Sofisma matemático

El sofisma matemático (del griego σόφισμα - un truco, una invención astuta, un rompecabezas [1] ) es un enunciado matemático erróneo obtenido mediante un razonamiento que parece correcto, pero que en realidad contiene uno u otro error [2] . Las razones del error pueden ser variadas: el uso de acciones prohibidas en matemáticas (por ejemplo, división por cero ), uso inexacto de leyes matemáticas o uso fuera de la zona de su aplicabilidad, errores lógicos , etc.

El sofisma matemático es un caso especial de sofisma . Más adelante en este artículo estamos hablando solo de sofismas matemáticos , que por brevedad se llamarán simplemente sofismas. Los sofismas no deben confundirse con las paradojas científicas (por ejemplo, las aporías de Zenón , la paradoja del cumpleaños o la paradoja de Banach-Tarski ), que no contienen errores y suelen tener un valor científico considerable [2] .

El análisis de los sofismas, la búsqueda de errores en ellos son extremadamente valiosos en el curso de la enseñanza de las matemáticas [3] , ayudan a los alumnos y estudiantes a formar una comprensión clara de las leyes matemáticas y lógicas, y también advierten sobre posibles errores típicos en la aplicación. de estas leyes [2] [4] .

Historia

Proclus Diadochus (siglo V d. C.) en sus comentarios sobre los "Principios" de Euclides dijo que incluso Euclides en el siglo III a. mi. compiló una colección de sofismas matemáticos para ayudar a los estudiantes de geometría; la colección se llamó " Pseudariya " y no ha sobrevivido hasta el día de hoy. El propósito de los sofismas, según Proclo, es enseñar a los estudiantes a detectar errores en el razonamiento y evitarlos en el futuro [4] .

En el futuro, hasta el día de hoy, la literatura educativa, así como las colecciones de matemáticas entretenidas , a menudo incluyen sofismas con la tarea "encontrar el error", sobre la base de los cuales se explican las reglas matemáticas y se verifica el conocimiento de los lectores.

Clasificación de los sofismas

Hay varias opciones para agrupar los sofismas: algunos autores los agrupan según el tipo de temas matemáticos, otros según el tipo de error en el razonamiento y otros combinan ambos enfoques de una forma u otra.

El maestro ruso V. I. Obreimov propuso dividir los sofismas según el tipo de resultado erróneo [5] :

Igualdad de lo desigual.
Desigualdad de iguales.
Menos supera a más.
Inconsistencias geométricas.
Lo imaginario es real (errores en el razonamiento sobre números complejos ).
Ecuaciones irresolubles.

Esta clasificación ha sido criticada por el hecho de que el material reúne diferentes secciones de las matemáticas por un mismo error, lo cual es metodológicamente incorrecto, y además, las características de clasificación no son lo suficientemente significativas [6] .

El matemático alemán Hermann Schubert consideró cuatro tipos de sofismas ("Mathematical Entertainment and Games", 1897) [6] :

División por cero .
La ambigüedad de la raíz cuadrada .
Errores en construcciones geométricas.
Trabajo incorrecto con infinito.

El libro de V. M. Bradis y otros señala lo incompleto de esta lista y ofrece la suya propia [7] :

Habla incorrecta.
Extensión a casos excepcionales (por ejemplo, división por cero).
Asignación de propiedades de una especie particular a todo el género. Por ejemplo, ambos lados de una desigualdad pueden reducirse por un factor positivo común, pero si el factor es negativo, es importante recordar invertir el signo de la desigualdad.
Aplicación incorrecta del principio de inferencia inmediata por conversión. Por ejemplo, la igualdad de números implica la igualdad de sus cuadrados, pero lo contrario no es cierto.
Sustitución de definiciones exactas por intuición geométrica.
errores de construcción,
Errores resultantes de la interpretación literal de la formulación abreviada (condicional) de algunos enunciados geométricos.
Violación del significado de los registros condicionales.
Evasión de tesis , es decir, probar una afirmación distinta a la originalmente enunciada.

El material mismo de los sofismas en el libro de Bradis y otros se presenta estrictamente por temas: aritmética, álgebra, geometría, trigonometría , cálculos aproximados . Este artículo también se adhiere al desglose temático del material como el más conveniente para docentes y alumnos.

Matemáticas elementales

Álgebra

División por cero

sofisma . Sean números arbitrarios. Denotamos su diferencia con una letra , es decir, Multiplicamos esta igualdad por Abre los paréntesis: A continuación, agrupamos los monomios de la siguiente manera: o: $a, b$ ${\ estilo de visualización c,}$ $ab=c.$ $ab\dos puntos \quad(ab)^{2}=c(ab).$ $a^{2}-2ab+b^{2}=ca-cb.$ $a^{2}-ab-ac=ab-b^{2}-bc,$

a(abc)=b(abc).

Reduciendo por obtenemos: es decir, todos los números son iguales. ${\ estilo de visualización abc,}$ $a=b,$

Motivo del error : ya que no tenemos derecho a reducir por porque esta expresión es igual a cero, y es imposible reducir (es decir, dividir) por cero [8] . ${\ estilo de visualización ab = c,}$ ${\ estilo de visualización abc,}$

La división por cero es uno de los errores algebraicos más comunes, y esta división se puede disimular, por ejemplo, reduciendo el factor común. Por ejemplo, reduciendo la ecuación a perdemos la raíz Otro sofisma es la ecuación: ${\ estilo de visualización 9x^{2}=x}$ $X,$ $x=0.$

{\sqrt {x-5}}\cdot x=4{\sqrt {x-5}}.

Reduciendo by no solo perdemos la única raíz de la ecuación, sino que en el camino adquirimos una raíz extra que no está incluida en el rango de valores aceptables de la incógnita, ya que la expresión radical para se vuelve negativa [9] . ${\ estilo de visualización {\ sqrt {x-5)),}$ ${\ estilo de visualización x = 5,}$ ${\ estilo de visualización x = 4,}$ ${\ estilo de visualización x = 4}$

Desigualdades

Sofisma 1 . Sean números positivos arbitrarios, y Multiplicando esta desigualdad por y restando de sus dos partes , obtenemos: Factorizando: $a, b$ ${\ estilo de visualización a> b.}$ $b$ ${\ estilo de visualización a^{2},}$ $ab-a^{2}>b^{2}-a^{2}.$

{\ estilo de visualización a (ba)> (b + a) (ba)}

Reduciendo por (por condición no es igual a cero), obtenemos la desigualdad: Resta el resultado de ambas partes : Es decir, cualquier número positivo también es negativo al mismo tiempo. $licenciado en Letras$ $a>b+a.$ $a,$ ${\ estilo de visualización 0> b.}$ $b$

Causa del error : ambas partes de la desigualdad se pueden reducir por un factor común distinto de cero, pero si este factor es negativo, entonces se debe invertir el signo de la desigualdad. Este es exactamente el caso, ya que después de la reducción obtenemos: el error ha sido eliminado [10] . $ba<0.$ $a<b+a,$

Extrayendo la raíz

Sofisma 1 . Igualdad correcta: se puede escribir como: Extrayendo la raíz cuadrada , obtenemos: de donde: $1-3+{\frac {9}{4}}=4-6+{\frac {9}{4}}$ $\left(1-{\frac {3}{2}}\right)^{2}=\left(2-{\frac {3}{2}}\right)^{2}.$ $1-{\frac {3}{2}}=2-{\frac {3}{2)),$ ${\ estilo de visualización 1 = 2.}$

Causa del error : de la igualdad de los cuadrados de las cantidades, se sigue la igualdad de las mismas cantidades sólo si tienen los mismos signos. La extracción correcta de la raíz da un resultado con un valor absoluto : y entonces el error no ocurre [11] . $\left|1-{\frac {3}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|,$

Sofisma 2 . En la escuela secundaria, la elevación de un número se define no solo a un número entero, sino también a una potencia fraccionaria : considere un sofisma que pruebe que . $a^{m/n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m}.$ ${\ estilo de visualización -1 = 1}$

-1=(-1)^{\frac {2}{2}}=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({( -1)^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}={\color {azul}{\sqrt {\color {negro }1}}}=1

Causa del error : la elevación a una potencia fraccionaria se define solo para números no negativos [12] .

Sofisma 3 . Se debe tener cuidado al elevar los valores de las funciones trigonométricas a una potencia fraccionaria . Parece obvio que, sin embargo, cuando obtenemos una igualdad errónea: Ya se ha explicado anteriormente que la raíz aritmética del cuadrado de un número es igual al valor absoluto del número, por lo que la notación correcta es la siguiente [13] : $(\cos ^{2}x)^{3/2}=\cos ^{3}x,$ $x=\pi$ ${\ estilo de visualización 1 ^ {3/2} = -1.}$ $(\cos ^{2}x)^{3/2}=|\cos x|^{3}.$

Condiciones incorrectas del problema

Sofisma 1 . Resolvemos la ecuación: $3{\sqrt {x}}+x+2=0.$

3{\sqrt {x}}=-(x+2);\quad 9x=x^{2}+4x+4;\quad x^{2}-5x+4=0

x_{1}=4;\quad x_{2}=1

Comprueba: la sustitución de la primera raíz en la ecuación da igualdad ; la sustitución de la segunda da: ${\ estilo de visualización 12 = 0,}$ ${\ estilo de visualización 6 = 0.}$

Causa del error : La ecuación original no tiene soluciones. Esto se puede ver por el hecho de que el lado izquierdo es estrictamente mayor que cero ya que está debajo de la raíz). Al cuadrar aparecieron dos raíces extrañas, pero el cheque las rechazó [14] . ${\ estilo de visualización (x \ geqslant 0,}$

Sofisma 2 . Resolvamos la ecuación: donde es un número real arbitrario . $x^{2}-ax=-{\frac {1}{3}}a^{2},$ $a$

Multiplicando ambos lados de la ecuación por y luego sumándolos, transformamos la ecuación a la forma: Después de extraer la raíz cúbica, obtenemos la ecuación de donde: es decir, todos los números son iguales a cero. ${\ estilo de visualización (-3a)}$ $x^{3}-a^{3},$ ${\ estilo de visualización (xa) ^ {3} = x ^ {3}.}$ ${\ estilo de visualización xa = x,}$ ${\ estilo de visualización a = 0,}$

Motivo del error : tratamos la incógnita como un número real, sin embargo, como puedes ver fácilmente, la ecuación original no tiene raíces reales (excepto en el caso ), porque es discriminante Si consideramos la ecuación en el sistema de complejos números , entonces todos los razonamientos antes de extraer las raíces cúbicas son correctos, pero la raíz cúbica compleja tiene tres valores, por lo que la igualdad de los cubos no implica la igualdad de las cantidades mismas [15] . $X$ $un=0$ $D=-a^{2}/3\leqslant 0.$

Geometría

Sofisma 1 . Cortemos el triángulo en cuatro partes, como se muestra en la parte superior de la figura, y luego formemos un nuevo triángulo del mismo tamaño a partir de estas partes, como se muestra en la parte inferior de la figura. ¡De la reorganización de las partes, el área total cambia en una celda!

Motivo del error : la recta, que parece ser la hipotenusa del triángulo, en realidad es una recta quebrada, es decir, la figura en cuestión no es un triángulo, sino un cuadrilátero . Esto es fácil de deducir del hecho de que en el triángulo rojo la relación de los catetos es de 3:8 y en el azul es de 2:5, que es un poco más grande. Esto significa que la línea discontinua de la figura superior es ligeramente cóncava, la de la figura inferior es ligeramente convexa y la diferencia de área solo da una celda "extra" [16] .

Este sofisma tiene muchas opciones, una de las cuales se muestra en la figura: al mover partes de un rectángulo con un área, obtenemos un rectángulo con un área La razón es similar: un agujero con un área de hueso celda se estira a lo largo de la diagonal del segundo rectángulo. $24\cdot 9=216,$ $31\cdot 7=217.$

Sofisma 2 . Nos basaremos en el signo : dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y uno de los ángulos. Los triángulos ABC y ABC' tienen un ángulo igual y dos lados (un lado común, ) y, por lo tanto, los triángulos son iguales, lo que contradice la construcción de la figura (los ángulos y no son iguales a 90°, por lo que los puntos C y C' no coincidir). $\beta$ $C$ ${\ estilo de visualización b = b'}$ $\gama$ $\gamma '$

Causa del error : formulación descuidada y por lo tanto errónea del criterio de igualdad de los triángulos, correctamente: " dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y el ángulo entre ellos ". En realidad, este sofisma puede considerarse como una refutación convincente de un signo erróneo [17] .

Sofisma 3 : "todos los triángulos son isósceles" (a menudo atribuido a Lewis Carroll [18] ) [19] . Considere un triángulo arbitrario ABC (ver figura). La bisectriz del ángulo A y la perpendicular al punto medio del lado BC se cortan en algún punto O. Dejemos caer las perpendiculares OR (al lado AB) y OQ (al lado AC) desde el punto O, y conectemos también O a los vértices B y C ..

Los triángulos rectángulos RAO y QAO son congruentes porque tienen el mismo lado (AO) y ángulo (∠RAO = ∠QAO). Los triángulos rectángulos ROB y QOC también son iguales porque tienen dos lados iguales: BO = OC y RO = OQ. Pero entonces AR = AQ, RB = QC y el lado AB = AR + RB = AQ + QC = AC es un triángulo isósceles.

Causa del error : dibujo intencionalmente distorsionado. Si se hace con cuidado, el punto O no estará dentro, sino fuera del triángulo (sobre la circunferencia circunscrita al triángulo ). En este caso, uno de los puntos R y Q está en el lado del triángulo, y el otro está en la continuación del otro lado: si el lado , entonces R está adentro, Q está afuera, de lo contrario, viceversa. En el primer caso , menos en lugar de más; el segundo caso se analiza de manera similar [20] . $AB>AC$ $AB=AR+RB;AC=AQ-QC$

trigonometría

sofisma . Consideremos la conocida identidad trigonométrica : En cualquier triángulo, la suma de los ángulos es por lo tanto igual, por un lado, por identidad, y por otro lado, en consecuencia, los ángulos también son iguales: Restando esta igualdad de la identidad: obtenemos: o Conclusión: todo triángulo es rectángulo . $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ ${\ estilo de visualización \ alfa + \ beta + \ gamma = \ pi,}$ ${\ estilo de visualización \ pecado (\ pi - (\ alfa + \ beta))}$ ${\ estilo de visualización \ pecado (\ alfa + \ beta)}$ ${\ estilo de visualización \ pecado \ gamma.}$ ${\ estilo de visualización \ alfa + \ beta = \ gamma.}$ ${\ estilo de visualización \ alfa + \ beta + \ gamma = \ pi,}$ ${\ estilo de visualización 2 \ gamma = \ pi,}$ ${\ estilo de visualización \ gamma = \ pi /2.}$

Motivo del error : la igualdad realmente se da para cualquier triángulo, pero la igualdad de los ángulos no se sigue de él; esto también se muestra en la fórmula En dos ángulos cualesquiera que se complementan entre sí en el seno son iguales [21] . $\sin(\alpha +\beta )=\sin \gamma$ $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ $\Pi ,$

Prueba por inducción

sofisma . Probemos que todos los caballos son del mismo palo. La demostración es por inducción sobre el número de caballos. Cuando la afirmación es trivial. Que todas las manadas de caballos del mismo color; prueba para una manada de caballos. Quitemos un caballo; todos los restantes tienen el mismo palo por la hipótesis de inducción. Devolveremos el caballo a la manada y tomaremos otro caballo. Entonces el caballo previamente separado resulta ser del mismo palo. $norte$ $N=1$ $norte$ $N+1$

Causa del error : la segunda parte de la prueba no funciona al pasar de a (el truco con la separación del caballo no prueba nada) [22] . $N=1$ ${\ estilo de visualización N = 2}$

Este ingenioso sofisma tiene una variación interesante: una prueba de la afirmación de que todos los números enteros son iguales. Probemos por inducción sobre la longitud de un segmento de números naturales . Cuando solo hay un número en el segmento y la afirmación es verdadera. Sea cierto el enunciado para los primeros números, probemos para Tomemos dos números arbitrarios Por la suposición inductiva pero entonces ■ El error aquí es similar al anterior: para un segmento de longitud 2, el valor va más allá de la suposición inductiva, destruyendo la lógica de la prueba [23] . $norte$ ${\ estilo de visualización 1, 2, 3, \ puntos, N}$ $N=1$ $norte$ ${\ estilo de visualización N+1.}$ $1\leqslant a,b\leqslant N+1.$ ${\ estilo de visualización a-1 = b-1,}$ $a=b$ ${\ estilo de visualización a = 1, b = 2}$ ${\ estilo de visualización a-1}$

Matemáticas Superiores

Números complejos

Sofisma 1 . La unidad imaginaria se define como tal Pero resulta que ${\ sqrt {-1}),$ ${\ estilo de visualización i ^ {2} = -1.}$ $i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)))={\sqrt {1 }}=1.$ ${\ estilo de visualización 1 = -1.}$

Causa del error : en el sistema de los números complejos, hay que tener cuidado con las raíces. La raíz aritmética , denotada por el signo radical , solo se define para números reales positivos, y las raíces cuadradas complejas de números negativos tienen dos valores. Por lo tanto, la igualdad debe reemplazarse por y luego no se produce ningún error [24] . ${\ estilo de visualización {\ sqrt {1}} = 1}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {1}} = \ pm 1,}$

Sofisma 2 . Elevemos la identidad conocida a la potencia .A la izquierda, saldrá a la derecha, obviamente, 1. Como resultado: lo cual, como es fácil de comprobar, está mal. ${\ estilo de visualización e ^ {2 \ pi i} = 1}$ $i.$ ${\ estilo de visualización e ^ {-2 \ pi},}$ ${\ estilo de visualización e ^ {-2 \ pi} = 1,}$

Causa del error : elevar a una potencia compleja da un resultado de varios valores, por lo que la regla no se aplica aquí, debe usar la definición general (ver Potencia compleja ); Cuidadosa aplicación de las fórmulas para determinar el grado complejo da a la izquierda y a la derecha, de aquí se puede ver que la raíz del error es la confusión de los valores de esta expresión por y para ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc))$ $e^{-2\pik};$ $k=0$ ${\ estilo de visualización k = 1.}$

Límites de funciones

Sofisma 1 . Encontremos el límite de la expresión cuando Si primero aspiramos , entonces el límite es (sin importar el valor ), y si comenzamos desde entonces, el límite es Resulta que cualquier número es igual a su inverso. ${\frac{ax+y}{x+ay)),$ $x,y\to \infty .$ $x\a\infty,$ $a$ $y$ ${\ estilo de visualización y,}$ ${\ estilo de visualización 1/a.}$

Causa del error : de hecho, el error está solo en la salida final. La permutación del orden de los límites parciales , en términos generales, puede cambiar el resultado [25] .

Acciones con filas infinitas

Sofisma 1 . Considere una serie infinita para el logaritmo natural , obtenida de la serie de Mercator con $\ln 2$ ${\ estilo de visualización x = 1 \ dos puntos}$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5 }}-{\frac {1}{6}}\puntos

Agrupemos términos con los mismos signos:

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\dots \right)-\left({\frac {1}{2 }}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac { 1}{5}}\puntos \derecha)+\izquierda({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\puntos \ derecha)-2\izquierda({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\puntos \derecha)

Combinando los dos primeros corchetes y sumando un factor de 2 dentro del tercer corchete, obtenemos la diferencia de dos valores idénticos, es decir cero, aunque no es igual a cero: $\ln 2$

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)- \left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)=0

Causa del error : no se permiten todos los reordenamientos de los miembros de la serie, solo es válido para series absolutamente convergentes . En particular, la representación de una serie inicial convergente como la diferencia de dos series divergentes es incorrecta. La serie se llama " armónica ", y diverge, aunque difiere de la original sólo en los signos de los términos [26] . $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\ puntos$

Integración

Integral indefinida

sofisma . Integramos dos identidades:

{\frac {d}{dx}}\sin ^{2}x=2\sin x\cos x;\quad {\frac {d}{dx}}\cos ^{2}x=- 2\sen x\cos x.

Resultados:

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x;\quad \int {\sin x\cos xdx}=-{\frac { 1}{2}}\cos ^{2}x

Restando el segundo de la primera ecuación, obtenemos:

{\ estilo de visualización \ pecado ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 0,}

mientras que el derecho debe ser 1.

Motivo del error : se olvidaron de incluir constantes de integración en los valores de integrales indefinidas [27] :

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x+C_{1};\quad \int {\sin x\cos xdx}= -{\frac{1}{2}}\cos^{2}x+C_{2}

Integral definida

Sofisma 1 . Encontremos la integral de una función positiva usando la fórmula de Newton-Leibniz :

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2.

La integral de una función positiva resultó ser negativa ("La paradoja de D'Alembert", 1768) [28] .

Causa del error : el integrando es discontinuo (y no limitado) en cero, por lo que la fórmula de Newton-Leibniz no le es aplicable.

Sofisma 2 . Encontremos la integral de una función positiva por el método de cambio de variable :

I=\int \limits _{-1}^{1}x^{2}dx

Introduzcamos una nueva variable ; el segmento de integración para irá al segmento para : $y=x^{2};dy=xdx$ ${\ estilo de visualización [-1; 1]}$ $X$ ${\ estilo de visualización [1; 1]}$ $y$

I=\int \limits _{1}^{1}{\sqrt {y}}dy=0.

Respuesta correcta:

I={\frac{2}{3)).

Causa del error : al reemplazar una variable, la variable antigua y la nueva deben estar en correspondencia uno a uno , de lo contrario, la función inversa no está definida [29] ; en el sofisma se viola esta regla. ${\ estilo de visualización x = x (y)}$

Otros sofismas

Algunos ejemplos adicionales de sofismas y conclusiones paradójicas que provocaron una animada discusión en la comunidad científica:

Notas

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↑ 1 2 3 Madera A. G., Madera D. A., 2003 , p. 3-4.
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↑ 1 2 Bradis et al., 1959 , p. 7-11.
↑ Obreimov, 1889 .
↑ 1 2 Bradis et al., 1959 , p. 11-14.
↑ Bradis et al., 1959 .
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↑ Paradoja del Triángulo de Curry . Consultado el 31 de agosto de 2019. Archivado desde el original el 31 de agosto de 2019. (indefinido)
↑ Para un análisis del problema de construir un triángulo con dos lados y un ángulo que no esté entre ellos, consulte el artículo Resolver triángulos o en el libro de referencia: Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales. - M. : Nauka, 1978. - S. 294.
↑ De hecho, el sofisma se publicó por primera vez en el libro: Ball WWR Mathematical Recreations and Essays (1892), del que Carroll lo tomó.
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Enlaces

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