Constantes estructurales

En matemáticas , las constantes de estructura o los coeficientes de estructura de un álgebra sobre un campo se utilizan para establecer explícitamente el producto de dos vectores base en un álgebra como una combinación lineal . Dadas las constantes de estructura, el producto resultante es bilineal y se puede extender de forma única a todos los vectores en el espacio vectorial, definiendo así el producto de forma única para el álgebra.

Las constantes de estructura se utilizan siempre que se necesita especificar una forma explícita de un álgebra. Como tal, a menudo se usan en discusiones de álgebra de Lie en física , como vectores base que indican direcciones específicas en el espacio físico o corresponden a partículas específicas . Recuerde que las álgebras de Lie son álgebras sobre un campo, y el producto bilineal viene dado por el corchete de Lie o el conmutador .

Definición

Dado un conjunto de vectores base para un espacio vectorial base algebraico , las constantes de estructura o coeficientes de estructura expresan la multiplicación de pares de vectores como una combinación lineal: ${\ estilo de visualización \ {\ mathbf {e} _ {i} \}}$ ${\displaystyle c_{ij}^{\;k))$ $\cdot$

\mathbf {e}_{i}\cdot \mathbf {e}_{j}=\sum_{k}c_{ij}^{\;\;k}\mathbf {e}_{k }

El superíndice y el subíndice a menudo no se distinguen a menos que el álgebra esté dotada de alguna otra estructura que lo requiera (por ejemplo, una métrica pseudo-Riemanniana en el álgebra del grupo ortogonal indefinido so( p , q )). Es decir, las constantes estructurales a menudo se escriben con superíndices o subíndices. La distinción entre superior e inferior es una condición para recordar al lector que los subíndices se comportan como componentes del vector dual , es decir, covariantes al cambiar la base , mientras que los superíndices se comportan de forma contravariante .

Obviamente, las constantes de estructura dependen de la base elegida. Para las álgebras de Lie, una convención básica de uso común se expresa en términos de operadores de escalera definidos por la subálgebra de Cartan ; esto se presenta a continuación en el artículo después de algunos ejemplos preliminares.

Ejemplo: álgebras de mentira

Para un álgebra de Lie, los vectores base se denominan generadores del álgebra, y el producto viene dado por el paréntesis de Lie. Es decir, el producto de un álgebra se "define" como un corchete de Lie: para dos vectores y en un álgebra, el resultado es. En particular, el producto de un álgebra no debe confundirse con un producto de matrices, por lo que la notación alternativa es a veces requerido. $\cdot$ $A$ $B$ $A\cdot B\equiv [A,B].$ $\cdot$

En este caso, no hay necesidad particular de distinguir entre superíndice y subíndice; se pueden escribir todos en la parte superior o todos en la parte inferior. En física, la notación se usa generalmente para generadores y o (ignorando la distinción entre superior e inferior) para constantes de estructura. El paréntesis de Lie de pares de generadores es una combinación lineal de generadores del conjunto, es decir $T_{yo}$ ${\displaystyle f_{ab}^{\;\;c))$ ${\ Displaystyle f ^ {abc}}$

{\displaystyle [T_{a},T_{b}]=\sum_{c}f_{ab}^{\;\;c}T_{c))

Por una extensión lineal, las constantes de estructura determinan completamente los corchetes de Lie de todos los elementos del álgebra de Lie.

Todas las álgebras de Lie satisfacen la identidad de Jacobi . Para vectores base, esto se puede escribir como

[T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{ a},T_{b}]]=0

y esto conduce directamente a la identidad correspondiente en términos de constantes de estructura:

f_{ad}^{\;\;e}f_{bc}^{\;\;d}+f_{bd}^{\;\;e}f_{ca}^{\;\; d}+f_{cd}^{\;\;e}f_{ab}^{\;\;d}=0.

Lo anterior y el resto de este artículo utilizan la convención de suma de Einstein para índices repetidos.

Las constantes estructurales desempeñan un papel en las representaciones del álgebra de Lie y, de hecho, dan exactamente los elementos de la matriz de la representación adjunta . La forma de Killing y el invariante de Casimir también tienen una forma particularmente simple cuando se escriben en términos de constantes de estructura.

Las constantes de estructura suelen aparecer en aproximaciones a la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para el producto de dos elementos de un grupo de Lie . Para pequeños elementos del álgebra de Lie, la estructura del grupo de Lie alrededor del elemento identidad viene dada por la fórmula ${\ estilo de visualización X, Y}$

\exp(X)\exp(Y)\approx \exp(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]).

Presta atención al factor 1/2. También aparecen en expresiones explícitas para diferenciales como . $e^{-X}de^{X}$

Ejemplos de álgebra de mentira

𝖘𝖚(2) y 𝖘𝖔(3)

El álgebra 𝖘𝖚(2) del grupo unitario especial SU(2) es tridimensional, con generadores dados por matrices de Pauli . Los generadores del grupo SU(2) satisfacen las relaciones de conmutación (donde está el símbolo de Levi-Civita ): $\sigma_i$ ${\ estilo de visualización \ epsilon ^ {abc}}$

{\ estilo de visualización [\ sigma _ {a}, \ sigma _ {b}] = 2i \ epsilon ^ {abc} \ sigma _ {c))

dónde

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

En este caso, las constantes de estructura son iguales a . Tenga en cuenta que la constante 2i se puede incluir en la definición de vectores base; así, definiendo , uno puede igualmente escribir ${\displaystyle f^{abc}=2i\epsilon^{abc))$ $t_{a}=-i\sigma _{a}/2$

[t_{a},t_{b}]=\epsilon^{abc}t_{c}

Esto enfatiza que el álgebra de Lie 𝖘𝖚(2) del grupo de Lie SU(2) es isomorfa al álgebra de Lie 𝖘𝖔(3) del grupo SO(3) . Esto alinea las constantes de estructura con las constantes del grupo de rotación SO(3) . Es decir, el conmutador del operador de momento angular generalmente se escribe como

{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\epsilon^{ijk}L_{k))

dónde

L_{x}=L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}

L_{y}=L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}

L_{z}=L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

escrito para obedecer la regla de la mano derecha para rotaciones en tres dimensiones.

La diferencia en el factor "2i" entre estos dos conjuntos de constantes estructurales puede ser exasperante porque implica cierta sutileza. Así, por ejemplo, a un espacio vectorial complejo bidimensional se le puede dar una estructura real. Esto conduce a dos representaciones fundamentales bidimensionales no equivalentes del grupo (2), que son isomorfas, pero son representaciones conjugadas complejas ; ambos, sin embargo, se consideran representaciones válidas precisamente porque operan en un espacio con una estructura real [1] . En el caso de las tres dimensiones, solo hay una representación tridimensional, la representación adjunta , que es la representación real; más precisamente, es lo mismo que su representación dual que se muestra arriba. En otras palabras, la transpuesta es menos ella misma: $L_{k}^{T}=-L_{k}.$

En cualquier caso, se dice que los grupos de Lie son reales precisamente porque las constantes de estructura se pueden escribir de tal manera que son puramente reales.

𝖘𝖚(3)

Un ejemplo menos trivial se da en SU(3) [2] .

Sus generadores de "T" en la representación definitoria son:

T^{a}={\frac {\lambda^{a}}{2}}.\,

donde las matrices de Gell-Mann son la contrapartida SU(3) de las matrices de Pauli para SU(2): ${\ estilo de visualización \ lambda \,}$

$\lambda ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda ^{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda ^{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda ^{8}={\frac {1}{\sqrt {3))}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix)).$

ellos estan en relacion

\left[T^{a},T^{b}\right]=si^{abc}T^{c}\,

\{T^{a},T^{b}\}={\frac {1}{3}}\delta ^{ab}+d^{abc}T^{c}.\,

Las constantes de estructura son completamente antisimétricas. Se les da:

{\ estilo de visualización f ^ {123} = 1 \,}

f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac{1}{2} }\,

f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2)),\,

y todos los demás no relacionados con ellos por una permutación de índices son iguales a cero. ${\ Displaystyle f ^ {abc}}$

d tomar valores:

d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3))}\,

d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3))))\,

d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^ {377}={\ fracción {1}{2}}.\,

Ejemplos de otras álgebras

Polinomios de Hall

Los polinomios de Hall son las constantes de estructura del álgebra de Hall .

Álgebras de Hopf

Además del producto, el coproducto y la antípoda del álgebra de Hopf se pueden expresar en términos de constantes de estructura. El axioma de conexión que define la condición de consistencia del álgebra de Hopf se puede expresar como una conexión entre estas diversas constantes de estructura.

Aplicaciones

Un grupo de Lie es abeliano si y solo si todas las constantes de estructura son 0.
Un grupo de Lie es real precisamente cuando sus constantes de estructura son reales.
Las constantes de estructura son completamente antisimétricas en todos los índices si y solo si el álgebra de Lie es una suma directa de un álgebra de Lie simple compacta .
un grupo de Lie nilpotente admite una red si y sólo si su álgebra de Lie admite una base con constantes de estructura racional: este es el criterio de Maltsev . No todos los grupos de Lie nilpotentes admiten celosías; ver también Raghunathan [3] para más detalles .
En cromodinámica cuántica , el símbolo representa la covariante de calibre del tensor de intensidad de campo de gluones , similar al tensor de intensidad de campo electromagnético , F μν , en electrodinámica cuántica. Esto se da en [4] : $G_{\mu\nu}^{a}\,$

G_{\mu \nu }^{a}=\parcial _ {\mu }{\mathcal {A}}_{\nu }^{a}-\parcial_{\nu }{\mathcal { A}}_{\mu }^{a}+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{\mu }^{b}{\mathcal {A}}_{\nu }^{c} \,,

donde f abc son constantes de estructura SU (3) . Tenga en cuenta que las reglas para empujar o eliminar los índices a , b o c son triviales , (+, ... +), por lo que f abc = f abc = fun
ac, mientras que para los índices μ o ν existen reglas relativistas no triviales correspondientes, por ejemplo, a la firma métrica (+ - - -).

Elegir una base para el álgebra de Lie

Uno de los enfoques tradicionales para proporcionar una base para un álgebra de Lie es utilizar los llamados "operadores de escalera", que aparecen como vectores propios de la subálgebra de Cartan. Aquí describimos brevemente la construcción de esta base usando notación convencional. Una construcción alternativa ( la construcción de Serre ) se puede encontrar en el artículo "Álgebra de mentira semisimple" .

Para un álgebra de Lie, una subálgebra de Cartan es una subálgebra abeliana máxima. Por definición, consiste en aquellos elementos que se conmutan entre sí. Se puede elegir libremente una base ortonormal ; escribir esta raíz como $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {h}}\subconjunto {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak{h))$ ${\displaystyle H_{1},\cdots,H_{r))$

\langle H_{i},H_{j}\rangle =\delta _{ij}

donde es el producto interior en el espacio vectorial. La dimensión de esta subálgebra se llama rango del álgebra. Las matrices en la representación adjunta se conmutan mutuamente y se pueden diagonalizar simultáneamente . Las matrices tienen vectores propios (simultáneos) ; que con valor propio distinto de cero generalmente se denotan por . Juntos cubren todo el espacio vectorial . Entonces las relaciones de conmutación tienen la forma: ${\ estilo de visualización \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $r$ $\mathrm {anuncio} (H_{i})$ $\mathrm {anuncio} (H_{i})$ $\alfa$ ${\ Displaystyle E_ {\ alfa}}$ $Hola$ $\mathfrak{g}$

[H_{i},H_{j}]=0\quad {\mbox{u))\quad [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }

Los vectores propios solo se definen hasta una escala común; la normalización normal se puede configurar $E_{\ }alfa$

\langle E_{\alpha },E_{-\alpha }\rangle =1

Esto nos permite escribir las relaciones de conmutación restantes en la forma

{\displaystyle [E_{\alpha },E_{-\alpha }]=\alpha _{i}H_{i))

{\displaystyle [E_{\alpha },E_{\beta }]=N_{\alpha ,\beta }E_{\alpha +\beta ))

con este último, siempre que las raíces (definidas a continuación) con valor distinto de cero: . a veces se denominan operadores de escalera porque tienen esta propiedad de aumento/disminución del valor . ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta}$ ${\ estilo de visualización \ alfa + \ beta \ neq 0}$ ${\ Displaystyle E_ {\ alfa}}$ $\beta$

Para un dado , hay tantos como hay , por lo que se puede definir un vector , este vector se llama raíz del álgebra. Las raíces de las álgebras de Lie aparecen en estructuras regulares (por ejemplo, en un álgebra de Lie simple, las raíces solo pueden tener dos longitudes diferentes); ver sistema raíz para más detalles . $\alfa$ $\alpha_i$ $Hola$ ${\ estilo de visualización \ alfa = \ alfa _ {i} H_ {i}}$

Las constantes estructurales tienen la propiedad de diferir de cero solo cuando es una raíz. Además, son antisimétricos: ${\ Displaystyle N_ {\ alfa, \ beta}}$ $\alfa +\beta$

{\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{\beta ,\alpha ))

y siempre puedes elegir para que

{\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=-N_{-\alpha ,-\beta ))

Obedecen también las condiciones del cociclo [5] :

{\displaystyle N_{\alpha ,\beta }=N_{\beta ,\gamma }=N_{\gamma ,\alpha ))

cuando y tambien que ${\ estilo de visualización \ alfa + \ beta + \ gamma = 0}$

N_{\alpha ,\beta }N_{\gamma ,\delta }+N_{\beta ,\gamma }N_{\alpha ,\delta }+N_{\gamma ,\alpha }N_{\beta , \ delta } = 0

cuando sea ${\ estilo de visualización \ alfa + \ beta + \ gamma + \ delta = 0}$

Notas

↑ Fulton, Guillermo; Harris, Joe (1991). teoría de la representación. Un primer plato. Textos de Posgrado en Matemáticas, Lecturas en Matemáticas. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249. OCLC 246650103.
↑ Weinberg, Steven. La teoría cuántica de campos. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1995. - vol. 1 cimientos. — ISBN 0-521-55001-7 .
↑ Raghunathan, Madabusi S. 2. Celosías en grupos de mentiras nilpotentes // Subgrupos discretos de grupos de mentiras . - Springer, 2012. - ISBN 978-3-642-86428-5 .
↑ Eidemüller, M.; Dosch, HG; Jamín, M. (2000) [1999]. "El correlador de intensidad de campo de las reglas de suma QCD". Núcleo física Proceso B. Suplemento _ 86 : 421-5. arXiv : hep-ph/9908318 . Código Bib : 2000NuPhS..86..421E . DOI : 10.1016/S0920-5632(00)00598-3 .
↑ Cornwell, JF Group Theory in Physics. - Prensa Académica, 1984. - Vol. 2 Grupos de Lie y sus aplicaciones. — ISBN 0121898040 .