Diagramas de Coxeter-Dynkin

Un diagrama de Coxeter-Dynkin (o diagrama de Coxeter, gráfico de Coxeter, diagrama de Coxeter [1] ) es un gráfico con bordes etiquetados con números (llamados ramas ) que representan relaciones espaciales entre un conjunto de simetrías de espejo (o hiperplanos de reflexión de espejo ). El diagrama describe una construcción caleidoscópica : cada "vértice" del gráfico representa un espejo (una cara de la región fundamental), y las etiquetas de las ramas establecen el valor del ángulo diedro entre los dos espejos (en la cresta de la región fundamental, es decir, en la cara con dimensión ). Las ramas sin etiqueta implican implícitamente el orden 3. $n-2$

Cada diagrama representa un grupo de Coxeter y los grupos de Coxeter se clasifican por sus diagramas asociados.

Los diagramas de Dynkin están estrechamente relacionados con los diagramas de Coxeter y se diferencian de ellos en dos aspectos: en primer lugar, las ramas etiquetadas como "4" y superiores están orientadas , mientras que en los diagramas de Coxeter no están dirigidas y, en segundo lugar, los diagramas de Dynkin deben satisfacer el adicional ( cristalográfico ) restricción, es decir, solo se permiten como etiquetas 2, 3, 4 y 6. Los diagramas de Dynkin corresponden al sistema raíz y se utilizan para su clasificación, y por lo tanto corresponden a grupos de Lie semisimples [2] .

Descripción

Las ramas del diagrama de Coxeter-Dynkin están rotuladas con números racionales p correspondientes a ángulos diédricos de 180°/ p . Si p = 2, el ángulo es de 90° y los espejos no se afectan entre sí, por lo que la rama puede excluirse del diagrama. Si la rama no está etiquetada, se supone que p = 3, lo que corresponde a un ángulo de 60°. Dos espejos paralelos tienen una rama etiquetada como "∞". En principio, n reflejos se pueden representar mediante un gráfico completo , en el que se dibujan todas las n ( n − 1)/2 ramas. En la práctica, casi todas las combinaciones interesantes de reflejos contienen algún número de ángulos rectos, de modo que se pueden excluir las ramas correspondientes.

Los gráficos se pueden etiquetar según su estructura gráfica. Las primeras formas estudiadas por Ludwig Schläfli eran simples definidas por un conjunto de aristas mutuamente perpendiculares. Schläfli llamó a estos simples ortosquemas . Los ortoesquemas surgen en varios contextos, y especialmente cuando se consideran politopos regulares y panales regulares . Los plagioesquemas son simples representados por gráficos de ramificación, y los ciclosquemas son simples representados por gráficos cíclicos.

Matriz Gram (Schläfli)

Cualquier diagrama de Coxeter tiene una matriz de Schläfli correspondiente con entradas

a_{i,j}=a_{j,i}=-2\cos \left({\frac {\pi }{p))\right),

donde es el orden de ramificación entre pares de reflexiones. Al igual que la matriz de coseno , también se la llama matriz de Gram en honor a Jörgen Gram . Todas las matrices de Gram del grupo de Coxeter son simétricas porque sus vectores raíz están normalizados. Están estrechamente relacionadas con las matrices de Cartan , que se utilizan en un contexto similar pero para gráficos dirigidos de diagramas de Dynkin para casos y que, en general, no son simétricas. $pags$ ${\ estilo de visualización p = 2,3,4,6}$

El determinante de una matriz de Schläfli se llama Schläflian (también conocido como Gramian ) y su signo determina si un grupo es finito (determinante positivo), afín (cero) o indefinido (negativo). Esta regla se denomina criterio de Schläfli [3] .

Los valores propios de la matriz de Gram determinan si el grupo de Coxeter es de tipo finito (todos los valores son positivos), tipo afín (todos no negativos, al menos un valor es cero) o tipo indefinido (todos los demás casos) . El tipo indefinido a veces se divide en subtipos, como hiperbólicos y otros grupos de Coxeter. Sin embargo, hay muchas definiciones no equivalentes de grupos de Coxeter hiperbólicos. Usamos la siguiente definición: un grupo de Coxeter con un diagrama correspondiente es hiperbólico si no es de tipo finito ni afín, pero cualquier subdiagrama conectado es de tipo finito o afín. Un grupo hiperbólico de Coxeter es compacto si todos sus subgrupos son finitos (es decir, tienen determinantes positivos) y paracompacto si todos sus subgrupos son finitos o afines (es decir, tienen determinantes no negativos) [4] .

Los grupos finitos y afines también se denominan elípticos y parabólicos , respectivamente. Los grupos hiperbólicos también se denominan grupos Lanner ( sueco. Folke Lannér ), que enumeró grupos hiperbólicos compactos en 1950 [5] , y grupos paracompactos grupos Koszul ( francés Jean-Louis Koszul [kɔ'syl]), o grupos cuasi-Lanner. También hay otros nombres. Así, en el artículo de Maxwell [6] , los grupos finitos se denominan positivos y los grupos afines se denominan euclidianos.

Grupos Coxeter de rango 2

Para el rango 2, el tipo de un grupo de Coxeter está completamente determinado por el determinante de la matriz de Gram, ya que es simplemente igual al producto de sus valores propios: tipo finito (determinante positivo), tipo afín (determinante cero) o tipo hiperbólico (determinante negativo). determinante). Coxeter usa la notación de paréntesis equivalente que enumera secuencias de órdenes de rama en lugar de diagramas gráficos de nodo-rama.

Tipo de	último					afín	hiperbólico
Geometría					…
coxeter	[ ]	[2]	[3]	[cuatro]	[pags]	[∞]	[∞]	[ip/λ]
ordenar	2	cuatro	6	ocho	2p _	∞
Las reflexiones directas se colorean según los nodos del diagrama de Coxeter. Las áreas fundamentales están pintadas en colores alternos.

Diagramas del grupo Coxeter de rango 2

Orden p	Grupo	Gráfico de Coxeter		Matriz de gramo
Orden p	Grupo	Gráfico de Coxeter		$\left[{\begin{matriz}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matriz}}\right]$	Determinante (4-a 21 *a 12 )
Final (Clasificatorio>0)
2	Yo 2 (2) = A 1 xA 1		[2]	$\left[{\begin{pequeña matriz}2&0\\0&2\end{pequeña matriz}}\right]$	cuatro
3	yo 2 (3) = un 2		[3]	$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-1\\-1&2\end{pequeña matriz}}\right]$	3
cuatro	yo 2 (4) = segundo 2		[cuatro]	$\left[{\begin{matriz pequeña}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{matriz pequeña}}\right]$	2
5	Yo 2 (5) = H 2		[5]	$\left [\begin{pequeña matriz}2&-\phi\\-\phi&2\end{pequeña matriz}\right ]$	$4\sen^2(\pi/5)$ = $(5-\raíz cuadrada{5})/2$ ~1.38196601125
6	yo 2 (6) = sol 2		[6]	$\left[{\begin{matriz pequeña}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{matriz pequeña}}\right]$	una
ocho	yo 2 (8)		[ocho]	$\left [\begin{matriz pequeña}2&-2\cos(\pi/8)\\-2\cos(\pi/8)&2\end{matriz pequeña}\right ]$	$2-\sqrt{2}$ ~0.58578643763
diez	yo 2 (10)		[diez]	$\left [\begin{matriz pequeña}2&-2\cos(\pi/10)\\-2\cos(\pi/10)&2\end{matriz pequeña}\right ]$	$4\sen^2(\pi/10)$ = $(3-\raíz cuadrada{5})/2$ ~0.38196601125
12	yo 2 (12)		[12]	$\left [\begin{matriz pequeña}2&-2\cos(\pi/12)\\-2\cos(\pi/12)&2\end{matriz pequeña}\right ]$	$2-\raíz cuadrada{3}$ ~0.26794919243
pags	yo 2 (pag)		[pags]	$\left [\begin{matriz pequeña}2&-2\cos(\pi/p)\\-2\cos(\pi/p)&2\end{matriz pequeña}\right ]$	$4\sin^2(\pi/p)$
Afín (Determinante=0)
∞	yo 2 (∞) = = ${\tilde{yo}}_1$ ${\tilde{A}}_1$		[∞]	$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-2\\-2&2\end{pequeña matriz}}\right]$	0
Hiperbólico (Determinante≤0)
∞			[∞]	$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-2\\-2&2\end{pequeña matriz}}\right]$	0
∞			[ip/λ]	$\left [\begin{matriz pequeña}2&-2cosh(2\lambda)\\-2cosh(2\lambda)&2\end{matriz pequeña}\right ]$	$-4\sinh^2(2\lambda) \le 0$

Representación geométrica

El diagrama de Coxeter-Dynkin puede verse como una descripción gráfica de la región fundamental de las reflexiones. Un espejo (un conjunto de puntos de reflexión fijos) es un hiperplano en un espacio esférico, euclidiano o hiperbólico dado. (En el espacio bidimensional, una línea recta sirve como espejo, y en el espacio tridimensional, como plano).

A continuación se muestran los dominios fundamentales de los grupos euclidianos bidimensionales y tridimensionales, así como los grupos esféricos bidimensionales. Para cada grupo, se puede derivar un diagrama de Coxeter definiendo hiperplanos y etiquetando sus conexiones, ignorando los ángulos diédricos de 90 grados (orden 2).

grupo coxeter	${\ tilde {C}}_{2}$	${\tilde{yo}}_1$ X ${\tilde{yo}}_1$	${\ tilde {G}}_{2}$	${\ tilde {A}}_{2}$
grupo coxeter	[4,4]	[∞4,∞]	[6,3]	[(3,3,3)] = [3 [3] ]
área fundamental
Diagrama de Coxeter-Dynkin

Grupos de Coxeter en el plano euclidiano con los diagramas correspondientes. Los espejos están etiquetados como nodos de gráfico R 1, R 2, etc. y coloreados según el orden de reflexión. Los reflejos de 90 grados no cambian nada y, por lo tanto, se eliminan del diagrama. Las reflexiones paralelas están marcadas con ∞. El grupo prismático x se muestra duplicado , pero también se puede crear como áreas rectangulares derivadas de triángulos duplicados . es una duplicación del triángulo . ${\tilde{yo}}_1$ ${\tilde{yo}}_1$ ${\tilde{C}}_2$ ${\tilde{G}}_2$ ${\tilde{A}}_2$ ${\tilde{G}}_2$

Algunos caleidoscopios hiperbólicos

grupo coxeter	[n,4]	[∞n,∞]	[n,3]	[(n,3,3)]
área fundamental
Gráfico dual (esquema completo de Coxeter)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
	n=5.6...	n=3.4...	n=7.8...	n=4,5

Muchos grupos de Coxeter en el plano hiperbólico se pueden extender desde el caso euclidiano como una serie de soluciones hiperbólicas.

Grupos de Coxeter en el espacio tridimensional con los diagramas correspondientes. Los espejos (caras triangulares) están marcados con vértices opuestos 0..3. Las ramas están coloreadas según el orden de los reflejos. llena 1/48 del cubo. llena 1/24 del cubo. llena 1/12 del cubo. ${\tilde{C}}_3$ ${\tilde{B}}_3$ ${\tilde {A}}_{3}$	Grupos de Coxeter en la esfera con los diagramas correspondientes. Una región fundamental está resaltada en amarillo. Los vértices de la región (y las ramas del gráfico) se colorean según el orden de reflexión.

Grupos finitos de Coxeter

Consulte también familias de poliedros para obtener una tabla de poliedros uniformes asociados con estos grupos.

Para cada grupo, se dan tres designaciones diferentes: una designación alfanumérica, un conjunto de números entre paréntesis y un diagrama de Coxeter.
Los grupos ramificados D n son la mitad o versiones alternas de los grupos ordinarios C n .
Para los grupos ramificados D n y E n se da la notación con superíndices [3 a , b , c ], donde los números a , b y c especifican el número de segmentos en cada una de las tres ramas.

Gráficos de Dynkin asociados con rangos 1 a 9

Rango	Grupos de mentiras simples			Grupos de mentiras excepcionales
Rango	${A}_{1+}$	${BC}_{2+}$	${D}_{2+}$		${F}_{3-4}$	${G}_{2}$	${H}_{2-4}$	${yo}_{2}(pag)$
una	un 1 =[]
2	A 2 = [3]	B2 = [4]	D 2 \u003d A 1 xA 1			G2 = [6]	H2 = [5]	yo 2 [p]
3	A 3 = [3 2 ]	B3 =[3,4 ]	D3 = A3 _	mi 3 \u003d un 2 un 1	F 3 \u003d B 3		H3 _
cuatro	A 4 = [3 3 ]	segundo 4 \u003d [3 2 ,4]	D4 =[ 3 1,1,1 ]	mi 4 = un 4	F4 _		H4 _
5	A 5 = [3 4 ]	B 5 \u003d [3 3 ,4]	D5 =[ 3 2,1,1 ]	Mi 5 =D 5
6	A 6 = [3 5 ]	B 6 \u003d [3 4 ,4]	D 6 \u003d [3 3,1,1 ]	Mi 6 \u003d [3 2,2,1 ]
7	A 7 = [3 6 ]	B 7 \u003d [3 5 ,4]	D 7 \u003d [3 4,1,1 ]	Mi 7 \u003d [3 3,2,1 ]
ocho	A 8 = [3 7 ]	B 8 \u003d [3 6 ,4]	D 8 \u003d [3 5,1,1 ]	E 8 =[3 4,2,1 ]
9	A 9 = [3 8 ]	B 9 \u003d [3 7 ,4]	D9 =[ 3 6,1,1 ]
10+	..	..	..	..

Solicitud de politopos homogéneos

Los diagramas de Coxeter-Dynkin pueden enumerar explícitamente casi todas las clases de politopos uniformes y mosaicos uniformes . Cada poliedro uniforme con simetría de espejo simple (todos los cuales, con la excepción de algunos casos especiales, tienen simetría de espejo simple) se pueden representar mediante diagramas de Coxeter-Dynkin permutados con etiquetas . Cada poliedro uniforme se puede obtener utilizando dichos espejos y un punto de generación: los reflejos crean nuevos puntos como resultado de la simetría, luego puede definir los bordes del poliedro entre los puntos y sus reflejos de espejo. Las caras se pueden construir generando un ciclo a partir de los bordes, etc. Para especificar un vértice generador, uno o más nodos se encierran en un círculo, lo que significa que el vértice no está en los espejos representados por los nodos en círculos. (Si se marcan dos o más espejos, el vértice se ubica a una distancia equidistante de ellos). El espejo está activo (crea reflejos) solo para los puntos que no se encuentran sobre él. El diagrama debe tener al menos un nodo activo para representar el poliedro.

Todos los poliedros multidimensionales regulares representados por el símbolo de Schläfli ( p , q , r , …) pueden tener dominios fundamentales representados por un conjunto de n espejos con el correspondiente diagrama de Coxeter-Dynkin como una secuencia de nodos y ramas etiquetados como p , q , r , … con el primer nudo circular.

Los poliedros uniformes con un círculo corresponden a puntos generadores en las esquinas del símplex del dominio fundamental. Los dos círculos corresponden a los bordes del simplex y tienen libertad de elección, pero solo el medio conduce a una solución homogénea con las mismas longitudes de borde. En general, los generadores con k círculos son (k-1) caras dimensionales del símplex. Si todos los nodos están marcados con círculos, el punto generador está dentro del símplex.

Otro elemento de marcado expresa un caso especial de simetría sin espejo de poliedros uniformes. Estos casos existen como alternancias de la simetría especular de los poliedros. Este elemento de marcado carece del punto central del nodo marcado con un círculo, que luego se denomina agujero , y significa que dicho nodo es un vértice alternativo remoto. El poliedro resultante tendrá subsimetrías del grupo de Coxeter original . Una alternancia truncada se llama poda .

Un solo nodo representa un solo espejo. El grupo correspondiente se denota A1 . El círculo alrededor del nodo da como resultado un segmento perpendicular al espejo, y esto se denota como {}.
Los dos nodos desconectados representan dos espejos perpendiculares . Si ambos nodos están encerrados en un círculo, se puede crear un rectángulo o un cuadrado si los puntos están a la misma distancia de ambos espejos.
Dos nodos conectados por una rama de orden n pueden crear un n - gon si el punto está en uno de los espejos y un 2n -gon si el punto no está en ninguno de los espejos. Estos dos nodos forman un grupo I 1 (n).
Dos espejos paralelos pueden representar el grupo de polígonos infinitos I 1 (∞), también denotado por ¥ 1 .
Tres espejos en forma de triángulo forman las imágenes que se observan en un caleidoscopio tradicional y esta configuración se puede representar mediante tres nodos conectados en un triángulo. Los ejemplos periódicos tendrán ramas etiquetadas como (3 3 3), (2 4 4) y (2 3 6), aunque las dos últimas se pueden dibujar como líneas rectas (eliminando las 2 ramas ). Generan mosaicos uniformes .
Tres espejos pueden crear un poliedro uniforme que incluya triángulos de Schwarz derivados de números racionales.
Tres espejos, donde un espejo es perpendicular a los otros dos, pueden crear prismas uniformes .

Hay 7 construcciones homogéneas especulares para un triángulo común, basadas en 7 posiciones topológicas del generador dentro de la región fundamental. Cualquier espejo activo individual tiene un generador en la esquina y forma un borde, para dos espejos el generador está en un lado del triángulo y tres espejos activos tienen un generador dentro del triángulo. Se pueden reducir uno o dos grados de libertad a una posición para lograr longitudes de borde iguales en el poliedro o mosaico resultante.	Un ejemplo de siete generadores con simetría octaédrica con un triángulo fundamental (4 3 2) y la poda del octavo generador

Los poliedros duales uniformes a veces se marcan con barras verticales en lugar de nodos en círculos, y un nodo vacío tachado (sin punto interior) indica un corte. Por ejemplo,representa un rectángulo (como dos espejos ortogonales activos), yrepresenta su polígono dual ( diamante ).

Ejemplos de poliedros y mosaicos

Como ejemplo , el grupo Coxeter B 3 tiene el esquema. También se le llama simetría octaédrica .

Hay 7 poliedros uniformes convexos que se pueden construir usando este grupo de simetría y 3 de sus subsimetrías de alternancia , cada una con un solo esquema de Coxeter-Dynkin. El símbolo de Wythoff representa un caso especial del esquema de Coxeter para gráficos de rango 3 con las tres ramas sin eliminar las ramas de orden 2. El símbolo de Wythoff puede trabajar con cortes , pero no con alternancias comunes cuando no todos los nodos están en un círculo

Poliedros octaédricos uniformes

Simetría : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	{4,3}	r{4,3}	{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	{4,3}	Sr{4,3}	{3,4}
Poliedros duales

V4 3	v3.82 _	V(3.4) 2	v4.62 _	V3 4	v3.43 _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

Las mismas construcciones se pueden hacer con grupos de Coxeter desconectados (ortogonales), como el grupo de prismas homogéneos , y se pueden ver más claramente como mosaicos de diedros y osoedros en la esfera, como las familias [6]×[] o [6, 2]:

Poliedros esféricos diedros hexagonales uniformes

Simetría : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	{6,2	Sr{6,2}	{2,6}
Sus poliedros duales

V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	v26 _	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

En comparación con [6,3], la familiagenera dos familias paralelas de 7 mosaicos uniformes del plano euclidiano y sus mosaicos duales. De nuevo hay 3 alternancias y varias versiones semisimétricas.

Embaldosados homogéneos hexagonales/triangulares

Simetría : [6,3], (*632)							[6,3] + (632)	[6.3 + ] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	{3,6}	{3,6}	{6,3}	{6,3}	Sr{6,3}	{3,6}


6 3	3.12 2	(3.6) 2	6.6.6	3 6	3.4.12.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Sus mosaicos homogéneos duales

V6 3	V3.122 [ es	V(3.6 2	V6 3	V3 6	V3.4.12.4	V.4.6.12	V3 4.6 [ es	V3 6

En el plano hiperbólico [7,3], la familiagenera dos conjuntos paralelos de mosaicos homogéneos del plano euclidiano y sus mosaicos duales. Solo hay una alternancia ( truncamiento ), ya que todas las ramas son impares. Muchas otras familias hiperbólicas de mosaicos uniformes se pueden ver entre los mosaicos uniformes en el plano hiperbólico .

Mosaicos uniformes heptagonales/triangulares
Simetría: [7,3], (*732)							[7,3] + , (732)


{7,3}	t{7,3}	r{7,3	2t{7,3} =t{3,7}	2r{7,3} ={3,7}	{7,3	{7,3	Sr{7,3
Embaldosados duales homogéneos


V7 3	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3 7	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Grupos afines de Coxeter

Las familias de teselaciones euclidianas homogéneas convexas se definen mediante el grupo afín de Coxeter . Estos grupos son idénticos a los grupos hoja con la adición de un nodo. En notación alfabética, se les da la misma letra con una tilde ("~") sobre la letra. El índice se refiere a un grupo finito, por lo que el rango es índice + 1. ( También se marcan los símbolos de Witt para grupos afines )

${\tilde{A}}_{n-1}$ : los gráficos de este tipo son ciclos. (También P n )
${\tilde{C}}_{n-1}$ se asocia con la familia de teselaciones regulares hipercúbicas (3, …., 4). (También Rn )
${\tilde{B}}_{n-1}$ asociado con C eliminando a un menor. (También S n )
${\tilde{D}}_{n-1}$ se relaciona con C quitando dos menores. (También Qn )
${\ tilde {E}}_{6}$ , , . (También T 7 , T 8 , T 9 ) ${\tilde{E}}_7$ ${\tilde{E}}_8$
${\tilde{F}}_4$ forma {3,4,3,3} un mosaico regular. (También U5 )
${\tilde{G}}_2$ forma 30-60-90 áreas fundamentales triangulares. (También V 3 )
${\tilde{yo}}_1$ consta de dos espejos paralelos. (= = ) (También W 2 ) ${\tilde{A}}_1$ ${\tilde{C}}_1$

Los grupos compuestos se pueden definir como sistemas ortogonales. Más comúnmente utilizado . Por ejemplo, ${\tilde{A}}_1$ ${\tilde{A}}_1^2$ representa regiones cuadradas o rectangulares en el plano euclidiano, y ${\tilde{A}}_1 {\tilde{G}}_2$ representa el dominio fundamental como un prisma triangular en el espacio 3D euclidiano.

Grupos Affine Coxeter (de 2 a 10 nudos)

Rango	${\tilde {A}}_{1+}$ (P2 + )	${\tilde {B}}_{3+}$ (S4 + )	${\tilde{C}}_{1+}$ (R2 + )	${\tilde {D}}_{4+}$ (Q5 + )	${\tilde{E}}_n$ (T n+1 ) / (U 5 ) / (V 3 ) ${\tilde{F}}_4$ ${\tilde{G}}_2$
2	${\tilde{A}}_1$ =[∞]		${\tilde{C}}_1$ =[∞]
3	${\ tilde {A}}_{2}$ =[3 [3] ] *		${\ tilde {C}}_{2}$ =[4,4] *		${\ tilde {G}}_{2}$ =[6,3] *
cuatro	${\tilde {A}}_{3}$ =[3 [4] ] *	${\tilde {B}}_{3}$ =[4,3 1,1 ] *	${\ tilde {C}}_{3}$ =[4,3,4] *	${\tilde{D}}_{3}$ =[3 1,1 ,3 −1 ,3 1,1 ] = ${\tilde {A}}_{3}$
5	${\ tilde {A}}_{4}$ =[3 [5] ] *	${\ tilde {B}}_{4}$ =[4,3,3 1,1 ] *	${\ tilde {C}}_{4}$ =[4,3 2 ,4] *	${\ tilde {D}}_{4}$ =[3 1,1,1,1 ] *	${\ tilde {F}}_{4}$ =[3,4,3,3] *
6	${\tilde {A}}_{5}$ =[3 [6] ] *	${\ tilde {B}}_{5}$ =[4.3 2 .3 1.1 ] *	${\ tilde {C}}_{5}$ =[4,3 3 ,4] *	${\tilde {D}}_{5}$ =[3 1,1 ,3,3 1,1 ] *
7	${\tilde {A}}_{6}$ =[3 [7] ] *	${\tilde {B}}_{6}$ =[4.3 3 .3 1.1 ]	${\ tilde {C}}_{6}$ =[4,3 4 ,4]	${\tilde {D}}_{6}$ =[3 1,1 ,3 2 ,3 1,1 ]	${\ tilde {E}}_{6}$ =[3 2,2,2 ]
ocho	${\tilde {A}}_{7}$ =[3 [8] ] *	${\ tilde {B}}_{7}$ =[4.3 4 .3 1.1 ] *	${\ tilde {C}}_{7}$ =[4,3 5 ,4]	${\ tilde {D}}_{7}$ =[3 1,1 ,3 3 ,3 1,1 ] *	${\ tilde {E}}_{7}$ =[3 3,3,1 ] *
9	${\ tilde {A}}_{8}$ =[3 [9] ] *	${\ tilde {B}}_{8}$ =[4,3 5 ,3 1,1 ]	${\ tilde {C}}_{8}$ =[4,3 6,4 ]	${\ tilde {D}}_{8}$ =[3 1,1 ,3 4 ,3 1,1 ]	${\ tilde {E}}_{8}$ =[3 5,2,1 ] *
diez	${\tilde {A}}_{9}$ =[3 [10] ] *	${\tilde {B}}_{9}$ =[4,3 6 ,3 1,1 ]	${\ tilde {C}}_{9}$ =[4,3 7,4 ]	${\tilde {D}}_{9}$ =[3 1,1 ,3 5 ,3 1,1 ]
once	…	…	…	…

Grupos hiperbólicos de Coxeter

Hay infinitos grupos de Coxeter hiperbólicos infinitos . Los grupos hiperbólicos se dividen en compactos y no compactos, donde los grupos compactos tienen dominios fundamentales acotados. Existen grupos compactos de simples hiperbólicos (simples de Lanner ) para rangos de 3 a 5. Existen grupos paracompactos de simples (simplicios de Koszul ) hasta el rango 10. Los grupos hipercompactos ( poliedros de Vinberg ) se han estudiado pero aún no se han entendido completamente. En 2006, Allcock demostró que hay infinitos politopos de Vinberg compactos para espacios de dimensión hasta 6 e infinitos politopos de Vinberg para dimensiones de hasta 19 [7] , por lo que una enumeración completa es imposible. Todos estos dominios fundamentales de reflexiones, tanto simples como no simples, a menudo se denominan politopos de Coxeter o, a veces, con menos precisión, poliedros de Coxeter .

Grupos hiperbólicos en H 2

El modelo de Poincaré del dominio fundamental de los triángulos

Ejemplos de Triángulos Rectángulos [p, q]
[3,7]	[3,8]	[3,9]	[3,∞]
[4,5]	[4,6]	[4,7]	[4,8]	[∞,4]
[5,5]	[5,6]	[5,7]	[6,6]	[∞,∞]
Ejemplos de triángulos generales [(p, q, r)]
[(3,3,4)]	[(3,3,5)]	[(3,3,6)]	[(3,3,7)]	[(3,3,∞)]
[(3,4,4)]	[(3,6,6)]	[(3,∞,∞)]	[(6,6,6)]	[(∞,∞,∞)]

Los grupos de triángulos hiperbólicos bidimensionales existen como esquemas de Coxeter de rango 3 definidos por el triángulo (pqr):

\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1.

Hay infinitos grupos de Coxeter hiperbólicos triangulares compactos, incluidos gráficos lineales y triangulares. Existen gráficos lineales para triángulos rectángulos (con r=2). [ocho]

Grupos de Coxeter hiperbólicos compactos

Lineal

Cíclico

∞ [p, q],

:
2(p+q)<pq

…

…

…

∞ [(p, q, r)],

: p+q+r>9

			…

Los grupos de Coxeter paracompactos de rango 3 existen como límites de los compactos.

gráficos de líneas	gráficos cíclicos
[p,∞] [∞,∞]	[(p, q, ∞)] [(p,∞,∞)] [(∞,∞,∞)]

Grupo aritmético del triángulo

Un subconjunto finito de grupos de triángulos hiperbólicos son los grupos aritméticos . Kisao Takeuchi encontró una lista completa de tales grupos usando una computadora y se publicó en el artículo de 1977 Arithmetic Groups of Triangles [9] . Hay 85 de estos grupos, de los cuales 76 son compactos y 9 son paracompactos.

Triángulos rectángulos (pq 2)	Triángulos Generales (pqr)
Grupos compactos: (76) ,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,, ,,,, ,,,,,,, Triángulos rectángulos paracompactos: (4) ,,,	Triángulos Generales: (39) ,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,, ,,, ,,,,,,,, Triángulos paracompactos generales: (5) ,,,,
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30) (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18), (2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30) (2 6 6), (2 6 8), (2 6 12) (2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18) (2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18) (2 3 ∞) (2.4 ∞) (2.6 ∞) (2 ∞ ∞)	(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15) (3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12) (4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16) (5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10) (6 6 6), (6 12 12), (6 24 24) (7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15) (3.3∞) (3∞∞) (4.4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)

Polígonos hiperbólicos de Coxeter sobre triángulos Área fundamental de grupos de cuadriláteros

Áreas con vértices perfectos
o [∞,3,∞] [iπ/λ 1 ,3,iπ/λ 2 ] (*3222)	o [((3,∞,3)),∞] [((3,iπ/λ 1 ,3)), iπ/λ 2 ] (*3322)	o [(3,∞) [2] ] [(3,iπ/λ 1 ,3,iπ/λ 2 )] (*3232)	o [(4,∞) [2] ] [(4,iπ/λ 1 ,4,iπ/λ 2 )] (*4242)	(*3333)
[iπ/λ 1 ,∞,iπ/λ 2 ] (*∞222)	(*∞∞22)	[(iπ/λ 1 ,∞,iπ/λ 2 ,∞)] (*2∞2∞)	(*∞∞∞∞)	(*4444)

Se pueden construir otros caleidoscopios hiperbólicos de H 2 a partir de polígonos de orden superior. Al igual que los grupos de triángulos, estos caleidoscopios se pueden identificar mediante una secuencia cíclica de órdenes de cruce de espejos alrededor de la región fundamental, como (abcd…), o de manera equivalente (según la notación orbifold ) como * abcd …. Los diagramas de Coxeter-Dynkin para estos caleidoscopios poligonales se pueden ver como un dominio fundamental con un símplex dimensional degenerado con orden cíclico de ramas a, b, c..., y las ramas restantes están etiquetadas como infinitas (∞) y representan no intersectando espejos El único ejemplo no hiperbólico es la simetría de cuatro espejos (en el espacio euclidiano) de un cuadrado o rectángulo, $(n-1)$ $n\cdot (n-3)/2$ , [∞,2,∞] (orbifold *2222). Otra representación de las ramas de espejos disjuntos, propuesta por Vinberg , muestra las ramas infinitas con líneas punteadas o discontinuas, de modo que los diagramas se ven comocon supuestos cuatro brazos de orden 2 alrededor del perímetro.

Por ejemplo, una región cuadrangular (abcd) tendrá dos ramas de orden infinito que conectan espejos ultraparalelos. El ejemplo hiperbólico más pequeño es, [∞,3,∞] o [iπ/λ 1 ,3,iπ/λ 2 ] (orbifold *3222), donde (λ 1 ,λ 2 ) es la distancia entre espejos ultraparalelos. Una expresión alternativa es, con tres ramas de orden 2 asumidas alrededor del perímetro. De manera similar, (2 3 2 3) (orbifold *3232) se puede representar comoy (3 3 3 3), (orbifold *3333) se puede representar como un gráfico completo.

La región cuadrada más alta (∞ ∞ ∞ ∞) es un cuadrado infinito representado por un gráfico tetraédrico completo con 4 ramas perimetrales como vértices ideales y dos ramas diagonales como infinito (mostrado por líneas de puntos) para espejos ultraparalelos :.

Compacto (grupos simples de Lanner)

Los grupos hiperbólicos compactos se denominan grupos de Lanner, en honor a Folke Lanner, quien los estudió en 1950 [5] . Los grupos existen solo para gráficos de rango 4 y 5. Coxeter estudió los grupos hiperbólicos lineales (de su propio nombre) en el artículo de 1954 Regular Honeycombs in hyperbolic space [ 10] , que da dos soluciones racionales en un espacio hiperbólico de 4 dimensiones : [5/2,5,3,3] =y [5,5/2,5,3] =.

Rangos 4-5

El dominio fundamental de cualquiera de los dos grupos divididos [5,3 1,1 ] y [5,3,3 1,1 ] es la duplicación del grupo lineal correspondiente, [5,3,4] y [5,3 ,3,4] respectivamente. Johnson proporciona los nombres de las letras de los grupos como una extensión de los símbolos de Witt [11] .

Grupos de Coxeter hiperbólicos compactos

Dimensión H d	Rango	Numero total	Lineal	físil	Cíclico
H3 _	cuatro	9	3: ${\bar{BH}}_3$ = [4,3,5]: ${\bar{K}}_3$ = [5,3,5]: ${\bar{J}}_3$ = [3,5,3]:	${\bar{DH}}_3$ = [5.3 1.1 ]:	${\ widehat{AB}}_3$ = [(3 3 ,4)]: ${\ sombrero ancho {AH}}_3$ = [(3 3 ,5)]: ${\ sombrero ancho {BB}}_3$ = [(3,4) [2] ]: ${\ sombrero ancho {BH}}_3$ = [(3,4,3,5)]: ${\ sombrero ancho{HH}}_3$ = [(3,5) [2] ]:
H4 _	5	5	3: ${\bar{H}}_4$ = [3 3 ,5]: ${\bar{BH}}_4$ = [4,3,3,5]: ${\bar{K}}_4$ = [5,3,3,5]:	${\bar{DH}}_4$ = [5,3,3 1,1 ]:	${\ widehat{AF}}_4$ = [(3 4 ,4)]:

Paracompacto (grupos de Koszul simples)

Los grupos de Coxeter hiperbólicos paracompactos (también llamados no compactos) contienen subgrupos afines y tienen dominios fundamentales asintóticamente símplex. Los grupos de Coxeter hiperbólicos paracompactos más altos tienen el rango 10. Estos grupos llevan el nombre del matemático francés Jean-Louis Koszul [12] . También se denominan grupos cuasi-Lanner como extensiones de grupos compactos de Lanner. M. Chein encontró una lista completa de grupos usando una computadora y la publicó en 1969 [13] .

Según Vinberg , todos menos ocho de estos 72 grupos compactos y paracompactos son aritméticos. Dos grupos no aritméticos son compactos:y. Los seis grupos no aritméticos restantes son paracompactos, de los cuales cinco son tridimensionales (,,,y), y uno es de 5 dimensiones ().

Simples ideales

Hay 5 grupos de Coxeter hiperbólicos, que reflejan simples ideales , que tienen gráficos cuya eliminación de cualquier vértice conduce a un grupo de Coxeter afín. En este caso, todos los vértices de estos simples ideales están en el infinito [14] .

Rango	Grupo ideal	Subgrupos afines
3	[(∞,∞,∞)]	[∞]
cuatro	[4 [4] ]	[4,4]
cuatro	[3 [3,3] ]	[3 [3] ]
cuatro	[(3,6) [2] ]	[3,6]
6	[(3,3,4) [2] ]	[4,3,3,4], [3,4,3,3]	,

Rangos 4-10

Hay 58 grupos de Coxeter hiperbólicos paracompactos con rangos del 4 al 10. Los 58 grupos están agrupados en cinco categorías. Johnson dio las designaciones de letras para los grupos como símbolos de Witt extendidos , para lo cual usó las letras PQRSTWUV de los símbolos afines de Witt y agregó las letras LMNOXYZ. Sobre las letras de las designaciones de grupos hiperbólicos hay un subrayado o un límite (para esquemas cíclicos). notación de corchetes de Coxeter es una representación lineal del grupo de Coxeter.

Grupos paracompactos hiperbólicos

Rango	Número completo	Grupos
cuatro	23	${\ sombrero ancho{BR}}_3$ = [(3,3,4,4)]: ${\ widehat{CR}}_3$ = [(3,4 3 )]: ${\ sombrero ancho {RR}}_3$ = [4 [4] ]: ${\ widehat{AV}}_3$ = [(3 3 ,6)]: ${\ widehat{BV}}_3$ = [(3,4,3,6)]: ${\ sombrero ancho {HV}}_3$ = [(3,5,3,6)]: ${\ widehat{VV}}_3$ = [(3,6) [2] ]:	${\bar{P}}_3$ = [3,3 [3] ]: ${\bar{BP}}_3$ = [4,3 [3] ]: ${\bar{CV}}_3$ = [5,3 [3] ]: ${\bar{VP}}_3$ = [6,3 [3] ]: ${\bar{DV}}_3$ = [6.3 1.1 ]: ${\bar{O}}_3$ = [3,4 1,1 ]: ${\bar{M}}_3$ = [4 1,1,1 ]:	${\bar{R}}_3$ = [3,4,4]: ${\bar{N}}_3$ = [4 3 ]: ${\bar{V}}_3$ = [3,3,6]: ${\bar{NV}}_3$ = [4,3,6]: ${\bar{HV}}_3$ = [5,3,6]: ${\bar{Y}}_3$ = [3,6,3]: ${\bar{Z}}_3$ = [6,3,6]:	${\bar{DP}}_3$ = [3 []x[] ]: ${\bar{PP}}_3$ = [3 [3,3] ]:
5	9	${\bar{P}}_4$ = [3,3 [4] ]: ${\bar{BP}}_4$ = [4,3 [4] ]: ${\ widehat{FR}}_4$ = [(3 2 ,4,3,4)]: ${\bar{PD}}_4$ = [3 [3]x[] ]:	${\bar{N}}_4$ = [4,3,((4,2,3))]: ${\bar{O}}_4$ = [3,4,3 1,1 ]: ${\bar{S}}_4$ = [4,3 2,1 ]:	${\bar{R}}_4$ = [(3,4) 2 ]:	${\bar{M}}_4$ = [4,3 1,1,1 ]:
6	12	${\bar{P}}_5$ = [3,3 [5] ]: ${\ widehat{AU}}_5$ = [(3 5 ,4)]: ${\ widehat{AR}}_5$ = [(3,3,4) [2] ]:	${\bar{S}}_5$ = [4,3,3 2,1 ]: ${\bar{O}}_5$ = [3,4,3 1,1 ]: ${\bar{N}}_5$ = [3,(3,4) 1,1 ]:	${\bar{T}}_5$ = [3 3 ,4,3]: ${\bar{X}}_5$ = [3,3,4,3,3]: ${\bar{R}}_5$ = [3,4,3,3,4]:	${\bar{Q}}_5$ = [3 2,1,1,1 ]: ${\bar{M}}_5$ = [4,3,3 1,1,1 ]: ${\bar{L}}_5$ = [3 1,1,1,1,1 ]:
7	3	${\bar{P}}_6$ = [3,3 [6] ]:	${\bar{Q}}_6$ = [3 1,1 ,3,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_6$ = [4.3 2 .3 2.1 ]:
ocho	cuatro	${\bar{P}}_7$ = [3,3 [7] ]:	${\bar{Q}}_7$ = [3 1,1 ,3 2 ,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_7$ = [4.3 3 .3 2.1 ]:	${\bar{T}}_7$ = [3 3,2,2 ]:
9	cuatro	${\bar{P}}_8$ = [3,3 [8] ]:	${\bar{Q}}_8$ = [3 1,1 ,3 3 ,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_8$ = [4.3 4 .3 2.1 ]:	${\bar{T}}_8$ = [3 4,3,1 ]:
diez	3		${\bar{Q}}_9$ = [3 1,1 ,3 4 ,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_9$ = [4,3 5 ,3 2,1 ]:	${\bar{T}}_9$ = [3 6,2,1 ]:

Conexiones de subgrupos de grupos hiperbólicos paracompactos

Los gráficos a continuación representan las conexiones de subgrupos de grupos hiperbólicos paracompactos. El índice de subgrupo en cada borde se da en rojo [15] . Los subgrupos con índice 2 significan eliminación del espejo y duplicación del dominio fundamental. Otros subgrupos son proporcionales (la relación de volúmenes es un número entero).

H3 _
H4 _
H5 _

Grupos hipercompactos de Coxeter (politopos de Vinberg)

Como en el caso del plano hiperbólico H 2 , que tiene dominios fundamentales poligonales no triangulares, existen dominios en dimensiones superiores que no son simples. Estos dominios se pueden considerar como simples degenerados con espejos que no se cruzan, dando un orden infinito. En los diagramas de Coxeter, tales ramas se reflejan mediante líneas de puntos o discontinuas. Dichos dominios que no son simples se denominan politopos de Vinberg , en honor a Ernest Vinberg , quien desarrolló un algoritmo para encontrar un dominio fundamental no simple de un grupo de reflexión hiperbólico. Geométricamente, estas áreas fundamentales se pueden clasificar como pirámides cuadrangulares o prismas , u otros poliedros con todos los bordes que tienen ángulos diédricos π/n en ellos para n=2,3,4…

En dominios simplex, hay n + 1 espejos para un espacio n-dimensional. En regiones no simples, hay más de n + 1 espejos. La lista es finita, pero aún no se conoce por completo. Hay listas parciales con n + k espejos para k igual a 2,3 y 4.

Los grupos hipercompactos de Coxeter en el espacio tridimensional y superior difieren de los grupos bidimensionales en un aspecto esencial. En el plano, dos n-ágonos hiperbólicos que tienen los mismos ángulos en algún orden cíclico pueden tener diferentes longitudes de arista y, en general, no son congruentes . Los politopos de Vinberg en el espacio tridimensional y superior están completamente definidos por ángulos diédricos. Este hecho se basa en el teorema de rigidez de Mostow , que establece que dos grupos isomórficos formados por reflexiones en H n para n>=3 definen dominios fundamentales congruentes (politopos de Vinberg).

Politopos de Vinberg de rango n+2 para espacio n-dimensional

F. Esselmann en 1996 [16] proporcionó una lista completa de politopos de Vinberg con rango de espejo n+2 para espacios n-dimensionales . Una lista parcial fue publicada en 1974 por I. M. Kaplinskaya [17] .

P. V. Tumarkin publicó una lista completa de soluciones paracompactas en 2003 para dimensiones de 3 a 17 [18] .

El conjunto paracompacto más pequeño en H 3 se puede representar comoo [∞,3,3,∞], y se puede construir quitando un espejo de un grupo hiperbólico paracompacto [3,4,4]. El área fundamental duplicada pasa de ser un tetraedro a una pirámide cuadrangular. Otras pirámides incluyen [4,4,1 + ,4] = [∞,4,4,∞],=. Quitar el espejo de algunos gráficos de Coxeter hiperbólicos cíclicos los convierte en corbatas de moño: [(3,3,4,1 + ,4)] = [((3,∞,3)), ((3,∞,3)) ] o, [(3,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,3)), ((3,∞,4))], o, [(4,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,4)), ((4,∞,4))], o.

Otros gráficos paracompactos con regiones fundamentales de pirámide cuadrangular incluyen:

Dimensión	Rango	cuenta
H3 _	5	,,,, ,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,

Otro subgrupo [1 + ,4 1,1,1 ] = [∞,4,1 + ,4,∞] = [∞ [6] ].==. [19]

Politopos de Vinberg de rango n+3 para espacio n-dimensional

Hay un número finito de dominios fundamentales degenerados en espacios de hasta 8 dimensiones. PV Tumarkin proporcionó una lista completa de politopos compactos de Vinberg con rango de espejo n + 3 para espacios n-dimensionales en 2004. Estos grupos están marcados con líneas punteadas / discontinuas para ramas ultraparalelas.

Para las dimensiones 4 a 8, el número de grupos de Coxeter de rango 7 a 11 es 44, 16, 3, 1 y 1 respectivamente [20] . El grupo con el rango más alto fue descubierto por Bugaenko en 1984 en un espacio de dimensión 8, y tiene el rango 11 [21] :

Dimensiones	Rango	casos	gráficos
H4 _	7	44	…
H5 _	ocho	dieciséis	..
H6 _	9	3
H7 _	diez	una
H8 _	once	una

Politopos de Vinberg de rango n+4 para espacio n-dimensional

Hay un número finito de simples fundamentales degenerados en dimensiones hasta ocho. Anna Felikson y Pavel Tumarkin estudiaron politopos Vinberg compactos con rango de espejo n+4 para dimensión n en 2005. [22]

Grupos de Lorentz

Panales regulares con grupos de Lorentz

{3,3,7} en un espacio tridimensional hiperbólico. La intersección de los panales con un plano en el infinito se presenta en el modelo del semiespacio de Poincaré .	{7,3,3} , representado fuera del modelo de bola de Poincaré.

Los grupos de Lorentz son los grupos de transformación de Lorentz del espacio de Minkowski . Tienen una conexión con la geometría de Lorentz , llamada así por Hendrik Lorentz , utilizada en la teoría especial de la relatividad , y con el concepto de espacio-tiempo en la teoría general de la relatividad , que contiene vectores temporales , cuyo producto escalar consigo mismo da un resultado negativo [11] .

En un artículo de 1982 de Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups , se proporciona una lista de grupos de Lorentz de rangos del 5 al 11. La lista proporcionada por él está completa, pero no refleja los casos en los que un grupo es un subgrupo de otro. Hay un número infinito de grupos de Lorentz con rango 4. Para los rangos 5-11 hay un número finito de grupos de Lorentz: 186, 66, 36, 13, 10, 8 y 4, respectivamente [6] . En un artículo de 2013, Chen y Labbé (H. Chen, J.-P. Labbé, Lorentzian Coxeter groups y Boyd--Maxwell ball packings ) recalcularon y complementaron la lista [23] .

Grupos de Lorentz Coxeter

Rango	número total	Grupos
cuatro	∞	[3,3,7] … [∞,∞,∞]:… [4,3 [3] ] … [∞,∞ [3] ]:… [5,4 1,1 ] … [∞ 1,1,1 ]:… … [(5,4,3,3)] … [∞ [4] ]: …… … [4 []×[] ] … [∞ []×[] ]: … … [4 [3,3] ] … [∞ [3,3] ]
5	186	…[3 [3,3,3] ]:…
6	66
7	36	[3 1,1,1,1,1,1 ]:…
ocho	13	[3,3,3 [6] ]: [3,3 [6] , 3]: [3,3 [2+4] ,3]: [3,3 [1+5] ,3]: [3 [ ]e×[3] ]:	[4,3,3,3 3,1 ]: [3 1.1 ,3.3 3.1 ]: [3,(3,3,4) 1,1 ]: [3 2.1 ,3.3 2.1 ]:		[4,3,3,3 2,2 ]: [3 1.1 ,3.3 2.2 ]:
9	diez	[3,3 [3+4] ,3]: [3,3 [9] ]: [3,3 [2+5] ,3]:	[3 2.1 ,3 2 .3 2.1 ]:	[3 3,1 ,3 3 ,4]: [3 3,1 ,3,3,3 1,1 ]:	[3 3,3,2 ]: [3 2,2,4 ]: [3 2,2 ,3 3 ,4]: [3 2,2 ,3,3,3 1,1 ]:
diez	ocho	[3,3 [8] , 3]: [3,3 [3+5] ,3]: [3,3 [9] ]:	[3 2.1 ,3 3 .3 2.1 ]:	[3 5,3,1 ]: [3 3,1 ,3 4 ,4]: [3 3.1 ,3 3 .3 1.1 ]:	[3 4,4,1 ]:
once	cuatro		[3 2.1 ,3 4 .3 2.1 ]:	[3 2,1 ,3 6 ,4]: [3 2.1 ,3 5 .3 1.1 ]:	[3 7,2,1 ]:

Diagramas de Coxeter altamente extendidos

A veces se utiliza el concepto de diagramas de Dynkin fuertemente extendidos , en los que los grupos afines se consideran extendidos , los grupos hiperbólicos son esencialmente extendidos y la tercera rama se considera grupos simples fuertemente extendidos . Estas extensiones generalmente se etiquetan con 1, 2 o 3 + en el superíndice para el número de vértices extendidos. Estas series extendidas se pueden extender en la dirección opuesta eliminando sucesivamente nodos en la misma posición en el gráfico, aunque el proceso se detiene cuando se elimina el nodo de ramificación. La familia extendida E 8 es el ejemplo más conocido de extensión hacia atrás desde E 3 y hacia adelante hasta E 11 .

El proceso de expansión puede dar una serie limitada de gráficos de Coxeter que van de finitos a afines, luego a grupos hiperbólicos y de Lorentz. El determinante de la matriz de Cartan especifica dónde cambia la serie de finito (determinante positivo) a afín (cero), luego a tipo hiperbólico (negativo), y termina con un grupo de Lorentz que contiene al menos un subgrupo hiperbólico [24] . Los grupos no cristalográficos H n forman una serie extendida, donde H 4 se expande en un grupo hiperbólico compacto y se expande sustancialmente en un grupo de Lorentz.

Determinante de la matriz de Schläfli por rangos [25] :

det(A 1 n =[2 n-1 ]) = 2 n (Final para todos los n)
det(A n =[3 n-1 ]) = n+1 (Final para todos los n)
det(B n =[4,3 n-2 ]) = 2 (Final para todos los n)
det(D n =[3 n-3,1,1 ]) = 4 (Final para todos los n)

Determinante de la matriz de Schläfli en series excepcionales:

det( E n =[3 n-3,2,1 ]) = 9-n (Final para E 3 (=A 2 A 1 ), E 4 (=A 4 ), E 5 (=D 5 ), E 6 , E 7 y E 8 , afín a E 9 ( ), hiperbólico a E 10 ) ${\ tilde {E}}_{8}$
det([3 n-4,3,1 ]) = 2(8-n) (Finito para n= 4 a 7, afín para ( ) e hiperbólico para n=8.) ${\ tilde {E}}_{7}$
det([3 n-4,2,2 ]) = 3(7-n) (Finito para n= 4 a 6, afín para ( ) e hiperbólico para n=7.) ${\ tilde {E}}_{6}$
det(F n =[3,4,3 n-3 ]) = 5-n (Finito para F 3 (=B 3 ) y F 4 , afín para F 5 ( ), hiperbólico para F 6 ) ${\ tilde {F}}_{4}$
det(G n =[6,3 n-2 ]) = 3-n (Finito para G 2 , afín para G 3 ( ), hiperbólico para G 4 ) ${\ tilde {G}}_{2}$

Pequeña serie extendida

	$A_{2}$	$C_{2}$	$G_{2}$	$A_{3}$	$B_{3}$	$C_{3}$	$H_4$
rango m	[3 [3] ,3 n-3 ]	[4,4,3n- 3 ]	G n \u003d [6.3 n-2 ]	[3 [4] ,3 n-4 ]	[4,3 1,n-3 ]	[4,3,4,3n- 4 ]	H n \u003d [5.3 n-2 ]
2	[3 ] A2	[4 ] C2	[6 ] G2		[2] Un 1 2	[4 ] C2	[5 ] H2
3	[3 [3] ] A 2 + = ${\ tilde {A}}_{2}$	[4,4] C 2 + = ${\ tilde {C}}_{2}$	[6,3] sol 2 + = ${\ tilde {G}}_{2}$	[3,3]=A 3	[4,3 ] B3	[4,3 ] C3	[5,3 ] H3
cuatro	[3 [3] ,3] A 2 ++ = ${\bar{P}}_3$	[4,4,3 ] C2 ++ = ${\bar{R}}_3$	[6,3,3] G 2 ++ = ${\bar{V}}_3$	[3 [4] ] A 3 + = ${\tilde {A}}_{3}$	[4.3 1.1 ] segundo 3 + = ${\tilde {B}}_{3}$	[4,3,4] C 3 + = ${\ tilde {C}}_{3}$	[5,3,3 ] H4
5	[3 [3] ,3,3] A 2 +++	[4,4,3,3 ] C2 +++	[6,3,3,3] G 2 +++	[3 [4] ,3] A 3 ++ = ${\bar{P}}_4$	[4.3 2.1 ] B 3 ++ = ${\bar{S}}_4$	[4,3,4,3] C 3 ++ = ${\bar{R}}_4$	[5,3 3 ] H 5 = ${\bar{H}}_4$
6				[3 [4] ,3,3] A 3 +++	[4.3 3.1 ] B 3 +++	[4,3,4,3,3] C 3 +++	[5,3 4 ] H 6
Det(M n )	3(3- n )	2(3- n )	3- n	4(4- n )	2(4- n )

Serie media extendida

	$A_{4}$	$B_{4}$	$C_{4}$	$D_{4}$	$F_{4}$	$A_{5}$	$B_{5}$	$D_{5}$
rango m	[3 [5] ,3 n-5 ]	[4,3,3n -4,1 ]	[4,3,3,4,3n- 5 ]	[ 3n-4,1,1,1 ]	[3,4,3n- 3 ]	[3 [6] , 3n-6 ]	[4,3,3,3n -5,1 ]	[3 1.1 ,3.3 n-5.1 ]
3		[4.3 −1.1 ] segundo 2 un 1	[4,3 ] B3	[3 −1,1,1,1 ] UN 1 3	[3,4 ] B3		[4,3,3 ] C3
cuatro	[3 3 ] Un 4	[4,3,3 ] B4	[4,3,3 ] C4	[3 0,1,1,1 ] D 4	[3,4,3] F 4		[4,3,3,3 −1,1 ] segundo 3 un 1	[3 1,1 ,3,3 −1,1 ] UNA 3 UNA 1
5	[3 [5] ] A 4 + = ${\ tilde {A}}_{4}$	[4,3,3 1,1 ] segundo 4 + = ${\ tilde {B}}_{4}$	[4,3,3,4] C 4 + = ${\ tilde {C}}_{4}$	[3 1,1,1,1 ] D 4 + = ${\ tilde {D}}_{4}$	[3,4,3,3] F 4 + = ${\ tilde {F}}_{4}$	[3 4 ] Un 5	[4,3,3,3,3] segundo 5	[3 1,1 ,3,3] D 5
6	[3 [5] ,3] A 4 ++ = ${\bar{P}}_5$	[4,3,3 2,1 ] B 4 ++ = ${\bar{S}}_5$	[4,3,3,4,3] C 4 ++ = ${\bar{R}}_5$	[ 3 2,1,1,1 ] D4 ++ = ${\bar{Q}}_5$	[3,4,3 3 ] F 4 ++ = ${\bar{T}}_5$	[3 [6] ] A 5 + = ${\tilde {A}}_{5}$	[4,3,3,3 1,1 ] segundo 5 + = ${\ tilde {B}}_{5}$	[3 1.1 ,3.3 1.1 ] D 5 + = ${\tilde {D}}_{5}$
7	[3 [5] ,3,3] A 4 +++	[4,3,3 3,1 ] B 4 +++	[4,3,3,4,3,3 ] C4 +++	[3 3,1,1,1 ] D 4 +++	[3,4,3 4 ] F 4 +++	[3 [6] , 3] A 5 ++ = ${\bar{P}}_6$	[4,3,3,3 2,1 ] B 5 ++ = ${\bar{S}}_6$	[3 1,1 ,3,3 2,1 ] D 5 ++ = ${\bar{Q}}_6$
ocho						[3 [6] ,3,3] A 5 +++	[4,3,3,3 3,1 ] B 5 +++	[3 1.1 ,3.3 3.1 ] D 5 +++
Det(M n )	5(5- n )	2(5- n )		4(5- n )	5- n	6(6- n )	4(6- n )

Algunas series muy ampliadas

	$A_{6}$	$B_{6}$	$D_{6}$	$E_{6}$	$A_7$	$B_7$	$D_7$	$E_7$
rango m	[3 [7] ,3 n-7 ]	[4.3 3 .3 n-6.1 ]	[3 1.1 ,3.3.3 n-6.1 ]	[ 3n-5,2,2 ]	[3 [8] , 3n-8 ]	[4.3 4 .3 n-7.1 ]	[3 1,1 ,3,3,3,3 n-7,1 ]	[ 3n-5,3,1 ]	E n \u003d [3 n-4,2,1 ]
3									[3 −1,2,1 ] mi 3 =A 2 A 1
cuatro				[3 −1,2,2 ] UN 2 2				[3 −1,3,1 ] UN 3 UN 1	[3 0,2,1 ] Mi 4 =A 4
5		[4,3,3,3,3 −1,1 ] segundo 4 un 1	[3 1,1 ,3,3,3 −1,1 ] re 4 la 1	[3 0,2,2 ] A 5				[3 0,3,1 ] A 5	[3 1,2,1 ] Mi 5 =D 5
6	[3 5 ] Un 6	[4,3 4 ] segundo 6	[3 1,1 ,3,3,3] D 6	[3 1,2,2 ] mi 6		[4,3,3,3,3,3 −1,1 ] segundo 5 un 1	[3 1,1 ,3,3,3,3 −1,1 ] re 5 la 1	[3 1,3,1 ] D 6	[3 2,2,1 ] Mi 6 *
7	[3 [7] ] A 6 + = ${\tilde {A}}_{6}$	[4.3 3 .3 1.1 ] segundo 6 + = ${\tilde {B}}_{6}$	[3 1,1 ,3,3,3 1,1 ] D 6 + = ${\tilde {D}}_{6}$	[3 2,2,2 ] Mi 6 + = ${\ tilde {E}}_{6}$	[3 6 ] Un 7	[4,3 5 ] segundo 7	[3 1,1 ,3,3,3,3 0,1 ] D 7	[3 2,3,1 ] Mi 7 *	[3 3,2,1 ] Mi 7 *
ocho	[3 [7] ,3] A 6 ++ = ${\bar{P}}_7$	[4.3 3 .3 2.1 ] B 6 ++ = ${\bar{S}}_7$	[3 1,1 ,3,3,3 2,1 ] D 6 ++ = ${\bar{Q}}_7$	[3 3,2,2 ] E 6 ++ = ${\bar{T}}_7$	[3 [8] ] A 7 + = * ${\tilde {A}}_{7}$	[4.3 4 .3 1.1 ] segundo 7 + = * ${\ tilde {B}}_{7}$	[3 1,1 ,3,3,3,3 1,1 ] D 7 + = * ${\ tilde {D}}_{7}$	[3 3,3,1 ] Mi 7 + = * ${\ tilde {E}}_{7}$	[3 4,2,1 ] Mi 8 *
9	[3 [7] ,3,3] A 6 +++	[4.3 3 .3 3.1 ] B 6 +++	[3 1,1 ,3,3,3 3,1 ] D 6 +++	[3 4,2,2 ] Mi 6 +++	[3 [8] ,3] A 7 ++ = * ${\bar{P}}_8$	[4.3 4 .3 2.1 ] B 7 ++ = * ${\bar{S}}_8$	[3 1,1 ,3,3,3,3 2,1 ] D 7 ++ = * ${\bar{Q}}_8$	[3 4,3,1 ] E 7 ++ = * ${\bar{T}}_8$	[3 5,2,1 ] mi 9 = mi 8 + = * ${\ tilde {E}}_{8}$
diez					[3 [8] ,3,3] A 7 +++ *	[4.3 4 .3 3.1 ] B 7 +++ *	[3 1,1 ,3,3,3,3 3,1 ] D 7 +++ *	[3 5,3,1 ] E 7 +++ *	[3 6,2,1 ] E 10 =E 8 ++ = * ${\bar{T}}_9$
once									[3 7,2,1 ] mi 11 = mi 8 +++ *
Det(M n )	7(7- n )	2(7- n )	4(7- n )	3(7- n )	8(8- n )	2(8- n )	4(8- n )	2(8- n )	9- n

Circunvoluciones geométricas

Circunvoluciones finitas e infinitas [26]

φ A : A Γ --> A Γ' para tipos finitos
Γ	Γ'	Descripción de la convolución	Esquemas de Coxeter-Dynkin
yo 2 ( h )	Γ(h)	convolución diédrica
segundo norte	un 2n	(yo, s n )
segundo norte	D n+1 , A 2n-1	(A 3 ,+/-ε)
F4 _	mi 6	(A 3 ,±ε)
H4 _	mi 8	(A 4 ,±ε)
H3 _	D6 _
H2 _	A4 _
G2 _	A5 _	(A 5 ,±ε)
G2 _	D4 _	(D 4 ,±ε)
φ: A Γ + --> A Γ' + para todos los tipos afines
${\tilde{A}}_{n-1}$	${\ tilde{A}}_{kn-1}$	Localmente trivial
${\tilde{B}}_{n}$	${\tilde{D}}_{2n+1}$	(yo, s n )
${\tilde{B}}_{n}$	${\tilde{D}}_{n+1}$ , ${\tilde{D}}_{2n}$	(A 3 ,±ε)
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{B}}_{n+1}$ , ${\tilde{C}}_{2n}$	(A 3 ,±ε)
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{C}}_{2n+1}$	(yo, s n )
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{A}}_{2n+1}$	(I,s n ) & (I,s 0 )
	${\tilde{A}}_{2n}$	(A 3 ,ε) & (I,s 0 )
	${\tilde{A}}_{2n-1}$	(A 3 ,ε) & (A 3 ,ε')
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{D}}_{n+2}$	(A 3 ,-ε) & (A 3 ,-ε')
${\ tilde {C}}_{2}$	${\tilde {D}}_{5}$	(I,s 1 )
${\ tilde {F}}_{4}$	${\ tilde {E}}_{6}$ , ${\ tilde {E}}_{7}$	(A 3 ,±ε)
${\ tilde {G}}_{2}$	${\tilde {D}}_{6}$ , ${\ tilde {E}}_{7}$	(A 5 ,±ε)
	${\tilde {B}}_{3}$ , ${\ tilde {F}}_{4}$	(B 3 ,±ε)
	${\ tilde {D}}_{4}$ , ${\ tilde {E}}_{6}$	(D 4 ,±ε)

Un esquema de Coxeter-Dynkin (con conexiones simples [27] , finitas, afines o hiperbólicas) que tenga simetría (que satisfaga una condición) puede transformarse por simetría en un esquema nuevo, generalmente de subprocesos múltiples, mediante un proceso llamado "convolución" [28] [ 29] .

Geométricamente, esto corresponde a proyecciones ortogonales de poliedros y mosaicos uniformes. Curiosamente, cualquier esquema finito de Coxeter-Dynkin con conexiones simples se puede plegar en I 2 ( h ), donde h es el número de Coxeter , que corresponde geométricamente a la proyección sobre el plano de Coxeter .

Algunas circunvoluciones hiperbólicas

Véase también

grupo coxeter
Triángulo de Schwartz
Tetraedro de Goursat
Diagrama de Dynkin
Politopo homogéneo
- Símbolo de Wythoff
- poliedro uniforme
- Lista de poliedros uniformes
- Lista de mosaicos planos uniformes
- Politopo homogéneo de 4 dimensiones
- Panales uniformes convexos
- Panales homogéneos convexos en espacio hiperbólico
Construcción de Wythoff y símbolo de Wythoff

Notas

↑ VO Bugaenko. Poliedros regulares. - (Educación matemática Ser.3).
↑ Brian C. Pasillo. Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental. - Springer, 2003. - ISBN 0-387-40122-9 .
↑ Coxeter, . 7.7. Criterio de Schlafli //Politopos regulares . — 3er. - Edición Dover, 1973. - S. 133. —ISBN 0-486-61480-8.
↑ VO Bugaenko. Clasificación de los poliedros de Coxeter // Matem. Ilustración.. - 2003. - Edición. 7 . - S. 82-106 .
↑ 1 2 Folke Lanner. Sobre complejos con grupos transitivos de automorfismos . - 1950. - T. 11. - S. 1-71. - (Meddelanden Från Lunds Universitets Matematiska Seminarium [Comunicaciones del Séminaire Mathématique de l'Université de Lund]).
↑ 1 2 George Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups Archivado el 30 de junio de 2013. , Diario de Álgebra 79 :1, 78-97 (1982)
↑ Daniel Allcock. Infinidad de grupos de Coxeter hiperbólicos a través de la dimensión 19. - Vol. 10.- Pág. 737-758. -doi : 10.2140 / gt.2006.10.737 .
↑ The Geometry and Topology of Coxeter Groups , Michael W. Davis, 2008 Archivado el 28 de junio de 2010 en Wayback Machine p. 105 Tabla 6.2. diagramas hiperbólicos
↑ Takeuchi, Kisao. Grupos de triángulos aritméticos // Revista de la Sociedad Matemática de Japón. - 1977. - T. 29 . - S. 91-106 .
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↑ 1 2 Norman Johnson, Geometrías y transformaciones , Capítulo 13: Grupos hiperbólicos de Coxeter, 13.6 Redes lorentzianas
↑ JL Koszul, Conferencias sobre grupos hiperbólicos de Coxeter , Universidad de Notre Dame (1967)
↑ M. Chein, Recherche des graphes des matrix de Coxeter hyperboliques d'ordre ≤10, Rev. Francaise Informat. Recherche Opérationnelle 3 (1969), núm. Ser. R-3, 3-16 (francés). [1] Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine .
↑ Subálgebras de álgebras hiperbólicas de Kay-Moody Archivado el 20 de mayo de 2021 en Wayback Machine , Figura 5.1, p.13
↑ NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Clases de conmensurabilidad de grupos hiperbólicos de Coxeter H 3 : p130, H 4 : p137, H 5 : p 138. [2] Archivado el 24 de septiembre de 2015 en Wayback machine
↑ F. Esselmann, La clasificación de d-politopos compactos hiperbólicos de Coxeter con facetas d+2. comentario. Matemáticas. Helvetici 71 (1996), 229-242. [3] Archivado el 5 de junio de 2018 en Wayback Machine .
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↑ VO Bugaenko. Sobre grupos de automorfismos de formas cuadráticas hiperbólicas unimodulares sobre un anillo Z // Vest. Universidad estatal de Moscú. - 1984. - S. 5, 6-12. .
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↑ Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings , http://arxiv.org/abs/1310.8608 Archivado el 19 de septiembre de 2017 en Wayback Machine .
↑ Álgebras de Kac-Moody en la teoría M. Consultado el 7 de octubre de 2015. Archivado desde el original el 30 de agosto de 2021. (indefinido)
↑ Determinantes de Cartan-Gram para los grupos de Lie simples Archivado el 7 de febrero de 2016 en Wayback Machine , Wu, Alfred C. T, The American Institute of Physics, noviembre de 1982
↑ John Crisp , ' Mapas inyectivos entre grupos de Artin , en Down under group Theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Australia, 1996), Postscript Archivado el 16 de octubre de 2005. , pp 13-14, y googlebook, Teoría de grupos geométricos por debajo, p 131
↑ es decir, tener solo 3 etiquetas de rama
↑ Jean-Bernard Zuber. Diagramas de Dynkin generalizados y sistemas de raíces y su plegamiento. - S. 28-30 .
↑ Pierre-Philippe Dechant, Celine Boehm, Reidun Twarock. Extensiones afines de grupos Coxeter no cristalográficos inducidos por proyección. 25 de octubre de 2011

Lectura para leer más

James E. Humphreys, Grupos de reflexión y Grupos de Coxeter , estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, 29 (1990)
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [5] , Googlebooks [ 6]
- (Documento 17) Coxeter , La evolución de los diagramas de Coxeter-Dynkin , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
coxeter _ Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes // La belleza de la geometría: Doce ensayos . - Publicaciones de Dover, 1999. - ISBN 978-0-486-40919-1 .
- HSM Coxeter. Capítulo 5: El Caleidoscopio, Sección 11.3 Representación por grafos // Politopos regulares . - Edición de Dover, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
G.S.M. Coxeter, WOJ Moser. Generadores y Relaciones para Grupos Discretos = HSM Coxeter, WOJ Moser, Generadores y Relaciones para Grupos Discretos. - Moscú: Nauka, 1980.
Norman Johnson , Geometrías y transformaciones , Capítulos 11,12,13, preimpresión 2011
Norman Johnson , R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz. grupos de transformación. - 1999. - T. 4 , nº. 4 . - S. 329-353 .
Norman W. Johnson, Asia Ivic Weiss. Enteros cuadráticos y grupos de Coxeter // Canadá. Matemáticas J. - 1999. - T. 51 , núm. 6 _ - S. 1307-1336 .

Enlaces

Diagrama de Weisstein, Eric W. Coxeter-Dynkin (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Discusión de octubre de 1978 sobre la historia de los diagramas de Coxeter por Coxeter y Dynkin en Toronto , Canadá ; Eugene Dynkin Colección de Entrevistas Matemáticas, Biblioteca de la Universidad de Cornell .