Thistlethwaite, 1988 , p. 311–318.
  8. ↑ Weisstein, Eric W. Tait's Knot Conjectures  en el sitio web de Wolfram MathWorld .
  9. ↑ Menasco, Thistlethwaite, 1993 , p. 113–171.
  10. ↑ Murasugi, 1987 , pág. 317–318.
  11. ↑ Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot  en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Literatura