Coordenadas cónicas

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Las coordenadas cónicas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que consta de esferas concéntricas (radio r ) y dos familias de conos perpendiculares dirigidos a lo largo de los ejes z y x .

Definiciones básicas

Las coordenadas cónicas están definidas por las expresiones ${\ estilo de visualización (r, \ mu, \ nu)}$

x={\frac {r\mu\nu}{bc)),

y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}- b^{2}\derecha)}{\izquierda(b^{2}-c^{2}\derecha)}}},

z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}- c^{2}\derecha)}{\izquierda(c^{2}-b^{2}\derecha)}}},

mientras que se imponen restricciones a las coordenadas

{\ estilo de visualización \nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.}

Las superficies de r constante son esferas de radio r centradas en el origen:

{\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}

superficies de constantes y son conos mutuamente perpendiculares : $\mu$ $\nu$

{\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}+b^{2}}}+{ \frac{z^{2}}{\mu^{2}-c^{2}}}=0

{\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{ \frac{z^{2}}{\nu^{2}+c^{2}}}=0.

Factores de escala

El factor de escala para el radio r es uno ( h r = 1 ), como en coordenadas esféricas. Para coordenadas cónicas, los factores de escala son

h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2)){\left(b^{2}-\mu ^{2}\right) \izquierda(\mu^{2}-c^{2}\derecha)}}}

h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2)){\left(b^{2}-\nu ^{2}\right) \izquierda(c^{2}-\nu ^{2}\derecha)}}}.

Otra definición

Hay otro conjunto de coordenadas cónicas: [1]

${\begin{alineado}\xi &=r\cos \phi \sin \theta ,\\\psi &=r\sin \phi \sin \theta ,\\\zeta &=\theta ,\end {alineado}}$

donde son las coordenadas polares esféricas. Conversión inversa: ${\ estilo de visualización \ {r, \ theta, \ phi \}}$

${\begin{alineado}r&={\sqrt {\xi ^{2}+\psi ^{2}}},\\\phi &={\frac {1}{\sin \zeta }} \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )),\\\theta &=\zeta .\end{alineado))$

Pequeña distancia euclidiana entre dos puntos en coordenadas dadas:

{\begin{alineado}ds^{2}&=d\xi ^{2}+d\psi ^{2}+(\xi ^{2}+\psi ^{2})(1+ \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi)))^{2}\operatorname {ctg} \zeta ^{2})d\zeta ^{2}+\\&+2\psi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{\xi)))\operatorname {ctg} \zeta d\xi d\zeta -2\xi \operatorname {arctg} ({\frac {\psi }{ \xi }})\nombre del operador {ctg} \zeta d\psi d\zeta .\end{alineado}}

Si el camino entre dos puntos está limitado por la superficie de un cono dada por , entonces la distancia geodésica entre dos puntos y se expresa como ${\ estilo de visualización \ zeta = {\ frac {\ pi} {4}}}$ ${\ estilo de visualización \ {\ xi _ {1}, \ psi _ {1}, \ zeta _ {1} = {\ frac {\ pi} {4}} \}}$ ${\ estilo de visualización \ {\ xi _ {2}, \ psi _ {2}, \ zeta _ {2} = {\ frac {\ pi} {4}} \}}$ $s_{12}^{2}=(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\psi _{1}-\psi _{2})^{2 }.$

Notas

↑ Drake, Samuel Picton; Anderson, Brian DO; Yu, Chang Bin. Asociación causal de señales electromagnéticas utilizando el determinante de Cayley-Menger (inglés) // Applied Physics Letters : revista. - 2009. - 20 de julio ( vol. 95 , n. 3 ). — Pág. 034106 . — ISSN 0003-6951 . -doi : 10.1063/ 1.3180815 .

Literatura

Morse PM, Feshbach H. Métodos de física teórica, Parte I (neopr.) . - Nueva York: McGraw-Hill Education , 1953. - P. 659. - ISBN 0-07-043316-X .
Margenau H., Murphy GM Las matemáticas de la física y la química (sin especificar) . - Nueva York: D. van Nostrand, 1956. - S. 183-184 .
Korn GA, Korn TM Manual matemático para científicos e ingenieros (inglés) . - Nueva York: McGraw-Hill Education , 1961. - Pág. 179.
Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (neopr.) . - Nueva York: Springer Verlag , 1967. - S. 991-100.
Arfken G. Métodos matemáticos para físicos (indefinido) . — 2do. - Orlando, FL: Academic Press , 1970. - págs. 118-119.
Moon P., Spencer DE Coordenadas cónicas (r, θ, λ) // Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (inglés) . corregida 2ª ed., 3ª impresión. - Nueva York: Springer-Verlag , 1988. - P. 37-40 (Cuadro 1.09). — ISBN 978-0-387-18430-2 .

Enlaces

Descripción de coordenadas cónicas en MathWorld

Sistemas coordinados
Nombre de las coordenadas	Abscisa ordenada Apliques
Tipos de sistemas de coordenadas	Sistema de coordenadas rectilíneas Sistema de coordenadas curvilíneas
coordenadas 2D	Coordenadas biangulares Coordenadas bicéntricas Coordenadas hiperbólicas Coordenadas polares Coordenadas bipolares Coordenadas parabólicas Coordenadas elípticas Coordenadas tetracíclicas Coordenadas trilineales
coordenadas 3D	Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Coordenadas bisféricas Coordenadas toroidales Coordenadas cilíndricas parabólicas Coordenadas bicilíndricas Coordenadas elipsoidales Coordenadas cónicas Coordenadas pentasféricas Sistema de coordenadas dipolares
$norte$ -coordenadas dimensionales	Coordenadas cartesianas Coordenadas afines Coordenadas proyectivas Coordenadas de Plucker coordenadas baricéntricas
Coordenadas físicas	Coordenadas de Rindler Coordenadas de nacimiento Sistema de coordenadas celestes Coordenadas geográficas Sistema de coordenadas ortodrómico principal
Definiciones relacionadas	Método de coordenadas Origen eje de coordenadas Vector Orth sistema de referencia Punto de referencia Coeficientes cojos tensor métrico