Distribución Weibull

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 3 de octubre de 2013; las comprobaciones requieren 44 ediciones .

Distribución Weibull
Densidad de probabilidad
función de distribución
Designacion	$\mathrm{W}(k,\lambda)$
Opciones	${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$ - factor de escala , - factor de forma $k>0$
Transportador	$x\in [0;+\infty)$
Densidad de probabilidad	$(k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}$
función de distribución	$1-e^{-(x/\lambda)^k}$
Valor esperado	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)$
Mediana	${\ estilo de visualización \ lambda \ ln (2) ^ {1/k))$
Moda	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k))}{k^{\frac{1}{k))},$ por $k>1$
Dispersión	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$
Coeficiente de asimetría	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3} {\sigma^3}$
Coeficiente de curtosis	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac 4k}\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+{\frac 3k}\right) +6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac 2k}\right)-3\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$
entropía diferencial	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\ lambda}{k}\right)$
Función generadora de momentos	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!)}}\Gamma (1+n/k),\ k \ geq 1$
función característica	$\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$

La distribución de Weibull en la teoría de la probabilidad es una familia de dos parámetros de distribuciones absolutamente continuas . Nombrado en honor a Waloddy Weibull , quien lo describió en detalle en 1951, aunque Fréchet lo definió por primera vez en 1927, y se aplicó ya en 1933 para describir la distribución de tamaños de partículas.

Definición

Sea la distribución de una variable aleatoria dada por la densidad que tiene la forma: $X$ $f_{X}(x)$

f_X(x) = \left\{ \begin{matriz} \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-\left (\frac{x}{\lambda}\right)^k}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matriz} \right..

Entonces decimos que tiene una distribución de Weibull. Escribe: . $X$ $X\sim \mathrm {W} (k,\lambda)$

Si el valor de X se toma como tiempo hasta la falla , se obtiene una distribución en la que la tasa de falla es proporcional al tiempo. Después:

k < 1 muestra que la tasa de fallas disminuye con el tiempo
k = 1 muestra que la tasa de falla no cambia con el tiempo
k > 1 muestra que la tasa de falla aumenta con el tiempo

En ciencia de los materiales, el coeficiente k se conoce como módulo de Weibull.

Propiedades

Función de densidad

La forma de la función de densidad de Weibull depende en gran medida del valor de k . Para 0 < k < 1, la densidad tiende a infinito a medida que y decrece estrictamente. Para k = 1, la densidad tiende a 1/λ a medida que y decrece estrictamente. Para k > 1, la densidad tiende a 0 en , aumenta hasta alcanzar su moda y luego decrece. Es interesante notar que la densidad tiene una pendiente negativa infinita en x = 0 para 0 < k < 1 , una pendiente positiva infinita en x = 0 para 1 < k < 2 y una pendiente cero en x = 0 para k > 2. Para k = 2, la densidad tiene una pendiente positiva finita en x = 0. En , la distribución de Weibull converge en una función delta centrada en x = λ . Además, el coeficiente de asimetría y el coeficiente de variación dependen únicamente del coeficiente de forma. ${\ estilo de visualización x \ a 0+}$ ${\ estilo de visualización x \ a 0+}$ ${\ estilo de visualización x \ a 0+}$ $k\to\infty$

Función de distribución

Función de distribución de Weibull:

F(x;k,\lambda)=1-e^{-(x/\lambda)^{k))

para x ≥ 0, y F(x; k; λ) = 0 para x < 0

Cuantil de distribución de Weibull :

{\displaystyle Q(p;k,\lambda)=\lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k))

para 0 ≤ p < 1.

Tasa de fracaso h :

h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.

Momentos

Función generadora de los momentos del logaritmo de una variable aleatoria con distribución de Weibull

\mathbb {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k))+1\right),

donde Γ es la función gamma . De manera similar, la función característica del logaritmo de X viene dada por

\mathbb {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k))+1\right).

Los momentos de una variable aleatoria con distribución de Weibull tienen la forma $X$

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \lambda^n \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right)

, donde está la función gamma ,

\Gama

dónde

\mathbb{E}[X] = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)

\mathrm{D}[X] = \lambda^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{ k}\derecho)\derecho]

El coeficiente de asimetría viene dado por la función

\gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k))\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2} -\mu^{3}}{\sigma^{3}}}

Coeficiente de curtosis

{\ Displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {-6 \ Gamma _ {1} ^ {4} + 12 \ Gamma _ {1} ^ {2} \ Gamma _ {2} -3 \ Gamma _ { 2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{ 2}}},}

donde , también se puede escribir: ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {i} = \ Gamma (1 + i / k)}$

\gamma_{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k)))-4\gamma_{1}\sigma ^{3} \mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3

Función generadora de momentos

Hay muchas expresiones para el momento que genera la función en sí. $X$

\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{ n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).

También puedes trabajar directamente con la integral.

\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left( {\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.

Si se supone que el coeficiente k es un número racional , expresado como k = p/q , donde p y q son números enteros, entonces la integral se puede calcular analíticamente. [1] Con t reemplazada por -t , obtenemos

\mathbb {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k))}\,{\frac {p ^{k}\,{\raíz cuadrada {q/p}}}{({\raíz cuadrada {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\, q,p}\!\left(\left.{\begin{matriz}{\frac {1-k}{p)),{\frac {2-k}{p)),\dots ,{\frac {pk}{p))\\{\frac {0}{q)),{\frac {1}{q)),\dots ,{\frac {q-1}{q))\end{matriz }}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right ),

donde G es la función G de Meyer.

Entropía informativa

La entropía de la información se da de esta manera .

H(\lambda ,k)=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k }}\derecha)+1,

donde es la constante de Euler-Mascheroni . $\gama$

Estimación de coeficientes

Máxima probabilidad

Estimación de máxima verosimilitud para el coeficiente $\lambda$

{\hat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}

Para $k$

{\hat {k}}^{-1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{n}}\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}

Función de confiabilidad condicional de Weibull

Para una distribución de Weibull de 2 paramétricas, la función tiene la forma:

R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)))={\frac {e^{-\left({\frac {T+t}{\ lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T}{\lambda }}\right)^{k}}}}

R(t|T)=e^{-\left[\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}-\left({\frac {T} {\lambda}}\derecho)^{k}\derecho]}

Para 3 paramétricos:

R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)))={\frac {e^{-\left({\frac {T+t-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}}

Se llama condicional porque muestra la probabilidad de que el objeto funcione durante más tiempo , siempre que ya haya funcionado . $t$ $T$

Parcela de Weibull

Los datos de distribución de Weibull se pueden evaluar visualmente utilizando un diagrama de Weibull [2] . Esta es una gráfica de tipo QQ de una función de distribución de muestra con ejes especiales. Ejes - y El motivo del cambio en las variables es que la función de distribución de muestra de Weibull se puede representar de forma lineal ${\ estilo de visualización \ ln (- \ ln (1-{\ sombrero {F)) (x)))}$ ${\ estilo de visualización \ ln (x)}$

{\begin{alineado}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda)^{k))\\-\ln(1-F(x))&=(x/ \lambda )^{k}\\\soporte {\ln(-\ln(1-F(x)))} _ {\textrm {'y'}}&=\soporte {k\ln x}_{ \textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{alineado}}

Por lo tanto, si los datos provienen de una distribución de Weibull, se puede esperar una línea recta en el diagrama de Weibull.

Hay muchas formas de obtener la función de distribución de la muestra a partir de los datos: un método es obtener la coordenada vertical de cada punto usando , donde es el rango del punto de datos y es el número total de puntos. [3] ${\sombrero {F}}={\frac{i-0.3}{n+0.4}}$ $i$ $norte$

Uso

Se utiliza la distribución de Weibull:

En el análisis de supervivencia
En Confiabilidad y Análisis de Fallas
En ingeniería eléctrica , para representar la sobretensión que se produce en los circuitos eléctricos .
en ingenieria industrial
En la teoría del valor extremo

en el pronóstico del tiempo
- Describir la distribución de la velocidad del viento como una distribución que suele coincidir con la distribución de Weibull en la energía eólica
En sistemas de radar para modelar la dispersión del nivel de la señal recibida creada por algunos tipos de ecos parásitos
En el modelado del desvanecimiento de la señal en las comunicaciones inalámbricas
En la predicción del cambio tecnológico
En hidrología , la distribución de Weibull es aplicable a eventos extremos como la lluvia anual en un día o la crecida de un río. La figura muestra tal coincidencia, así como un intervalo de confianza del 90% basado en la distribución binomial .
En la descripción del tamaño de partículas obtenidas por trituración, trituración o trituración
Debido a la accesibilidad utilizada en las hojas de cálculo , cuando el comportamiento subyacente en realidad se describe mejor mediante la distribución de Erlang

Relación con otras distribuciones

La distribución habitual de Weibull, por cambio de variable, se reduce a la distribución gamma .
Distribución Weibull de 3 parámetros. Tiene función de densidad

f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-( {x-\theta\sobre\lambda})^{k}}

donde y f ( x ; k , λ, θ) = 0 para x < θ, donde es el factor de forma, es el factor de escala y es el factor de cambio de distribución . Cuando θ=0, se reduce a una distribución Weibull de 2 parámetros. ${\ estilo de visualización x \ geq \ theta}$ ${\ Displaystyle k> 0}$ ${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$ $\ theta$

Distribución Weibull de 1 parámetro. Se obtiene suponiendo y : $\ theta = 0$ $k=C=Constante$

f(t)={\frac {C}{\lambda }}\left({\frac {t}{\lambda }}\right)^{C-1}e^{-\left({ \frac{t}{\lambda}}\right)^{C}}

La distribución de Weibull se puede obtener en función de la exponencial .

Si es una distribución exponencial para el parámetro , entonces la variable aleatoria tiene la distribución de Weibull . Como prueba, considere la función de distribución : $X$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Exp} (\ lambda)}$ $\lambda$ $Y=X^{1/k}~(k>0)$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {W} (\ lambda ^ {1/k}, k)}$ $Y$

$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X^{1/k}\leq y)=P(X\leq y^{k})=1-e^{ -\lambda \cdot y^{k}}=1-e^{-(\lambda ^{1/k}\cdot y)^{k}},~y>0$

La función resultante es la función de distribución para la distribución de Weibull.

Método de transformación inversa : si , entonces $U\sim \mathrm {U} (0,1)$

\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k} \sim \mathrm{W}(k,\lambda)

Con distribución Fréchet: si , entonces . $\mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}(k=\alfa,\lambda =m)$ ${\tfrac {m^{2}}{\mathrm {X} }}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha,s,m)$
Con la distribución de Gumbel: si , entonces . $\mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}$ $\log(X)\sim {\textrm {Gumbel))$
La distribución de Rayleigh es un caso especial de la distribución de Weibull para y [4] $k=2$ ${\ estilo de visualización \ lambda = {\ sqrt {2}} \ sigma}$
La distribución de Weibull es un caso especial de la distribución generalizada de valores extremos [5]
Por primera vez, se aplicó la distribución de Weibull para describir la distribución del tamaño de las partículas. Ha sido ampliamente utilizado en el procesamiento de minerales durante la molienda . En este contexto

la función de distribución tiene la forma

f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{casos}1-e^{ln\left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{ \rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{casos}}

dónde

X

: Tamaño de partícula

P_{\rm {80}}

: percentil 80 de la distribución del tamaño de partículas

metro

: Coeficiente que describe el rango de la distribución

Notas

↑ Véase ( Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004 ) para el caso de k entero y ( Sagias & Karagiannidis 2005 ) para el caso racional.
↑ Diagrama de Weibull . Fecha de acceso: 20 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 25 de marzo de 2008. (indefinido)
↑ Wayne Nelson (2004) Análisis de datos de vida aplicada . Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5
^ Distribución de Rayleigh - MATLAB y Simulink - MathWorks Australia . Consultado el 21 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 12 de octubre de 2014. (indefinido)
↑ Organización Meteorológica Mundial. Guía de práctica hidrológica. - 6. - Suiza, 2012. - V. 2. - S. 165. - ISBN 978-92-63-40168-7 ..

Literatura

Fréchet, Maurice (1927), Sur la loi de probabilité de l'écart maximum, Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Cracovie T. 6: 93–116 .
Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel & Balakrishnan, N. (1994), Distribuciones univariadas continuas. vol. 1 (2.ª ed.), Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-58495-7
Muraleedharan, G.; Rao, AD; Kurup, PG y Nair, N. Unnikrishnan (2007), Distribución de Weibull modificada para simulación y predicción de la altura máxima y significativa de las olas , Coastal Engineering Vol. 54(8): 630–638 , doi 10.1016/j.coastaleng.2007.05.001
Muraleedharan, G. & Soares, CG (2014), Funciones generadoras de momentos y características de las distribuciones generalizadas de Pareto (GP3) y Weibull , Journal of Scientific Research and Reports vol.3 (14): 1861–1874 , DOI 10.9734/JSRR/2014 /10087 .
Rosin, P. & Rammler, E. (1933), Las leyes que gobiernan la finura del carbón en polvo, Diario del Instituto de Combustible Vol . 7: 29–36 .
Sagias, Nikos C. & Karagiannidis, George K. (2005), Distribuciones Weibull multivariantes de clase gaussiana: teoría y aplicaciones en canales de desvanecimiento , Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos. Transactions on Information Theory Vol. 51 (10): 3608–3619, ISSN 0018-9448 , doi : 10.1109/TIT.2005.855598 , < http://pelopas.uop.gr/~nsagias/Files/Papers/Journals/2005/ J4_2005.pdf > (enlace no disponible)
Weibull, W. (1951), Una función de distribución estadística de amplia aplicabilidad , J. Appl. Mec.-Trans. ASME T. 18(3): 293–297 , < http://www.barringer1.com/wa_files/Weibull-ASME-Paper-1951.pdf > .
manual de estadisticas de ingenieria . Instituto Nacional de Normas y Tecnología (2008). (indefinido)
Nelson, Jr., Ralph Dispersing Powders in Liquids, Parte 1, Capítulo 6: Distribución del volumen de partículas (5 de febrero de 2008). Consultado el 5 de febrero de 2008. Archivado desde el original el 13 de febrero de 2008. (indefinido)
Levin BR Manual de confiabilidad. — Manual de confiabilidad / Ed. Levina B.R., en 3 volúmenes, V.1. M.: Mir, 1969, 339 págs.- M.: Mir, 1969.- S. 176.- 339 págs.
J. Cheng, C. Tellambura y N. C. Beaulieu Análisis de rendimiento de modulaciones digitales en canales de desvanecimiento Weibull / Proc. IEEE Veh. Tecnología Conf. 2004.

Enlaces

Ejemplos de gráficas de la función de distribución de Weibull
Distribución Weibull
diagrama de Weibull
Trazar la distribución de Weibull en excel (ruso)

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula