La notación de Conway es una forma de describir nudos , haciendo obvias muchas propiedades de los nudos. La notación muestra la estructura del nudo, construyéndolo con la ayuda de algunas operaciones sobre tejidos . La notación fue desarrollada por John Horton Conway .
tejido (también un manojo o enredo, enredo) [1] : un objeto que consta de varios hilos, ubicados de alguna manera en un área limitada del espacio, con extremos en el borde de esta área; como un nudo, el tejido se puede representar como un diagrama en un plano. La notación de Conway utiliza 2 tramas algebraicas. Un tejido de 2 consiste en dos arcos que van a los 4 extremos de su diagrama. "Algebraicas" significa que se construyen utilizando operaciones de un conjunto específico, que se describe a continuación.
Los enredos algebraicos más simples son números enteros que constan de varias intersecciones idénticas consecutivas. Los tejidos enteros se denotan con un solo número entero que indica el número de intersecciones; el signo del número depende del tipo de estas intersecciones. Si los arcos no se intersecan, o se pueden convertir en arcos que no se intersecan usando movimientos de Reidemeister , entonces el tejido se denota como 0 o ∞, dependiendo de su orientación.
Si el tejido a se refleja con respecto a la recta noroeste/sureste, el nuevo tejido resultante se denota −a ( tenga en cuenta que esto es diferente del tejido con intersecciones invertidas). Los tejidos tienen tres operaciones binarias : suma , producto y ramificación (ramificación) [2] , sin embargo, todas ellas pueden expresarse mediante operaciones de suma y resta. El producto de enredos ab es equivalente a − a+b , y la ramificación a,b es equivalente a − a+ − b .
Varios tejidos enteros, unidos por ramificación, al cerrar los extremos exteriores, generan un empalme de encaje .
Un politopo base en el contexto de la notación de Conway es un gráfico plano sin bucles ni aristas múltiples, cada vértice tiene un grado 4 (la única excepción es el politopo base, llamado 1 * , que es el único vértice con dos bucles). Un nudo o vínculo se obtiene sustituyendo enredos algebraicos en los vértices de poliedros básicos. Así, uno puede obtener todos los nudos y enlaces hasta un número dado de intersecciones considerando politopos básicos con un número suficiente de vértices y enredos algebraicos con un número suficiente de intersecciones. Hay relativamente pocos politopos básicos con un pequeño número de vértices: por ejemplo, de los politopos básicos con hasta 10 vértices, además de 1 * , solo hay 1 politopo con 6, 8 y 9 vértices, y 3 con 10 vértices (secuencia A078666 en OEIS ).
La notación de Conway requiere que se especifique la numeración de los vértices de todos los politopos base involucrados y la forma en que se insertan los tejidos en estos vértices. Entonces la notación de un nudo o eslabón consiste en la designación del poliedro base, seguida de las designaciones de las marañas algebraicas insertadas en sus vértices, por ejemplo: "8 * 2.1.3.4.1.1.5.1". Conway desarrolló un sistema de abreviaturas para esta entrada, teniendo en cuenta que el ejemplo dado se convierte en "8 * 2:3.4:.5".
La notación de Conway es ambigua en el sentido de que a veces es posible representar un nudo o enlace como dos diagramas diferentes, cada uno con un número mínimo de intersecciones, pero al mismo tiempo escrito en la notación de Conway incluso con diferentes poliedros básicos [3] .