La crisis de los fundamentos de las matemáticas
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 27 de abril de 2020; las comprobaciones requieren 5 ediciones .La crisis de los fundamentos de las matemáticas es un término que denota la búsqueda de los fundamentos fundamentales de las matemáticas a finales del siglo XIX y XX.
Comienzo de la crisis
Los fundamentos de las matemáticas son enseñanzas sobre los fundamentos lógicos y filosóficos de las matemáticas, incluida la cuestión de si los axiomas de un sistema dado aseguran su integridad y consistencia [1] , mientras que la crisis de los fundamentos de las matemáticas se entiende como la crisis de la ontología , cuya esencia es la incapacidad para describir objetos, cuyo ser o devenir va más allá de las ideas habituales sobre el mundo. [2]
El enfoque de la teoría de conjuntos, que se desarrolló ampliamente a fines del siglo XIX, hizo posible construir matemáticas sobre una base sólida y, al parecer, confiable: la teoría de conjuntos de Cantor . El desarrollo de la teoría de conjuntos de Cantor condujo a la posibilidad de expresar todos los conceptos matemáticos básicos en términos de esta teoría. Hilbert describió la posibilidad de construir matemáticas sobre una base teórica de conjuntos como un "paraíso para los matemáticos", y llamó a la parte de las matemáticas ya construida sobre esta base "la sinfonía del infinito". Sin embargo, el entusiasmo fue reemplazado por un estado de shock, cuando se descubrió la inconsistencia de este enfoque. [3]
Paradojas
A principios de los siglos XIX y XX, se descubrieron las llamadas paradojas de la teoría de conjuntos .
La esencia de la paradoja radica en el hecho de que con la ayuda de un razonamiento lógicamente correcto es posible fundamentar (demostrar por medio de esta teoría) al mismo tiempo un cierto enunciado y su negación, es decir, una contradicción . Esto significa que esta teoría es inconsistente . Según las leyes de la lógica en una teoría contradictoria, “cualquier cosa es demostrable”, es decir, cualquier afirmación.
El más famoso entre las paradojas abiertas recibió:
Formas de eliminar las paradojas
Para evitar algunas paradojas, se propuso limitar el principio de plegado , una construcción matemática muy extendida que le permite formar conjuntos utilizando ciertas propiedades de los objetos.
Principio de colapso
El principio del plegamiento es que para cualquier propiedad , se considera que existe un conjunto formado por aquellos y solo aquellos objetos que tienen la propiedad . Simbólicamente, el principio de plegado se puede escribir de la siguiente manera:
donde es un conjunto arbitrario.
Principio de pliegue restringido
En el principio de pliegue restringido, se agrega una condición a la condición, según la cual los elementos se toman de algún conjunto dado , cuya existencia se deriva de alguna lista ("fiable") de axiomas. El principio de plegado simbólicamente limitado se puede escribir de la siguiente manera:
Crítica de los principios lógicos existentes
Sin embargo, incluso la eliminación completa de las paradojas descubiertas no salva y no asegura la teoría de conjuntos de nuevas paradojas. Por lo tanto, la tarea de "salvar" las matemáticas seguía siendo relevante. De hecho, los matemáticos se vieron ante la tarea de repensar los medios lógicos utilizados en el razonamiento matemático, la fiabilidad de estos medios y su correspondencia con la esencia de las matemáticas. La única forma de garantizar la imposibilidad de contradicciones en una teoría matemática era probar la consistencia de esta teoría.
Sin embargo, la esencia de la crisis no se limitó a las paradojas, sino que también consistió en lo siguiente.
- En primer lugar, a finales del siglo XIX había importantes diferencias de opinión entre los matemáticos sobre los conceptos y principios matemáticos básicos, así como sobre los principios lógicos utilizados en las matemáticas.
- En segundo lugar, hubo diferencias en los puntos de vista sobre la elección de formas de deshacerse de las paradojas.
- Finalmente, y aparentemente esto es lo más importante, hubo dificultades fundamentales para fundamentar la consistencia de las matemáticas, su "salvación", muchas de las cuales no han sido superadas hasta el momento.
Críticas a algunos principios de la teoría de conjuntos
Paralelamente al descubrimiento de las paradojas (e independientemente de esto), se criticaron una serie de principios lógicos y teóricos de conjuntos.
Esta crítica estaba dirigida principalmente a la abstracción del infinito real . Otro principio de la teoría de conjuntos que causa mucha controversia entre los matemáticos es el famoso axioma de elección . Las disputas en torno al axioma de elección fueron causadas, por un lado, por la obviedad del enunciado y, por otro lado, por la ineficacia de entender la existencia del conjunto de elección, así como por los extraños resultados obtenidos usando (ver la paradoja de Banach-Tarski ). Vale la pena señalar que a pesar de la evidente contradicción del enunciado del teorema con la experiencia cotidiana, este enunciado no es una paradoja en el sentido lógico.
Crítica a algunas leyes lógicas de la lógica tradicional
Los principales objetos de crítica fueron leyes lógicas tales como la ley del tercero excluido , la ley de eliminación de la doble negación y, en consecuencia, el método de prueba por contradicción basado en ella.
El surgimiento de las escuelas lógicas
Como resultado de diferentes puntos de vista sobre el uso de los principios lógicos y de teoría de conjuntos, así como diferentes puntos de vista sobre las formas de salir de la crisis, se formaron diferentes escuelas matemáticas, que se opusieron ferozmente entre sí.
La escuela rectora fue la formalista , cuyo seguidor más destacado fue David Hilbert . Recogió sus ideas en el llamado Programa de Hilbert, que se suponía que justificaba las matemáticas sobre una pequeña base lógica contenida en el finitismo .
El principal oponente de esta escuela fue la escuela de los intuicionistas , que negaba la posibilidad de utilizar la doble negación y consideraba inaceptable aceptar el principio de abstracción del infinito real. Dirigió la escuela Leutzen Brouwer . Rechazó sin miedo el formalismo como un juego sin sentido con símbolos. En 1920, Hilbert aseguró la eliminación de Brouwer, a quien consideraba una amenaza para las matemáticas, del grupo de editores de Mathematische Annalen , la principal revista matemática del momento.
Sin embargo, los teoremas de incompletitud de Gödel , probados en 1931, mostraron que no se podían lograr aspectos clave del programa de Hilbert.
Gödel mostró cómo construir, para cualquier sistema recursivamente axiomatizable lo suficientemente fuerte y consistente (como el que se necesita para axiomatizar una teoría elemental de la aritmética en el conjunto de números naturales), un enunciado para el cual se puede demostrar que es verdadero, pero no demostrable. por el sistema Así, quedó claro que los fundamentos matemáticos no podían reducirse a un sistema puramente formal, como sugería el programa de Hilbert. Esto asestó un golpe demoledor al corazón del programa Hilbert, un programa que asumía que la consistencia podía establecerse por medios finitos.
Al mismo tiempo, la escuela intuicionista no atrajo seguidores permanentes entre los matemáticos activos debido a problemas en las matemáticas constructivas .
Conclusión
Los desacuerdos entre los matemáticos acerca de las leyes lógicas dieron testimonio de la necesidad de estudiar los medios lógicos utilizados en las matemáticas y de revisar estos medios. Estos desacuerdos contribuyeron al desarrollo de la idea de la no unicidad de la lógica como sistema de principios lógicos, lo que resultó en la creación de lógicas no clásicas . La lógica no clásica más importante es la lógica intuicionista .
La crisis aún no ha terminado, pero se ha desvanecido. La mayoría de los matemáticos no trabajan desde el nivel de los sistemas axiomáticos o, si lo hacen, no dudan de la corrección del sistema ZFC , el sistema axiomático más popular. En la mayoría de las ramas de las matemáticas prácticas, las paradojas matemáticas ya no han jugado ningún papel, y en aquellas secciones que están directamente relacionadas con los fundamentos de las matemáticas, en particular, la lógica matemática y la teoría de categorías, pueden pasarse por alto.
Véase también
Notas
- ↑ Kiryanov Denis Alexandrovich. El problema de la inconmensurabilidad y la crisis de los fundamentos de la matemática griega antigua // Pensamiento filosófico. - 2021. - Emisión. 9 _ — S. 54–65 . — ISSN 2409-8728 . -doi : 10.25136 / 2409-8728.2021.9.36464 . Archivado desde el original el 25 de octubre de 2021.
- ↑ Bukin D. N. La crisis de los fundamentos de las matemáticas como crisis de la ontología (ruso) // Boletín de la Universidad de Nizhny Novgorod. N. I. Lobachevsky .. - 2011. - No. 4 . Archivado desde el original el 25 de octubre de 2021.
- ↑ Nagorny N. M. En lugar de un prefacio a la segunda edición. Página VII-XLIV // Markov A. A., Nagorny N. M. Teoría de los Algoritmos. — M.: Fazis, 1995. — 448 p.
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