El sofisma matemático (del griego σόφισμα - un truco, una invención astuta, un rompecabezas [1] ) es un enunciado matemático erróneo obtenido mediante un razonamiento que parece correcto, pero que en realidad contiene uno u otro error [2] . Las razones del error pueden ser variadas: el uso de acciones prohibidas en matemáticas (por ejemplo, división por cero ), uso inexacto de leyes matemáticas o uso fuera de la zona de su aplicabilidad, errores lógicos , etc.
El sofisma matemático es un caso especial de sofisma . Más adelante en este artículo estamos hablando solo de sofismas matemáticos , que por brevedad se llamarán simplemente sofismas. Los sofismas no deben confundirse con las paradojas científicas (por ejemplo, las aporías de Zenón , la paradoja del cumpleaños o la paradoja de Banach-Tarski ), que no contienen errores y suelen tener un valor científico considerable [2] .
El análisis de los sofismas, la búsqueda de errores en ellos son extremadamente valiosos en el curso de la enseñanza de las matemáticas [3] , ayudan a los alumnos y estudiantes a formar una comprensión clara de las leyes matemáticas y lógicas, y también advierten sobre posibles errores típicos en la aplicación. de estas leyes [2] [4] .
Proclus Diadochus (siglo V d. C.) en sus comentarios sobre los "Principios" de Euclides dijo que incluso Euclides en el siglo III a. mi. compiló una colección de sofismas matemáticos para ayudar a los estudiantes de geometría; la colección se llamó " Pseudariya " y no ha sobrevivido hasta el día de hoy. El propósito de los sofismas, según Proclo, es enseñar a los estudiantes a detectar errores en el razonamiento y evitarlos en el futuro [4] .
En el futuro, hasta el día de hoy, la literatura educativa, así como las colecciones de matemáticas entretenidas , a menudo incluyen sofismas con la tarea "encontrar el error", sobre la base de los cuales se explican las reglas matemáticas y se verifica el conocimiento de los lectores.
Hay varias opciones para agrupar los sofismas: algunos autores los agrupan según el tipo de temas matemáticos, otros según el tipo de error en el razonamiento y otros combinan ambos enfoques de una forma u otra.
El maestro ruso V. I. Obreimov propuso dividir los sofismas según el tipo de resultado erróneo [5] :
Esta clasificación ha sido criticada por el hecho de que el material reúne diferentes secciones de las matemáticas por un mismo error, lo cual es metodológicamente incorrecto, y además, las características de clasificación no son lo suficientemente significativas [6] .
El matemático alemán Hermann Schubert consideró cuatro tipos de sofismas ("Mathematical Entertainment and Games", 1897) [6] :
El libro de V. M. Bradis y otros señala lo incompleto de esta lista y ofrece la suya propia [7] :
El material mismo de los sofismas en el libro de Bradis y otros se presenta estrictamente por temas: aritmética, álgebra, geometría, trigonometría , cálculos aproximados . Este artículo también se adhiere al desglose temático del material como el más conveniente para docentes y alumnos.
sofisma . Sean números arbitrarios. Denotamos su diferencia con una letra , es decir, Multiplicamos esta igualdad por Abre los paréntesis: A continuación, agrupamos los monomios de la siguiente manera: o:
Reduciendo por obtenemos: es decir, todos los números son iguales.
La división por cero es uno de los errores algebraicos más comunes, y esta división se puede disimular, por ejemplo, reduciendo el factor común. Por ejemplo, reduciendo la ecuación a perdemos la raíz Otro sofisma es la ecuación:
Reduciendo by no solo perdemos la única raíz de la ecuación, sino que en el camino adquirimos una raíz extra que no está incluida en el rango de valores aceptables de la incógnita, ya que la expresión radical para se vuelve negativa [9] .
DesigualdadesSofisma 1 . Sean números positivos arbitrarios, y Multiplicando esta desigualdad por y restando de sus dos partes , obtenemos: Factorizando:
Reduciendo por (por condición no es igual a cero), obtenemos la desigualdad: Resta el resultado de ambas partes : Es decir, cualquier número positivo también es negativo al mismo tiempo.
Sofisma 1 . Igualdad correcta: se puede escribir como: Extrayendo la raíz cuadrada , obtenemos: de donde:
Sofisma 2 . En la escuela secundaria, la elevación de un número se define no solo a un número entero, sino también a una potencia fraccionaria : considere un sofisma que pruebe que .
Sofisma 3 . Se debe tener cuidado al elevar los valores de las funciones trigonométricas a una potencia fraccionaria . Parece obvio que, sin embargo, cuando obtenemos una igualdad errónea: Ya se ha explicado anteriormente que la raíz aritmética del cuadrado de un número es igual al valor absoluto del número, por lo que la notación correcta es la siguiente [13] :
Condiciones incorrectas del problemaSofisma 1 . Resolvemos la ecuación:
Comprueba: la sustitución de la primera raíz en la ecuación da igualdad ; la sustitución de la segunda da:
Sofisma 2 . Resolvamos la ecuación: donde es un número real arbitrario .
Multiplicando ambos lados de la ecuación por y luego sumándolos, transformamos la ecuación a la forma: Después de extraer la raíz cúbica, obtenemos la ecuación de donde: es decir, todos los números son iguales a cero.
Sofisma 1 . Cortemos el triángulo en cuatro partes, como se muestra en la parte superior de la figura, y luego formemos un nuevo triángulo del mismo tamaño a partir de estas partes, como se muestra en la parte inferior de la figura. ¡De la reorganización de las partes, el área total cambia en una celda!
Este sofisma tiene muchas opciones, una de las cuales se muestra en la figura: al mover partes de un rectángulo con un área, obtenemos un rectángulo con un área La razón es similar: un agujero con un área de hueso celda se estira a lo largo de la diagonal del segundo rectángulo.
Sofisma 2 . Nos basaremos en el signo : dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y uno de los ángulos. Los triángulos ABC y ABC' tienen un ángulo igual y dos lados (un lado común, ) y, por lo tanto, los triángulos son iguales, lo que contradice la construcción de la figura (los ángulos y no son iguales a 90°, por lo que los puntos C y C' no coincidir).
Sofisma 3 : "todos los triángulos son isósceles" (a menudo atribuido a Lewis Carroll [18] ) [19] . Considere un triángulo arbitrario ABC (ver figura). La bisectriz del ángulo A y la perpendicular al punto medio del lado BC se cortan en algún punto O. Dejemos caer las perpendiculares OR (al lado AB) y OQ (al lado AC) desde el punto O, y conectemos también O a los vértices B y C ..
Los triángulos rectángulos RAO y QAO son congruentes porque tienen el mismo lado (AO) y ángulo (∠RAO = ∠QAO). Los triángulos rectángulos ROB y QOC también son iguales porque tienen dos lados iguales: BO = OC y RO = OQ. Pero entonces AR = AQ, RB = QC y el lado AB = AR + RB = AQ + QC = AC es un triángulo isósceles.
sofisma . Consideremos la conocida identidad trigonométrica : En cualquier triángulo, la suma de los ángulos es por lo tanto igual, por un lado, por identidad, y por otro lado, en consecuencia, los ángulos también son iguales: Restando esta igualdad de la identidad: obtenemos: o Conclusión: todo triángulo es rectángulo .
sofisma . Probemos que todos los caballos son del mismo palo. La demostración es por inducción sobre el número de caballos. Cuando la afirmación es trivial. Que todas las manadas de caballos del mismo color; prueba para una manada de caballos. Quitemos un caballo; todos los restantes tienen el mismo palo por la hipótesis de inducción. Devolveremos el caballo a la manada y tomaremos otro caballo. Entonces el caballo previamente separado resulta ser del mismo palo.
Este ingenioso sofisma tiene una variación interesante: una prueba de la afirmación de que todos los números enteros son iguales. Probemos por inducción sobre la longitud de un segmento de números naturales . Cuando solo hay un número en el segmento y la afirmación es verdadera. Sea cierto el enunciado para los primeros números, probemos para Tomemos dos números arbitrarios Por la suposición inductiva pero entonces ■ El error aquí es similar al anterior: para un segmento de longitud 2, el valor va más allá de la suposición inductiva, destruyendo la lógica de la prueba [23] .
Sofisma 1 . La unidad imaginaria se define como tal Pero resulta que
Sofisma 2 . Elevemos la identidad conocida a la potencia .A la izquierda, saldrá a la derecha, obviamente, 1. Como resultado: lo cual, como es fácil de comprobar, está mal.
Sofisma 1 . Encontremos el límite de la expresión cuando Si primero aspiramos , entonces el límite es (sin importar el valor ), y si comenzamos desde entonces, el límite es Resulta que cualquier número es igual a su inverso.
Sofisma 1 . Considere una serie infinita para el logaritmo natural , obtenida de la serie de Mercator con
Agrupemos términos con los mismos signos:
Combinando los dos primeros corchetes y sumando un factor de 2 dentro del tercer corchete, obtenemos la diferencia de dos valores idénticos, es decir cero, aunque no es igual a cero:
sofisma . Integramos dos identidades:
Resultados:
Restando el segundo de la primera ecuación, obtenemos:
mientras que el derecho debe ser 1.
Sofisma 1 . Encontremos la integral de una función positiva usando la fórmula de Newton-Leibniz :
La integral de una función positiva resultó ser negativa ("La paradoja de D'Alembert", 1768) [28] .
Sofisma 2 . Encontremos la integral de una función positiva por el método de cambio de variable :
Introduzcamos una nueva variable ; el segmento de integración para irá al segmento para :
Respuesta correcta:Algunos ejemplos adicionales de sofismas y conclusiones paradójicas que provocaron una animada discusión en la comunidad científica: