Lógica de segundo orden

La lógica de segundo orden en lógica matemática es un sistema formal que extiende la lógica de primer orden [1] por la posibilidad de cuantificar la generalidad y la existencia no solo sobre variables, sino también sobre predicados y símbolos funcionales. La lógica de segundo orden es irreductible a la lógica de primer orden. A su vez, se extiende por la lógica de orden superior y la teoría de tipos .

Lenguaje y sintaxis

Los lenguajes formales de lógica de segundo orden se construyen alrededor de un conjunto de símbolos de función y un conjunto de símbolos de predicado . Cada símbolo de función y predicado tiene una aridad asociada (número de argumentos). También se utilizan caracteres adicionales ${\ matemáticas {F}}$ ${\ matemáticas {P}}$

Símbolos para variables individuales, generalmente , etc. ${\ estilo de visualización \ x, y, z, x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}, x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}}$
Símbolos de variables funcionales , etc. Cada variable funcional corresponde a un número positivo: la aridad de la función. ${\ estilo de visualización \ F,G,H,F_{1},G_{1},H_{1},F_{2},G_{2},H_{2))$
Símbolos de variables de predicado , etc. Cada variable de predicado corresponde a algún número positivo: la aridad del predicado. ${\ estilo de visualización \ P,R,S,P_{1},R_{1},S_{1},P_{2},R_{2},S_{2))$
Conexiones proposicionales: , $\lor ,\land ,\neg ,\to$
Cuantificadores de generalidad y existencia , $\para todos$ $\existe$
Símbolos de servicio: corchetes y coma.

Los símbolos enumerados, junto con los símbolos , forman el alfabeto de la lógica de primer orden. Las construcciones más complejas se definen inductivamente . ${\ matemáticas {P}}$ ${\ matemáticas {F}}$

Un término es un símbolo de una variable individual, o una expresión que tiene la forma , donde es un símbolo funcional de aridad y son términos, o una expresión de la forma , donde es una variable funcional de aridad y son términos. $\f(t_{1},\ldots,t_{n})$ $\F$ $\norte$ $\ t_{1},\ldots,t_{n}$ $\ F(t_{1},\ldots,t_{n})$ $\F$ $\norte$ $\ t_{1},\ldots,t_{n}$
Un átomo tiene la forma , donde es el predicado símbolo de aridad y son términos o , donde es el predicado variable de aridad y son términos. $\p(t_{1},\ldots,t_{n})$ $pags$ $\norte$ $\ t_{1},\ldots,t_{n}$ $\P(t_{1},\ldots,t_{n})$ $PAGS$ $\norte$ $\ t_{1},\ldots,t_{n}$
Una fórmula es un átomo o una de las siguientes construcciones: , donde son fórmulas y son variables individuales, funcionales y de predicado. (Las construcciones son fórmulas de segundo y no de primer orden ). $\neg A,(A_{1}\lor A_{2}),(A_{1}\land A_{2}),(A_{1}\to A_{2}),\para todo xA,\existe xA ,\para todos FA,\existe FA,\para todos PA,\existe PA$ $\A,A_{1},A_{2}$ $\x,F,P$ $\para todos FA,\existe FA,\para todos PA,\existe PA$

Axiomática y demostración de fórmulas

Semántica

En lógica clásica, la interpretación de fórmulas lógicas de segundo orden se da en un modelo de segundo orden, que está determinado por los siguientes datos.

conjunto básico , $\mathcal{D}$
Característica semántica que muestra $\sigma$
- cada símbolo de función -aria de a función -aria , $norte$ $F$ ${\ matemáticas {F}}$ $norte$ $\sigma (f):{\mathcal {D}}\times \ldots \times {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}$
- cada símbolo de predicado -ario de la relación -ario . $norte$ $pags$ ${\ matemáticas {P}}$ $norte$ $\sigma (p)\subseteq {\mathcal {D}}\times \ldots \times {\mathcal {D}}$

Propiedades

A diferencia de la lógica de primer orden, la lógica de segundo orden no tiene las propiedades de completitud y compacidad . También en esta lógica, el enunciado del teorema de Löwenheim-Skolem es incorrecto .

Notas

↑ Shapiro (1991) y Hinman (2005) brindan introducciones completas al tema, con definiciones completas.

Literatura

Henkin, L. (1950). "Completitud en la teoría de los tipos". Revista de lógica simbólica 15 (2): 81-91.
Hinman, P. (2005). Fundamentos de Lógica Matemática. A. K. Peters. ISBN 1-56881-262-0 .
Shapiro, S. (2000). Fundamentos sin fundacionalismo: un caso de lógica de segundo orden. Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-825029-0 .
Rossberg, M. (2004). "Lógica de primer orden, lógica de segundo orden e integridad". en V. Hendricks et al., eds.. Revisión de la lógica de primer orden. Berlín: Logos Verlag.
Vaananen, J. (2001). "Lógica de segundo orden y fundamentos de las matemáticas". Boletín de lógica simbólica 7 (4): 504-520.

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)

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