La cinta de Moebius

La tira de Möbius ( cinta de Möbius, bucle de Möbius ) es un objeto topológico , la superficie no orientable más simple con un límite, de un solo lado cuando está incrustado en el espacio euclidiano tridimensional habitual . $\mathbb{R} ^{3}$

Se cree que la cinta de Möbius fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858, aunque se representa una estructura similar en un mosaico romano del siglo III d.C. [1] [2] .

Se puede hacer fácilmente un modelo de tira de Moebius: debe tomar una tira de papel suficientemente larga y pegar los extremos opuestos de la tira en un anillo, primero volteando uno de ellos. En el espacio euclidiano tridimensional , hay dos tipos de cintas de Möbius según la dirección de giro: derecha e izquierda.

La característica de Euler de una cinta de Möbius es cero.

Ecuaciones

Una forma de representar una cinta de Möbius como un subconjunto es mediante parametrización: $\mathbb{R} ^{3}$

x\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,

y\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,

z\izquierda(u,v\derecha)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},

donde y . Estas fórmulas definen una tira de Möbius de ancho 1, cuyo círculo central tiene radio 1, se encuentra en un plano centrado en . El parámetro corre a lo largo de la cinta y establece la distancia desde el borde. $0\leqslant u<2\pi$ $-1\leqslant v\leqslant 1$ $xy$ $\izquierda(0,\;0,\;0\derecha)$ $tu$ $v$

En coordenadas cilíndricas, una versión sin restricciones de la cinta de Möbius se puede representar mediante la ecuación: $\left(r,\;\theta ,\;z\right)$

\log r\sin {\frac {\theta }{2}}=z\cos {\frac {\theta }{2)),

donde el logaritmo tiene una base arbitraria.

Propiedades

El límite de la tira de Möbius consiste en una única curva cerrada.
Topológicamente , la cinta de Möbius se puede definir como el espacio factorial de un cuadrado con respecto a la relación de equivalencia para . $\left[0,\;1\right]\times \left[0,\;1\right]$ $\left(x,\;0\right)\sim \left(1-x,\;1\right)$ $0\leqslant x\leqslant 1$
La cinta de Möbius es también el espacio de una fibración no trivial sobre un círculo con un segmento de línea de fibra.
La cinta de Möbius se puede colocar con el límite como un círculo perfecto. Una forma es aplicar una proyección estereográfica a una botella de Klein sumergida en una esfera 3D . La idea es esta: sea el círculo unitario en el plano en . Conectando los puntos antípodas en (es decir, puntos en ángulos y ) con un arco de círculo, obtenemos que entre y los arcos se encuentran por encima del plano , y para otros - por debajo (además, en dos lugares los arcos se encuentran en el avión ). $\mathbb{R} ^{3}$ $C$ $xy$ $\mathbb{R} ^{3}$ $C$ $\ theta$ $\theta +\pi$ $\ theta$ ${\ estilo de visualización 0}$ $\pi /2$ $xy$ $\ theta$ $xy$
- Sin embargo, cualquier disco que se pegue al círculo límite inevitablemente cruzará la cinta de Möbius.
Un ejemplo de una tira de Möbius incrustada es la superficie dada por la ecuación ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$

{\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi ))

z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2},

Aquí el parámetro cambia de 0 a . El límite de esta superficie es un círculo . La proyección estereográfica da como resultado una incrustación con un límite que es exactamente un círculo.

\eta

\Pi

{\ estilo de visualización z_{1}=0,|z_{2}|=1}

\mathbb{R} ^{3}

Preguntas abiertas

¿Cuál es el mínimo tal que una cinta de Möbius que no se corta a sí misma se puede doblar a partir de un rectángulo con un lado 1 más pequeño y un lado k más grande (no se permite que el papel se arrugue)? La estimación inferior demostrada es , la estimación superior es [3] . $k$ ${\ frac {\ pi} {2}}$ ${\ sqrt {3}}$
¿Existe alguna fórmula que describa la cinta de Möbius que se obtiene al doblar una hoja plana de papel? Las fórmulas anteriores describen una superficie que no se puede doblar de una hoja de papel porque tiene una curvatura negativa; la pregunta es si es posible describir una superficie de curvatura cero de manera similar. [cuatro]
- Es más difícil encontrar una forma que también minimice la energía de flexión elástica. La solución a este problema, planteada por primera vez por M. Sadowsky en 1930, fue publicada en 2007 [5] . Sin embargo, la solución no está descrita por una fórmula algebraica y es poco probable que tal fórmula exista. Para encontrar la forma de equilibrio espacial de la tira de papel de Möbius, es necesario resolver el problema del valor límite para el sistema de ecuaciones algebraicas diferenciales .

Si la cinta se corta

Si la tira se corta a lo largo de una línea equidistante de los bordes, en lugar de dos tiras de Möbius, se obtendrá una tira larga de doble cara (círculo completo torcido). Esta propiedad de la banda de Möbius se ha utilizado en un viejo truco llamado "Afghan Bands" [6] ( ing. The Afghan Bands ) desde 1904 [7] , también es descrita por Norbert Wiener en I Am a Mathematician (1956) [ 8] y Martin Gardner en Mathematics, Magic and Mystery (1956), este último también afirma que la primera referencia al uso de una tira de Möbius para trucos de magia es de 1882 [9] . Si la cinta resultante se corta por la mitad, se obtienen dos cintas de este tipo, enrolladas una encima de la otra.
Si corta la tira de Möbius, retirándose del borde aproximadamente un tercio de su ancho, entonces se obtienen dos tiras, una es una tira de Möbius más corta, la otra es una tira larga con dos medias vueltas [10] .
Se pueden hacer otras combinaciones de correas a partir de correas con dos o más medias vueltas. Por ejemplo, si corta una cinta con tres medias vueltas, obtendrá una cinta enrollada en un nudo de trébol . Una sección de la cinta con giros adicionales da figuras inesperadas, llamadas anillos paradrómicos .

Arte y tecnología

La cinta de Möbius sirvió de inspiración para las esculturas y el arte gráfico. Escher fue uno de los artistas que le tuvo especial cariño y dedicó varias de sus litografías a este objeto matemático. Uno de los más famosos, "Möbius strip II" [11] , muestra hormigas arrastrándose por la superficie de la cinta de Möbius.

La cinta de Möbius es el emblema de la serie de libros de divulgación científica " Biblioteca "Quantum" ". También es recurrente en la ciencia ficción , como en el cuento de Arthur C. Clarke "The Wall of Gloom". A veces, las historias de ciencia ficción (siguiendo a los físicos teóricos) sugieren que nuestro universo puede ser una tira de Möbius generalizada. Además, el anillo de Möbius se menciona constantemente en las obras del escritor de Ural Vladislav Krapivin , el ciclo " En las profundidades del Gran Cristal " (por ejemplo, "Puesto avanzado en el campo de anclaje. Cuento"). En el cuento de AJ Deitch "Moebius Strip" , el metro de Boston está construyendo una nueva línea cuya ruta se vuelve tan confusa que se convierte en una cinta de Moebius, después de lo cual los trenes comienzan a desaparecer en esta línea. Basado en la historia, se rodó una película de fantasía " Mobius " dirigida por Gustavo Mosquera. Además, la idea de la cinta de Möbius se utiliza en el cuento de M. Clifton "Sobre la cinta de Möbius".

En 1987, el pianista de jazz soviético Leonid Chizhik grabó el álbum Moebius Tape, que también incluía la composición del mismo nombre.

Hay aplicaciones técnicas de la cinta de Möbius. Una tira de cinta transportadora hecha en forma de tira de Möbius durará más porque toda la superficie de la cinta se desgasta uniformemente. Los sistemas de cinta continua también utilizan tiras de Möbius (para duplicar el tiempo de grabación). En muchas impresoras de matriz de puntos , la cinta de tinta también tiene la forma de una tira de Möbius para aumentar su recurso.

También sobre la entrada al Instituto de CEMI RAS hay un mosaico en altorrelieve "Möbius Strip" del arquitecto Leonid Pavlov [12] en colaboración con los artistas E. A. Zharenova y V. K. Vasiltsov (1976) [13] .

A veces se cree que la cinta de Möbius es un prototipo del símbolo del infinito , pero este último apareció dos siglos antes [14] . $\infty$

Variaciones y generalizaciones

Una superficie cerrada de un solo lado es la botella de Klein . Se puede obtener una botella de Klein pegando dos tiras de Möbius a lo largo de los bordes. En el espacio euclidiano tridimensional ordinario , es imposible hacer esto sin crear autointersecciones.
Otra variedad similar es el plano proyectivo . Si perforas un agujero en el plano proyectivo, lo que queda es una tira de Möbius. Por otro lado, si pegas el disco a la tira de Möbius, haciendo coincidir sus límites, entonces el resultado será un plano proyectivo.

Véase también

Notas

↑ Larison, Lorena L. (1973). “La banda de Möbius en los mosaicos romanos”. científico americano . 61 (5): 544-547. Código Bib : 1973AmSci..61..544L .
↑ Cartwright, Julyan HE; González, Diego L. (2016). “Las tiras de Möbius antes de Möbius: indicios topológicos en las representaciones antiguas”. El Inteligencia Matemática . 38 (2): 69-76. arXiv : 1609.07779 . Código Bib : 2016arXiv160907779C . DOI : 10.1007/s00283-016-9631-8 . MR 3507121 .
↑ Tira de Fuchs D. Möbius. Variaciones sobre un tema antiguo Archivado el 15 de noviembre de 2011 en Wayback Machine // Kvant, No. 1, 1979.
↑ Randrup T., Rogen P. Sides of the Möbius strip (inglés) // Archiv der Mathematik : revista. - 1996. - vol. 66 . - Pág. 511-521 .
↑ Starostina. EL , van der Heijden GHM La forma de una cinta de Möbius (inglés) // Nature Materials : revista. -2007. - doi : 10.1038/nmat1929 .
↑ Gardner M. El profesor que no tenía lados. Notas del autor // Ciencia y vida . - 1977. - Nº 5 . - art. 127 . (Ruso)
↑ Profesor Hoffmann. Magia posterior . - Nueva York, Londres: E. P. Dutton & Company, George Routledge & Sons, 1904. - P. 471-473.
↑ Norberto Wiener. Soy Matematico . - Garden City, Nueva York: Doubleday & Company, 1956. - P. 26-27 . En traducción rusa: Norbert Wiener. Soy matemático / Per. De inglés. Yu. S. Rodman. - 2ª ed. - M .: Ciencias , 1967. - S. 19-20.
↑ Martín Gardner. Matemáticas, Magia y Misterio . - Nueva York: Dover Publications, 1956. - P. 70-73 .
↑ Kordemsky B. A. Do -it-yourself topological experiments Copia de archivo del 8 de junio de 2016 en Wayback Machine // Kvant, No. 3, 1974
↑ MC Escher - Mobius Strip II . Consultado el 5 de octubre de 2014. Archivado desde el original el 6 de octubre de 2014. (indefinido)
↑ Asistente de cálculo . Fecha de acceso: 12 de diciembre de 2015. Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2015. (indefinido)
↑ La arquitecta Maria Serova - sobre la "casa con una oreja" de Leonid Pavlov - The Village - The Village . Fecha de acceso: 12 de diciembre de 2015. Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2015. (indefinido)
↑ Tira de Möbius // Revista "Weekend" No. 10 (106) del 20/03/2009 . Consultado el 4 de agosto de 2012. Archivado desde el original el 4 de agosto de 2012. (indefinido)

Literatura

Fomenko A. T., Fuchs D. B. Curso de topología de homotopía.— M.: Nauka, 1989.
Gardner M. Milagros y secretos matemáticos.- M.: Nauka, 1978.

Enlaces

diccionarios y enciclopedias	Gran catalán Britannica (en línea) universalis
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 1106880307

Superficies compactas y sus inmersiones en el espacio tridimensional

La clase de homeoformidad de una superficie triangulada compacta está determinada por la orientabilidad, el número de componentes de contorno y la característica de Euler.

Sin bordes

Orientable	Esfera (género 0) Thor (género 1) "Ocho" (género 2) " Pretzel " (género 3)...
no orientable	plano proyectivo real género 1; Superficie de batalla superficie romana Botella de Klein (género 2) Superficie de pene (género 3) ...

con frontera

Disco
- hemisferio
Cinta
- Anillo
- Cilindro
La cinta de Moebius
- Cinta de Moebius
Esfera con tres agujeros...

Conceptos relacionados

Propiedades	Conectividad compacidad Triangulación o suavidad orientabilidad
Características	Número de componentes de borde Género Característica de Euler
Operaciones	Suma conectada corte de agujeros pegando el mango Colocación de la cinta de Möbius Inmersión