Poliedro cuasiregular

Un poliedro cuasi-regular (del latín quas (i) "como", "algo así") es un poliedro semirregular que tiene exactamente dos tipos de caras regulares , siguiendo alternativamente cada vértice. Estos politopos son de borde transitivo y, por lo tanto, están un paso más cerca de los politopos regulares que de los semirregulares, que solo son transitivos de vértice .

Cifras casi regulares

(3.3) 2	(3.4) 2	(3.5) 2	(3.6) 2	(3.7) 2	(3.8) 2	(3.∞) 2
$\begin{Bmatriz} 3 \\ 3 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatriz} 3 \\ 4 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatriz} 3 \\ 5 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatriz} 3 \\ 6 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatriz} 3 \\ 7 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatriz} 3 \\ 8 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatrix} 3 \\ \infin \end{Bmatrix}$
r{3,3}	r{3,4}	r{3,5}	r{3,6}	r{3,7	r{3,8	r{3,∞}


Los poliedros o mosaicos cuasi-regulares tienen exactamente dos tipos de caras regulares, que se organizan alternativamente alrededor de cada vértice. Sus formas de vértice son rectángulos .

Solo hay dos poliedros cuasiregulares convexos, el cuboctaedro y el icosidodecaedro . Los nombres de estos poliedros, dados por Kepler , provienen del entendimiento de que sus caras contienen todas las caras del par dual de cubo y octaedro en el primer caso, y del par dual de icosaedro y dodecaedro en el segundo.

Estas formas, representadas por un par (un politopo regular y su dual), pueden estar dadas por el símbolo vertical de Schläfli o r{p, q} para representar las caras tanto del regular {p, q} como del dual {q, p} politopos. Un poliedro cuasi-regular con este símbolo tiene una configuración de vértice pqpq (o (pq) 2 ). $\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$

Más generalmente, las figuras casi regulares pueden tener una configuración de vértice (pq) r , representando r (2 o más) diferentes tipos de caras alrededor del vértice.

Los mosaicos en el plano también pueden ser cuasi-regulares, en particular, un mosaico trihexagonal con configuración de vértice (3.6) 2 . En el plano hiperbólico existen otros teselados cuasiregulares , como el teselado trisemigonal (3.7) 2 . Esto incluye los (pq) 2 mosaicos , con 1/p+1/q<1/2.

Algunos poliedros regulares y mosaicos (que tienen un número par de caras en cada vértice) también se pueden tratar como cuasi-regulares dividiendo las caras en dos conjuntos (como si las hubiéramos pintado en diferentes colores). Una figura regular con el símbolo de Schläfli {p, q} puede ser casi regular y tendrá una configuración de vértice (pp) q/2 si q es par.

Cifras regulares y cuasi-regulares

Triángulos rectángulos (págs. 2) [1]
{3,4} r{3,3}	{4,4} r{4,4}	{5,4} r{5,5}	{6,4} r{6,6}	{7,4} r{7,7}	{8,4} r{8,8}	{∞,4} r{∞,∞}
$\begin{Bmatriz} 3 \\ 3 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatriz} 4 \\ 4 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatriz} 5 \\ 5 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatriz} 6 \\ 6 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatriz} 7 \\ 7 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatriz} 8 \\ 8 \end{Bmatriz}$	$\begin{Bmatrix} \infin \\ \infin \end{Bmatrix}$
(3.3) 2	(4.4) 2	(5.5 2	(6.6 2	(7.7 2	(8.8 2	(∞.∞) 2

	Parquet cuadrado	Mosaico de 5 ángulos de cuarto orden	Mosaico hexagonal de cuarto orden	Teselación 7-gonal de 4º orden	Mosaico octogonal de cuarto orden	Mosaico de ángulo ∞ de cuarto orden
Triángulos generales (págs. 3) [2]
{3,6}	{4,6	{5,6	{6,6	{7,6	{8,6	{∞,6}
(3.3) 3	(4.4) 3	(5.5) 3	(6.6) 3	(7.7) 3	(8.8) 3	(∞.∞) 3


Triángulos generales (págs. 4)
{3,8	{4,8	{5,8	{6,8	{7,8	{8,8	{∞,8
(3.3) 4	(4.4) 4	(5.5) 4	(6.6) 4	(7.7) 4	(8.8) 4	(∞.∞) 4


Un poliedro regular o mosaico puede considerarse casi regular si tiene un número par de caras en cada vértice (y, por lo tanto, puede teñirse de dos colores para que las caras vecinas tengan colores diferentes).

El octaedro puede considerarse cuasiregular como un tetratetraedro , (3 a .3 b ) 2 , con caras triangulares coloreadas alternativamente. De manera similar, el mosaico cuadrado (4 a .4 b ) 2 puede considerarse casi regular cuando se colorea al estilo de un tablero de ajedrez . Además, las caras de un mosaico triangular se pueden pintar en dos colores alternativos, (3 a .3 b ) 3 .

La construcción de Wythoff

Los politopos regulares ( p \| 2 q ) y cuasi-regulares ( 2 \| pq ) se obtienen mediante la construcción de Wythoff con un punto generador en una de las 3 esquinas del dominio fundamental. Esto define un solo borde dentro de la región fundamental.

Coxeter define un politopo cuasi-regular como un politopo que tiene un símbolo de Wythoff de la forma p | qr , y será correcto si q=2 o q=r [3] .

Los diagramas de Coxeter-Dynkin son otra forma de representación simbólica que le permite mostrar la relación entre dos formas duales regulares:

Símbolo Schläfli		Símbolo de Wythoff
$\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$	{pq}	q \| 2p
$\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}$	{q, p}	pag \| 2 q
$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$	r{p,q}	2 \| pq

Poliedros cuasi-regulares convexos

Hay dos poliedros cuasi-regulares convexos:

Cuboctaedro , configuración de vértice (3.4) 2 , diagrama de Coxeter-Dynkin $\begin{Bmatriz} 3 \\ 4 \end{Bmatriz}$
Icosidodecaedro , configuración de vértices (3.5) 2 , diagrama de Coxeter-Dynkin $\begin{Bmatriz} 3 \\ 5 \end{Bmatriz}$

Además, el octaedro , que también es regular , , con configuración de vértices (3.3) 2 , también puede considerarse cuasi-regular si las caras adyacentes reciben colores diferentes. En esta forma, a veces se le llama tetratetraedro. Los politopos regulares convexos restantes tienen un número impar de caras en cada vértice y no se pueden colorear de manera que aseguren que los bordes sean transitivos. El tetratetraedro tiene un diagrama de Coxeter-Dynkin $\begin{Bmatriz} 3 \\ 3 \end{Bmatriz}$ .

Cada uno de ellos forma el núcleo común del par dual de poliedros regulares . Los nombres de (dos de) estos núcleos recuerdan a pares duales relacionados, respectivamente cubo + octaedro e icosaedro + dodecaedro . El octaedro es el núcleo del par dual de tetraedros , y cuando se prepara de esta manera, generalmente se le llama tetratetraedro .

Derecha	Doble correcto	cuasi-correcto	figura de vértice
tetraedro {3,3} 3 \| 2 3	tetraedro {3,3} 3 \| 2 3	Tetratetraedro r{3,3} 2 \| 3 3	3.3.3.3
Cubo {4,3} 3 \| 24	Octaedro {3,4} 4 \| 2 3	Cuboctaedro r{3,4} 2 \| 3 4	3.4.3.4
dodecaedro {5,3} 3 \| 25	Icosaedro {3,5} 5 \| 2 3	Icosidodecaedro r{3,4} 2 \| 3 5	3.5.3.5

Cada uno de estos poliedros cuasi-regulares se puede construir truncando cualquiera de los padres por completo, truncando los bordes por completo hasta que se conviertan en puntos.

Teselaciones cuasi-regulares

Esta secuencia continúa con el mosaico trihexagonal con el vértice figura 3.6.3.6 , un mosaico casi regular basado en el mosaico triangular y el mosaico hexagonal .

polígono regular	Doble correcto	cuasi-correcto	figura de vértice
mosaico hexagonal {6,3} 6 \| 2 3	mosaico triangular {3,6} 3 \| 26	mosaico trihexagonal r{5,3} 2 \| 3 6	3.6.3.6

El patrón de tablero de ajedrez es una coloración casi regular del mosaico cuadrado con la pieza de vértice 4.4.4.4 :

polígono regular	Doble correcto	cuasi-correcto	figura de vértice
{4,4} 4 \| 24	{4,4} 4 \| 24	r{4,4} 2 \| 4 4	4.4.4.4

Un teselado triangular también puede considerarse casi regular, con tres conjuntos de triángulos alternos en cada vértice, (3.3) 3 :

h{6,3} 3 \| 3 3 =

En el plano hiperbólico (plano de Lobachevsky ), esta secuencia continúa más, por ejemplo, el mosaico trisemigonal con el vértice figura 3.7.3.7 es un mosaico casi regular basado en el mosaico triangular de séptimo orden y el mosaico heptagonal .

polígono regular	Doble correcto	cuasi-correcto	figura de vértice
Mosaico heptagonal {7,3} 7 \| 2 3	Parquet triangular {3,7} 3 \| 27	Mosaico trisemigonal [ r{3,7} 2 \| 3 7	3.7.3.7

Ejemplos no convexos

Coxeter y otros (1954) también clasificaron algunos poliedros estrellados con características casi regulares:

Los dos poliedros se basan en pares duales de sólidos regulares de Kepler-Poinsot .

Gran icosidodecaedro y dodecodecaedro : $\begin{Bmatriz} 3 \\ 5/2 \end{Bmatriz}$ $\begin{Bmatriz} 5 \\ 5/2 \end{Bmatriz}$

Derecha	Doble correcto	cuasi-correcto	figura de vértice
Gran dodecaedro estrellado { 5 / 2,3 } 3 \| 2 5/2	Gran icosaedro {3, 5 / 2 } 5/2 \| 2 3	Gran icosidodecaedro r{3, 5 / 2 } 2 \| 3 5/2	3.5 / 2.3 ._ _ 5/2 _ _
Pequeño dodecaedro estrellado { 5 / 2,5 } 5 \| 2 5/2	Gran dodecaedro {5, 5 / 2 } 5/2 \| 25	Dodecodecaedro r{5, 5 / 2 } 2 \| 5 5/2	5.5 / 2.5 ._ _ 5/2 _ _

Finalmente, hay tres tipos bitrigonales cuyas figuras de vértice contienen tres tipos de rostros alternos:

Imagen	Nombre del poliedro Símbolo de Wythoff Diagrama de Coxeter	figura de vértice
	Dodecodificadodecaedro bittriangular [ 3 \| 5/3 5 o	(5.5/3) 3
	Pequeño icosidodecaedro bittriangular [ 3 \| 5/2 3 o	(3.5/2) 3
	Gran icosidodecaedro bittriangular [ 3/2 \| 35 o	((3.5) 3 )/2

Duales cuasiregulares

Algunos autores expresan la opinión de que dado que los poliedros duales a poliedros cuasi-regulares tienen las mismas simetrías, estos cuerpos duales también deberían considerarse cuasi-regulares, pero no todos los matemáticos son de esta opinión. Estos poliedros duales son transitivos con respecto a sus aristas y caras (pero no a sus vértices). Son sólidos catalanes de borde transitivo . Formas convexas, según el orden del poliedro (como arriba):

Dodecaedro rómbico con dos tipos de vértices alternos, 8 vértices con 3 caras rómbicas y 6 vértices con 4 caras rómbicas.
Un rombotriacontaedro con dos tipos de vértices alternos, 20 vértices con tres caras rómbicas y 12 vértices con cinco caras rómbicas.

Además, al ser dual al octaedro, el cubo , que es regular , puede hacerse cuasi-regular coloreando sus vértices con dos colores, de modo que los vértices de la misma arista tengan colores diferentes.

La configuración de sus caras tiene la forma V3.n.3.n, y el diagrama de Coxeter-Dynkin


Cubo V(3.3) 2	Rombicodecaedro V(3.4) 2	Rombotri -acontaedro V(3.5) 2	Mosaico rómbico V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2

Estos tres poliedros duales cuasi-regulares se caracterizan por la presencia de caras rómbicas .

Esta estructura de cara rómbica continúa V(3.6) 2 , un mosaico rómbico .

Politopos cuasi-regulares en espacio de 4 dimensiones y panales cuasi-regulares

En el espacio euclidiano de 4 dimensiones, una celda hexagonal regular puede considerarse casi regular como un tesseract alterno , h{4,3,3}, diagramas de Coxeter-Dynkin :=, que consta de celdas tetraédricas y tetraédricas alternas . Su figura de vértice es un tetratetraedro cuasiregular (un octaedro con simetría tetraédrica),.

Los únicos panales casi regulares en el espacio tridimensional euclidiano son los panales cúbicos alternos , h{4,3,4}, diagrama de Coxeter-Dynkin:=, que consta de celdas tetraédricas y octaédricas alternas . Sus figuras de vértice son cuboctaedros casi regulares , [4] .

En un espacio tridimensional hiperbólico, los panales cuasi-regulares son los panales cúbicos alternos de quinto orden , h{4,3,5}, diagramas de Coxeter-Dynkin:=, compuesto por células tetraédricas e icosaédricas alternas . La figura del vértice es un icosidodecaedro casi regular ,. Los panales cúbicos alternos de sexto orden paracompactos asociados , h{ 4,3,6 } tienen celdas de mosaico tetraédricas y hexagonales alternas con una figura de vértice que es un mosaico trihexagonal ..

Politopos cuasi-regulares y panales: h{4,p,q}

Espacio	final	afín	compacto	paracompacto
Nombre	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
Nombre	$\izquierda\{3,{3\sobre 3}\derecha\}$	$\izquierda\{3,{3\sobre4}\derecha\}$	$\izquierda\{3,{3\sobre5}\derecha\}$	$\izquierda\{3,{3\sobre6}\derecha\}$	$\izquierda\{4,{3\sobre4}\derecha\}$	$\izquierda\{4,{4\sobre4}\derecha\}$
Gráfico de Coxeter


Imagen
Figura de vértice r{p,3}

Puede reducir la simetría de panales poliédricos regulares de la forma {p,3,4} ocómoy obtener una forma casi correcta, creando una coloración alternativa de las celdas {p,3}. Esto se puede hacer para panales cúbicos euclidianos {4,3,4} con celdas cúbicas , para panales hiperbólicos compactos {5,3,4} con celdas dodecaédricas y para panales paracompactos {6,3,4} con celdas hexagonales finitas. . Tienen cuatro celdas alrededor de cada borde, pintadas alternativamente en 2 colores. Sus figuras de vértice son tetraedros cuasiregulares,=.

Células regulares y cuasi-regulares: {p,3,4} y {p,3 1,1 }

Espacio	euclidiana de 4 dimensiones	tridimensional euclidiana	Hiperbólico tridimensional
Nombre	{3,3,4} {3,3 1,1 } = $\izquierda\{3,{3\sobre 3}\derecha\}$	{4,3,4} {4,3 1,1 } = $\izquierda\{4,{3\sobre 3}\derecha\}$	{5,3,4} {5,3 1,1 } = $\izquierda\{5,{3\sobre 3}\derecha\}$	{6,3,4} {6,3 1,1 } = $\izquierda\{6,{3\sobre 3}\derecha\}$
Gráfico de Coxeter	=	=	=	=
Imagen
Células {p,3}

De la misma manera, se puede reducir a la mitad la simetría de panales hiperbólicos regulares de la forma {p,3,6} ocómoy obtener una forma casi correcta, configurando el color alternativo de las celdas {p,3}. Tienen seis celdas alrededor de cada borde, pintadas alternativamente en 2 colores. Sus figuras de vértice son teselaciones triangulares casi regulares ,.

Panales uniformes hiperbólicos : {p,3,6} y {p,3 [3] }

Vista	paracompacto				no compacto
Nombre	{3,3,6} {3,3 [3] }	{4,3,6} {4,3 [3] }	{5,3,6} {5,3 [3] }	{6,3,6} {6,3 [3] }	{7,3,6} {7,3 [3] }	{8,3,6} {8,3 [3] }	... {∞,3,6} {∞,3 [3] }

Imagen
células	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Véase también

Notas

↑ Área fundamental en forma de triángulo rectángulo
↑ Área fundamental en forma de triángulo general
↑ Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, 1954 , pág. 401–450.
↑ Coxeter, 1973 , pág. 69, 88.

Literatura

P. Cromwell. poliedros. - Reino Unido: Cambridge University Press, 1997. - ISBN 0-521-55432-2 .
HSM Coxeter . Politopos regulares . — 3ra edición. - Nueva York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 . (p.17 Capítulo 2.3: Poliedros cuasi-regulares, p. 69 Panales cuasi-regulares p. 69
HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller. Poliedros uniformes // Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas. - The Royal Society, 1954. - T. 246 , no. 916 . — S. 401–450 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098/ rsta.1954.0003 . — . (Sección 7, Los poliedros regulares y cuasi-regulares p | qr )

Enlaces

Weisstein, Eric W. Quasiregular polyhedron (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Poliedro uniforme (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld . Poliedros cuasi-regulares: (pq) r
George Hart, poliedros cuasiregulares Archivado el 2 de septiembre de 2013.

Derecha	Doble correcto	cuasi-correcto	figura de vértice
tetraedro {3,3} 3 \| 2 3	tetraedro {3,3} 3 \| 2 3	Tetratetraedro r{3,3} 2 \| 3 3	3.3.3.3
Cubo {4,3} 3 \| 24	Octaedro {3,4} 4 \| 2 3	Cuboctaedro r{3,4} 2 \| 3 4	3.4.3.4
dodecaedro {5,3} 3 \| 25	Icosaedro {3,5} 5 \| 2 3	Icosidodecaedro r{3,4} 2 \| 3 5	3.5.3.5