Matemáticas constructivas

Las matemáticas constructivas son una ciencia abstracta de los procesos de pensamiento constructivo, la capacidad humana para llevarlos a cabo y sus resultados: objetos matemáticos constructivos. Es el resultado del desarrollo de una dirección constructiva en matemáticas, una cosmovisión matemática que, en contraste con la dirección teórica de conjuntos, considera que el estudio de los procesos constructivos y los objetos constructivos es la tarea principal de las matemáticas. [una]

David Hilbert puede ser considerado el fundador de la dirección constructiva después de su fallido intento de fundamentar las matemáticas de la teoría de conjuntos sobre la base de las matemáticas constructivas. Uno de los fundadores de las matemáticas constructivas propiamente dichas es el científico soviético Andrey Markov .

Abstracciones de las matemáticas constructivas

La abstracción de las matemáticas constructivas se manifiesta en la aplicación sistemática de dos grandes distracciones: la abstracción de la identificación y la abstracción de la factibilidad potencial o el infinito potencial.

La abstracción de identificación se utiliza cuando se habla de dos objetos idénticos en un sentido u otro como uno y el mismo objeto.

La abstracción de factibilidad potencial (infinidad potencial) se usa cuando el diseño se abstrae de las restricciones prácticas en espacio, tiempo y material. La permisibilidad de esta abstracción distingue al constructivismo del ultrafinitismo .

Las matemáticas constructivas rechazan la abstracción del infinito real utilizada en las matemáticas de teoría de conjuntos , que está asociada con la consideración de procesos interminables como infinitamente continuos y, por así decirlo, completos. [una]

Principales objetos de consideración

Los conceptos de proceso constructivo y objeto constructivo no tienen una definición común. Varias teorías de las matemáticas constructivas pueden tratar con objetos constructivos de varios tipos concretos (matrices enteras, polinomios con coeficientes racionales, etc.). Sin embargo, se pueden especificar varios tipos de construcciones que pueden modelar cualquier otra construcción conocida (y, por lo tanto, pueden considerarse construcciones genéricas en algún sentido). Tales, en particular, son palabras en varios alfabetos.

Características de la lógica de las matemáticas constructivas

Un rasgo característico de los objetos constructivos es el hecho de que no existen eternamente. Nacen como resultado del despliegue de algunos procesos constructivos, y luego desaparecen (por diversas razones). Una expresión algebraica escrita con tiza en una pizarra no siempre estuvo en esta pizarra, y existirá en ella exactamente hasta el momento en que se borre. La tabla almacenada en el disco duro de una computadora personal obviamente tampoco existía antes del momento en que se hizo este disco, y también será destruida tarde o temprano (ya sea como resultado de un reformateo o como resultado de una falla del disco).

En relación con lo dicho, en matemáticas constructivas, la "existencia" de un objeto constructivo se entiende como su factibilidad potencial , es decir, la presencia a nuestra disposición de un método que nos permita reproducir ese objeto el número de veces que se requiera. . Tal comprensión difiere marcadamente de la comprensión de la existencia de un objeto, aceptada en las matemáticas de la teoría de conjuntos . En la teoría de conjuntos, el hecho del constante nacimiento y desaparición de objetos constructivos no encuentra ninguna expresión: desde su punto de vista, los objetos reales en movimiento son solo "sombras" de "objetos ideales" estáticos que existen eternamente en algún mundo de fantasía (y sólo estos “objetos ideales” supuestamente deberían ser considerados en matemáticas).

Entender la existencia de un objeto como factibilidad potencial lleva a que las leyes lógicas que operan en las matemáticas constructivas resulten diferentes a las clásicas. En particular, la ley del tercero excluido pierde su aplicabilidad universal . De hecho, la fórmula, cuando se entiende constructivamente, expresa la proposición $(A\lor (\neg A))$

"entre las fórmulas y potencialmente factible cierto"

A

(\neg A)

sin embargo, la derivación clásica de una disyunción no proporciona ninguna forma de construir su término correcto. De manera similar, la refutación lógica de la suposición de que cualquier objeto constructivo del tipo bajo consideración tiene alguna propiedad —considerada en las matemáticas de la teoría de conjuntos como una razón suficiente para reconocer un objeto con la propiedad como "existente" — no puede en sí misma servir como una razón para reconocer un objeto con la propiedad como potencialmente realizable. Cabe señalar, sin embargo, que todavía se reconoce un cierto valor heurístico detrás de tales refutaciones lógicas (ya que, aunque no proporcionan ninguna forma de construir el objeto deseado, indican el significado de los intentos de tal construcción). Los objetos no constructivos para los que fue posible probar su "existencia" en el marco de la lógica clásica se denominan comúnmente cuasi factibles . $(A\lor (\neg A))$ $T$ $(\negT)$ $(\negT)$

La distinción entre los conceptos de una construcción potencialmente realizable y cuasi-realizable se vuelve especialmente importante cuando se consideran declaraciones generales de existencia. De hecho, el juicio

“para cualquier objeto constructivo del tipo en consideración, potencialmente podemos implementar un objeto constructivo que esté en relación con el objeto ”

X

Y

T

X

significa que tenemos a nuestra disposición un solo método general ( algoritmo ) para procesar un objeto en un objeto correspondiente a él . Por lo tanto, tal juicio puede ser deliberadamente erróneo incluso si el juicio es correcto. $X$ $Y$

“para cualquier objeto constructivo del tipo que se considera, un objeto constructivo que está en relación con el objeto es casi realizable ”

X

Y

T

X

Algunas teorías específicas de las matemáticas constructivas

Las teorías matemáticas concretas desarrolladas en el marco de los conceptos de las matemáticas constructivas tienen una serie de diferencias significativas con respecto a las correspondientes teorías de la teoría de conjuntos.

Por ejemplo, el concepto principal del análisis matemático , el concepto de número real , se introduce en la versión tradicional de la teoría sobre la base de una idea general de un conjunto . Para las matemáticas constructivas, que requieren que la consideración se limite a los objetos constructivos, esta forma de definir el concepto de número real es inaceptable. En él, los números reales generalmente se entienden como registros de algoritmos que procesan cualquier número natural en algún número racional y satisfacen la condición $\mathfrak A$

\forall n\in {\mathbb N}\,|{\mathfrak A}(n)-{\mathfrak A}(n+1)|\leq 2^{{-n-1}}.

Dichos registros son objetos constructivos y se les permite considerarlos en matemáticas constructivas. Como de costumbre, dos números reales y se consideran iguales si la condición $\mathfrak A$ ${\mathfrak B}$

\forall n\in {\mathbb N}\,|{\mathfrak A}(n)-{\mathfrak B}(n)|\leq 2^{{-n+1}}.

Cabe señalar que el problema de reconocer la igualdad de dos números reales arbitrarios no tiene solución algorítmica y, por lo tanto, con una comprensión constructiva de los juicios matemáticos, la declaración

"Dos números reales cualesquiera son iguales o no iguales"

resulta ser falso. En consecuencia, la idea de la teoría de conjuntos de la atomicidad del continuo (su propiedad de puntos claramente separados entre sí, un conjunto realmente infinito de objetos realmente infinitos) no se transfiere a las matemáticas constructivas.

Muchas afirmaciones del análisis de la teoría de conjuntos en el análisis constructivo se refutan con ejemplos. Tales, en particular, son el teorema sobre la convergencia de una sucesión acotada monótona y el lema de Heine-Borel sobre la elección del revestimiento. Una serie de otras declaraciones del análisis de la teoría de conjuntos se pueden transferir a las matemáticas constructivas solo si la "existencia" del objeto deseado se entiende como cuasi factibilidad (en lugar de factibilidad potencial). Tales son el teorema de la representación de números reales por fracciones sistemáticas y el teorema del cero de una función continua de signo variable.

Por otro lado, el análisis constructivo prueba una serie de afirmaciones que no tienen análogos en la teoría de conjuntos. Uno de los ejemplos más llamativos aquí es el teorema de G. S. Tseitin sobre la continuidad de cualquier aplicación de un espacio métrico separable a un espacio métrico. De este teorema se sigue, en particular, que cualquier aplicación de espacios métricos es continua de Heine. Cabe señalar que hay ejemplos de mapeos de espacios no separables que no son continuos de Cauchy . Así, en matemáticas constructivas, la afirmación sobre la equivalencia de la continuidad de la aplicación según Cauchy y según Heine, que se prueba en el análisis clásico basado en el uso de medios teóricos de conjuntos fuertes (en particular, el axioma de elección ) , se puede refutar con ejemplos.

Véase también

Notas

↑ 1 2 Diccionario enciclopédico matemático . - M. : "Búhos. enciclopedia” , 1988.- S. 847 .

Literatura

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Ruzavin G. I. Sobre la naturaleza del conocimiento matemático. - M. : Pensamiento, 1968. - 302 p.
Akimov O. E. Matemáticas discretas: lógica, grupos, gráficos. - 2ª ed. - M. : "Laboratorio de Conocimientos Básicos", 2003. - 376 p.
HH Nepeyvoda . Dirección constructiva // Nueva enciclopedia filosófica : en 4 volúmenes / anterior. ed. científica consejo de V. S. Stepin . — 2ª ed., corregida. y adicional - M. : Pensamiento , 2010. - 2816 p.

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