Signo dini

La prueba de Dini es una prueba para la convergencia puntual de la serie de Fourier. A pesar de que la serie de Fourier de la función de converge a ella en el sentido de la -norma , no tiene por qué converger a ella puntualmente (incluso en el caso de una función continua ). Sin embargo, bajo algunas condiciones adicionales (por ejemplo, en el caso de que la función sea suave o al menos satisfaga la condición de Hölder o Lipschitz con algún exponente positivo), la convergencia puntual aún tiene lugar. $L_2([-\pi,\pi])$ $L_{2}$

La convergencia de la serie de Fourier en un punto particular es una propiedad local de la función: si dos funciones coinciden en alguna vecindad del punto , entonces sus series de Fourier en ese punto convergen o divergen simultáneamente. $t$

La prueba de Dini establece una condición muy general para tal convergencia. Nombrado en honor al matemático italiano Ulises Dini .

Signo de Dini

Establecido para $\delta>0$

$\omega _{f}(t,\delta )=\sup \limits _{{s:|st|\leqslant \delta }}|f(t)-f(s)|$ .

( módulo de continuidad de una función en un punto ). $F$ $t$

Si la función cumple la condición $F$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{f}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty$ ,

entonces su serie de Fourier en el punto converge a . $t$ $pie)$

Comentario. Las condiciones para la prueba Dini se cumplen, en particular, cuando

$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant C\left({\frac 1({\mathop {{\mathrm {ln)))){\frac 1\delta ))}\right)^{ \gama},$

donde (Esta es una condición mucho más débil que cualquier condición de Hölder). No puedes tomarlo . $\gamma >1$ $\gamma=1$

Signo Dini modificado

Una modificación del criterio de Dini también es válida para el caso en que la función tiene una discontinuidad en el punto , pero sin embargo sus restricciones a intervalos pueden extenderse a funciones que satisfacen el criterio de Dini. $F$ $t$ $(t-\varepsilon,t)$ $(t,t+\varepsilon)$

Sean algunos números. Establecido para $f_{+},f_{-}$ $\delta>0$

$\omega _{{f,f_{+}}}^{+}(t,\delta ):=\sup \limits _{{s\in (t,t+\delta )}}|f(s)- f_{+}|$ ,

$\omega _{{f,f_{-}}}^{-}(t,\delta ):=\sup \limits _{{s\in (t-\delta ,t)}}|f(s) -f_{-}|$ .

Si los números y la función son tales que $f_{+}$ $F_{-}$ $F$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{{f,f_{+}}}^{+}(t,\delta )\,d\delta }{\delta } }<+\infty$ ,

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\omega _{{f,f_{-}}}^{-}(t,\delta )\,d\delta }{\delta } }<+\infty$ ,

entonces la serie de Fourier de la función en el punto converge a . $F$ $t$ ${\frac{f_{+}+f_{-}}2}$

El signo de Dini-Lipschitz

Si el módulo de continuidad de una función en un punto satisface la condición $F$ $t$

$\omega _{f}(t,\delta )=o\left({\frac 1({\mathop ({\mathrm {ln)))){\frac 1\delta }}}\right)$ ,

entonces la serie de Fourier de la función en el punto converge a $F$ $t$ $pie)$

Precisión de las características de Dini y Dini-Lipschitz

Si una función no negativa creciente es tal que $\Omega$

$\int \limits _{{0+}}\limits {\frac {\Omega (\delta )\,d\delta }{\delta }}=+\infty$ ,

entonces existe una función tal que $F$

$\omega _{f}(t,\delta )\leqslant \Omega (\delta )$

para todos suficientemente pequeño , y la serie de Fourier de la función diverge en el punto . $\delta$ $F$ $t$

Existe una función con una serie de Fourier divergente en cero que satisface la condición $F$

$\omega _{f}(0,\delta )=O\left({\frac 1({\mathop ({\mathrm {ln)))){\frac 1\delta }}}\right)$ ,

Un ejemplo de aplicación de la prueba de Dini: la suma de cuadrados inversos

Considere la continuación periódica de la función del intervalo : $x^{2}$ $[-\pi ,\pi )$

$f(x)=\left(\pi \left\{{\frac {x}{\pi }}\right\}\right)^{2},$

donde los corchetes denotan la parte fraccionaria del número . Es fácil encontrar la expansión de esta función en una serie de Fourier:

$f(x)\sim {\frac {\pi ^{2}}3}+4\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n} {n^{2}}}\cos nx$

Sustituyendo y , y usando la prueba de Dini convencional y modificada, respectivamente, para justificar la convergencia puntual, obtenemos las igualdades: $x=0$ $x=\pi$

$\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^ {2}}{12}}$

$\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ .

Véase también

teorema de dini

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich