Distribución multinomial

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La distribución multinomial (polinomial) en la teoría de la probabilidad es una generalización de la distribución binomial al caso de n>1 ensayos independientes de un experimento aleatorio con k>2 resultados posibles.

Definición

Sean variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas , tal que su distribución esté dada por la función de probabilidad [1] : $X_{1},\ldots,X_{n}$

\mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots,k

Intuitivamente , el evento significa que la prueba con el número condujo al resultado . Deje que la variable aleatoria sea igual al número de intentos que condujeron al resultado : ${\ estilo de visualización \ {X_ {i} = j \}}$ $i$ $j$ ${\ Displaystyle Y_ {j}}$ $j$

Y_{j}=\sum_{i=1}^{n}\mathbf {1}_{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots,k

Entonces la distribución vectorial tiene una función de probabilidad ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots,Y_{k})^{\top ))$

{\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}p_{1} ^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}=n\\0,&\sum \ límites _ {j=1}^{k}y_{j}\not =n\end{matriz}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k} )^{\superior}\en \mathbb {N} _{1}^{k))

dónde

{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!))

es el coeficiente multinomial .

Vector medio y matriz de covarianza

La expectativa matemática de una variable aleatoria tiene la forma [1] : . Los elementos diagonales de la matriz de covarianza son varianzas de variables aleatorias binomiales , y por lo tanto ${\ Displaystyle Y_ {j}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j))$ $\Sigma =(\sigma_{{ij}})$

\sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots,k

Para el resto de elementos tenemos

\sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j

El rango de la matriz de covarianza de la distribución multinomial es . $k-1$

Notas

↑ 1 2 Groot, 1974 , pág. 55-56.

Literatura

M. de Groot Decisiones estadísticas óptimas = Decisiones estadísticas óptimas. —M.: Mir, 1974. — 492 p.

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4263656-5

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula