Signo de Jamet

El signo de Jamet es un signo de la convergencia de series numéricas con términos positivos, establecida por Victor Jamet [1] .

Redacción

La serie converge si se cumple la siguiente desigualdad para: $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $n>N$

J_{n}={\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

donde _ $\delta>0$

Si , para , entonces la serie diverge. $J_{n}\leqslant 1$ $n>N$

Prueba [2]

1. Que se cumpla la siguiente condición para la serie: $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\geqslant \delta >1

Transformemos esta desigualdad a la forma:

0\leqslant a_{n}\leqslant \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\right)^{n}

Dado que siempre es posible encontrar una suficientemente grande tal que: $n>N$

1-{\frac{\delta\lnn}{n}}>0

entonces podemos ir a la expresión:

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n))\right)\right)

Aplicando el desarrollo de la función en una serie de Maclaurin con residuo en forma de Peano, se obtiene: $\ln(1-x)$

0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(-\delta \ln n-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n))+o\left ({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\derecho)\derecho)

Quitemos el primer término de debajo del exponente:

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta ))}\exp \left(-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n)) +o\izquierda({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\derecha)\derecha)

Ahora aquí aplicamos la expansión de la serie de Maclaurin para la función : $e^{x}$

$0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 ))))+o\izquierda({\frac {\ln ^{2}n}{n^({\delta +1))))\derecha)$

Despreciando infinitesimal y teniendo en cuenta que , obtenemos: $\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^({\delta +1))))\geqslant 0$

0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{{\delta +1 }}}}\leqslant {\frac 1{n^{\delta }}}

Esto último, según el criterio de comparación , significa que la serie en consideración converge y diverge simultáneamente con la serie ( serie de Dirichlet ), que converge en y diverge en . $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac 1{n^{\delta }}}$ $\delta>1$ $\delta \leqslant 1$

2. Que se cumpla la siguiente condición para la serie: $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

{\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}\right)\leqslant 1

Transformemos esta desigualdad a la forma:

a_{n}\geqslant \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{n}=\exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\derecho)\derecho)

Aplicando el desarrollo de la serie de Maclaurin dos veces con el resto del término en la forma de Peano, obtenemos:

a_{n}\geqslant {\frac 1{n}}-{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{2}}}+o\left({\frac {\ln ^{2} n}{n^{2}}}\derecha)=o\izquierda({\frac 1{n}}\derecha)

Es decir, según la prueba de comparación , la serie en cuestión diverge porque la serie ( serie armónica ) diverge. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac 1{n}}$

Formulación en forma límite

Si hay un límite:

J=\lim _{{n\to \infty}}J_{n}

entonces para , la serie converge y para , diverge. $J>1$ $j<1$

Generalización [3]

Sean tres funciones definidas positivas sobre: , y y sean indefinidamente crecientes, y se cumplan las siguientes condiciones para ellas: $\matemáticas {N}$ $\varphi(n),g(n),f(n)$ $\varfi (n)$ $f(n)$

$\lim _{{n\to \infty}}{\frac {\varphi (n)g(n)}{f(n)\ln n}}=q$
$\lim _{{n\to \infty}}{\frac {g(n)}{f(n)}}=0$ .

Entonces, si para la serie , para , se cumple la siguiente desigualdad: $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\right){\frac {f(n)}{g(n)))}\geqslant p>{\ fracción 1{q}}

, entonces la serie converge.

Si para la serie , para , se cumple la siguiente desigualdad: $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $n>N$

\left(1-a_{n}^{{\frac 1{\varphi (n)}}}\right){\frac {f(n)}{g(n)))}\leqslant p<{\ fracción 1{q}}

, entonces la serie diverge.

Notas

↑ V. Jamet. Error: parámetro no establecido |заглавие=en la plantilla {{ publicación }} // Mathesis. - 1892. - S. 80.
↑ número
↑ A. V. Antonova Adición al signo de Jamet

Literatura

BP Demidovich Colección de problemas y ejercicios de análisis matemático, p. 254.

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich