Teorema de taylor

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 1 de febrero de 2019; las comprobaciones requieren 12 ediciones . Este artículo trata sobre los polinomios de Taylor de funciones diferenciables . Para las series de funciones analíticas de Taylor , véase el artículo correspondiente.

El teorema de Taylor da una aproximación a una función diferenciable k veces cerca de un punto dado usando un polinomio de Taylor de orden k . Para funciones analíticas , el polinomio de Taylor en un punto dado es una suma parcial de su serie de Taylor , que a su vez define completamente la función en alguna vecindad del punto. Hasta el momento no se ha acordado el contenido exacto del teorema de Taylor. Por supuesto, existen varias versiones del teorema aplicables en diferentes situaciones, y algunas de estas versiones contienen estimaciones del error que ocurre al aproximar una función utilizando un polinomio de Taylor.

Este teorema lleva el nombre del matemático Brooke Taylor , quien formuló una versión del mismo en 1712. Joseph Lagrange dio mucho más tarde una expresión explícita para el error de aproximación . Anteriormente, en 1671, James Gregory ya había mencionado el corolario del teorema.

El teorema de Taylor le permite dominar las técnicas de los cálculos básicos y es una de las herramientas elementales centrales en el análisis matemático . En el estudio de las matemáticas, es el punto de partida para el estudio del análisis asintótico . El teorema también se utiliza en física matemática . También se generaliza a funciones de varias variables y funciones vectoriales para cualquier dimensión y . Esta generalización del teorema de Taylor es la base para la definición de los llamados chorros , que aparecen en geometría diferencial y en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . ${\displaystyle f\,:\,\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $norte$ $metro$

Requisitos previos para la introducción del teorema

Si una función de valor real f(x) es diferenciable en el punto a , entonces tiene una aproximación lineal en el punto a . Esto significa que existe una función h 1 tal que

f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + h_1(x)(xa), \qquad \lim_{x\to a}h_1(x)=0.

Aquí

P_1(x) = f(a) + f'(a)(xa) \

es una aproximación lineal de la función f en el punto a . La gráfica de la función y = P 1 ( x ) es tangente a la gráfica de la función f en el punto x = a . El error de aproximación es

R_1(x) = f(x)-P_1(x) = h_1(x)(xa). \

Tenga en cuenta que el error se acerca a cero un poco más rápido que la diferencia x − a se acerca a cero cuando x se acerca a a .

Si estamos buscando una mejor aproximación de f , podemos usar un polinomio de segundo grado en lugar de una función lineal. En lugar de encontrar la derivada de f en el punto a , podemos encontrar dos derivadas, obteniendo así un polinomio que, como f , crece (o decrece) y, como f , tiene una convexidad (o concavidad) en el punto a . El polinomio de segundo grado (polinomio cuadrado) en este caso se verá así:

P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2}}(xa)^{2}.

El teorema de Taylor permite comprobar que la aproximación cuadrática es, en una vecindad suficientemente pequeña del punto a , una mejor aproximación que la lineal. En particular,

f(x) = P_2(x) + h_2(x)(xa)^2, \qquad \lim_{x\to a}h_2(x)=0.

Aquí el error de aproximación es

R_2(x) = f(x)-P_2(x) = h_2(x)(xa)^2 \

que, si h 2 está acotada , tiende a cero más rápido de lo que tiende a cero ( x − a ) 2 cuando x tiende a a .

Por lo tanto, continuaremos obteniendo mejores aproximaciones a f si usamos polinomios de mayor grado . En general, el error al aproximar una función con polinomios de orden k se acercará a cero un poco más rápido que ( x − a ) k se acerca a cero cuando x se acerca a a .

Este corolario es de naturaleza asintótica: sólo nos dice que el error R k de la aproximación con polinomios de Taylor de orden k Pk se aproxima a cero más rápido que un polinomio de orden k distinto de cero cuando x → a . No nos dice qué tan grande es el error en cualquier vecindad del centro de aproximación, pero hay una fórmula para el resto de esto (que se da a continuación).

Las versiones más completas del teorema de Taylor generalmente conducen a estimaciones uniformes del error de aproximación en una vecindad pequeña del centro de aproximación, pero estas estimaciones no son adecuadas para vecindades demasiado grandes, incluso si la función f es analítica . En esta situación, se deben elegir varios polinomios de Taylor con diferentes centros de aproximación para tener una aproximación de Taylor confiable a la función original (vea la figura animada arriba). También es posible que aumentar el orden del polinomio no aumente en absoluto la calidad de la aproximación, incluso si la función f se deriva un número infinito de veces. Tal ejemplo se muestra a continuación.

Teorema de Taylor para funciones de una variable real

Enunciado del teorema

La formulación exacta de la mayoría de las versiones básicas del teorema es la siguiente.

El polinomio que ocurre en el teorema de Taylor es el polinomio de Taylor de k -ésimo orden

P_k(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k )}(a)}{k!}(xa)^k

función f en el punto a .

El teorema de Taylor describe el comportamiento asintótico del resto del término

\ R_k(x) = f(x) - P_k(x),

lo cual es un error al encontrar una aproximación de la función f usando polinomios de Taylor. Usando "O" grande y "o" pequeña , el teorema de Taylor se puede formular de la siguiente manera

R_k(x) = o(|xa|^k), \qquad x\to a.

Fórmulas para el resto

Hay varias fórmulas exactas para el término residual R k del polinomio de Taylor, la más general de las cuales es la siguiente.

Estos refinamientos del teorema de Taylor generalmente se derivan usando la fórmula de incrementos finitos .

También puedes encontrar otras expresiones para el resto. Por ejemplo, si G ( t ) es continua en un intervalo cerrado y diferenciable con una derivada no nula en un intervalo abierto entre a y x , entonces

R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G' (\xi)}

para algún número ξ entre a y x . Esta versión cubre las formas de Lagrange y Cauchy como casos especiales, y se deriva usando el teorema del valor medio de Cauchy (una versión extendida del teorema del valor medio de Lagrange ).

Escribir la fórmula para el resto en forma integral es más general que las fórmulas anteriores y requiere una comprensión de la teoría integral de Lebesgue . Sin embargo, también se cumple para la integral de Riemann, siempre que la derivada de orden ( k +1) de f sea continua en el intervalo cerrado [ a , x ].

Debido a la continuidad absoluta de f ( k ) en el intervalo cerrado entre a y x , su derivada f ( k +1) existe como una función L 1 y esta consecuencia puede obtenerse mediante cálculos formales utilizando el teorema de Newton-Leibniz e integración por partes .

Estimaciones del resto

En la práctica, suele ser útil estimar numéricamente el valor del resto de la aproximación de Taylor.

Supondremos que f es ( k + 1)-veces continuamente diferenciable en un intervalo I que contiene a . Suponemos que existen números constantes reales q y Q tales que

q\le f^{(k+1)}(x)\le Q

a lo largo de I. _ Entonces el resto del término satisface la desigualdad [5]

q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1) !},

si x > a , y una estimación similar si x < a . Esta es una simple consecuencia de la forma de Lagrange de la fórmula del resto. En particular, si

|f^{(k+1)}(x)|\leq M

en el intervalo I = ( a − r , a + r ) con alguna r >0, entonces

|R_k(x)| \le M\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}\le M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}

para todo x ∈( a − r , a + r ). La segunda desigualdad se llama estimador uniforme porque conserva la uniformidad para todo x en el intervalo ( a − r , a + r ).

Ejemplo

Digamos que queremos encontrar una aproximación de la función f ( x ) = e x en el intervalo [−1,1] y asegurarnos de que el error no exceda 10 −5 . En este ejemplo, asumimos que conocemos las siguientes propiedades de la función exponencial:

(*) \qquad e^0=1, \qquad \frac{d}{dx} e^x = e^x, \qquad e^x>0, \qquad x\in\mathbb{R}.

Estas propiedades implican que f ( k ) ( x ) = e x para todo k , y en particular f ( k ) (0) = 1 . De ello se deduce que el polinomio de Taylor del k-ésimo orden de la función f en el punto 0 y su resto en forma de Lagrange viene dado por la fórmula

P_k(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}, \qquad R_k(x)=\frac{e^\xi}{ (k+1)!}x^{k+1},

donde ξ es un número entre 0 y x . Dado que e x aumenta según (*), podemos usar e x ≤ 1 para x ∈ [−1, 0] para estimar el resto en el subintervalo [−1, 0]. Para encontrar un límite superior en el valor del resto en el intervalo [0,1], podemos usar la propiedad e ξ << e x para 0< ξ<x para estimar

e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2}x^2 < 1 + x + \frac{e^x}{2}x^2, \qquad 0 < x\leq 1

utilizando un polinomio de Taylor de segundo orden. Expresando e x de esta desigualdad , concluimos que

e^x \leq \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}} = 2\frac{1+x}{2-x^2} \leq 4, \qquad 0 \ leqx\leq 1

suponiendo que el numerador toma el máximo de todos sus valores posibles y el denominador toma el mínimo de todos sus valores posibles. Usando estas estimaciones de los valores de e x , vemos que

|R_k(x)| \leq \frac{4|x|^{k+1}}{(k+1)!} \leq \frac{4}{(k+1)!}, \qquad -1\leq x \leq 1 ,

y la precisión requerida se logra definitivamente cuando

\frac{4}{(k+1)!} < 10^{-5} \quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 10^5 < (k+1)! \quad \Leftrightarrow \quad k \geq 7.

(donde el factorial es 7!=5040 y 8!=40320.) En última instancia, el teorema de Taylor conduce a la aproximación

e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^7}{7!} + R_7(x), \qquad |R_7(x)| < 10^{-5}, \qquad -1\leq x \leq 1.

Nótese que esta aproximación nos permite calcular el valor de e ≈2.71828 con una precisión de hasta el quinto decimal.

Analítica

Expansión de Taylor para funciones analíticas reales

Sea un intervalo abierto . Por definición, una función es analítica real si está definida en un área dada por la convergencia de una serie de potencias . Esto significa que para cada uno existe algún r > 0 y una secuencia de coeficientes c k ∈ R tal que ( a − r , a + r ) ⊂ I y $I\subconjunto \mathbb {R}$ $f\,:\,I\rightarrow \mathbb {R}$ $a\en yo$

f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \cdots, \qquad |xa|<r.

En general, el radio de convergencia serie de potencias se puede calcular utilizando fórmula de Cauchy-Hadamard

\frac{1}{R} = \limsup_{k\to\infty}|c_k|^\frac{1}{k}.

Este resultado se basa en una comparación con una progresión geométrica infinitamente decreciente, y el mismo método muestra que si una serie de potencias expandida en a converge para alguna b ∈ R , debe converger uniformemente en el intervalo cerrado [ a − r b , a + r segundo ] , donde r segundo = | b - a |. Aquí solo hemos considerado la convergencia de la serie de potencias, y es posible que el dominio ( a − R , a + R ) se extienda más allá del dominio I de la función f .

Polinomio de Taylor en una función analítica real f en un punto a

P_k(x) = \sum_{j=0}^k c_j(xa)^j, \qquad c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}

es un simple truncamiento de la serie de potencias correspondiente de esta función definida en algún intervalo , y el resto del término en este intervalo está dado por la función analítica

R_k(x) = \sum_{j=k+1}^\infty c_j(xa)^j = (xa)^k h_k(x), \qquad |xa|<r.

Aquí la función

h_k:(ar,a+r)\to\R; \qquad h_k(x) = (xa)\sum_{j=0}^\infty c_{k+1+j}(xa)^j

también es analítica, ya que su serie de potencias tiene el mismo radio de convergencia que la serie original. Siempre que [ a − r , a + r ] ⊂ I y r < R , todas estas series convergen uniformemente en el intervalo ( a − r , a + r ) . Por supuesto, en el caso de funciones analíticas, es posible estimar el término residual R k ( x ) “cortando” la secuencia de derivadas f′ ( a ) en el centro de aproximación, pero cuando se usa análisis complejo , otros Aparecen posibilidades que se describen a continuación.

El teorema de Taylor y la convergencia de la serie de Taylor

Existe un desacuerdo entre los polinomios de funciones derivables de Taylor y la serie de funciones analíticas de Taylor. Uno puede considerar (bastante) la serie de Taylor

f(x) \approx \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \ldots

un número infinito de veces diferenciable función f : R → R como su "polinomio de Taylor de orden infinito" en el punto a . Ahora, la estimación del resto del polinomio de Taylor implica que para cualquier orden k y para cualquier r >0 existe una constante M k,r >0 tal que

(*) \quad |R_k(x)|\leq M_{k,r}\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}

para todo x ∈( ar, a+r ). A veces, estas constantes se pueden elegir de modo que M k,r → 0 cuando k → ∞ y r permanezcan iguales. Entonces la serie de Taylor de la función f converge uniformemente a alguna función analítica

T_f:(ar,a+r)\to\mathbb R; \qquad T_f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(xa)^k.

Es importante mencionar un punto sutil aquí . Es posible que una función f infinitamente diferenciable tenga una serie de Taylor en el punto a que converja en alguna vecindad abierta del punto a , pero la función límite T f difiere de f . Un ejemplo importante de este fenómeno es

f:\mathbb R \to \mathbb R; \qquad f(x) = \begin{casos} e^{-\frac{1}{x^2}} &, x>0, \\ 0 &, x\leq 0.\end{casos}

Usando la regla de la cadena se puede demostrar inductivamente que para cualquier orden k ,

f^{(k)}(x)={\begin{casos}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k))}e^{-{\frac {1} {x^{2}}}}&,x>0\\0&,x\leq 0\end{casos}}}

para algún polinomio p k . La función tiende a cero más rápido que cualquier polinomio cuando x → 0 , entonces f es infinitamente diferenciable y f ( k ) (0) = 0 para cada entero positivo k . Ahora, las estimaciones del resto del polinomio de Taylor de la función f muestran que la serie de Taylor converge uniformemente a la función cero en todo el eje de los números reales. No habrá error en las siguientes afirmaciones: $e^{-\frac{1}{x^2}}$

La serie de Taylor de la función f converge uniformemente a la función cero T f ( x )=0.
La función nula es analítica y cada coeficiente de su serie de Taylor es cero.
La función f es infinitamente derivable, pero no analítica.
Para cualquier k ∈ N y r >0, existe M k, r >0 tal que el término restante del k-ésimo polinomio de Taylor de orden de la función f satisface la condición (*).

Teorema de Taylor en análisis complejo

El teorema de Taylor generaliza funciones que son derivables complejas en un subconjunto abierto U ⊂ C del plano complejo . Sin embargo, su utilidad se ve reducida por otros teoremas de análisis complejo , a saber: se pueden derivar versiones más completas de resultados similares para funciones complejamente diferenciables f : U → C usando la fórmula integral de Cauchy como se muestra a continuación. $f:\mathbb C\a\mathbb C$

Sea r > 0 tal que el círculo cerrado B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) está contenido en U . Entonces la fórmula integral de Cauchy con parametrización positiva γ ( t )= re it del círculo S ( z, r ) con t ∈ [0,2 π ] da

f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{wz}dw, \quad f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^2}dw, \quad \ldots, \quad f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\ pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^{k+1}}dw.

Aquí, todos los integrandos son continuos en el círculo S ( z , r ), lo que justifica la diferenciación bajo el signo integral . En particular, si f es una vez diferenciable complejo en un conjunto abierto U , entonces es de hecho un número infinito de veces diferenciable complejo en U. Tenemos la estimación de Cauchy [6]

|f^{(k)}(z)| \leq \frac{k!}{2\pi}\int_\gamma \frac{M_r}{|wz|^{k+1}}dw = \frac{k!M_r}{r^k}, \qquad M_r = \max_{|wc|=r}|f(w)|

para cualquier z ∈ U y r > 0 tal que B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . Estas estimaciones implican que la serie compleja de Taylor

f(z) \approx \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(zc)^k

la función f converge uniformemente en cualquier círculo B ( c , r ) ⊂ U con S ( c , r ) ⊂ U en alguna función T f . Además, usando la fórmula de integración de contorno para las derivadas f ( k ) ( c ),

\begin{align} T_f(z) = \ & \sum_{k=0}^\infty \frac{(zc)^k}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{ (wc)^{k+1}}dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc} \sum_{k=0}^\infty \Big (\frac{zc}{wc}\Big)^k dw \\ = \ & \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc}\Big( \ frac{1}{1-\frac{zc}{wc}} \Big) dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wz} dw = f (z), \end{alinear}

por lo tanto, cualquier función diferenciable compleja f en un conjunto abierto U ⊂ C es analítica compleja . Todo lo que se escribió anteriormente para funciones analíticas reales también es cierto para funciones analíticas complejas, donde el intervalo abierto I se reemplaza por un subconjunto abierto U ∈ C y los intervalos centrados en a ( a − r , a + r ) se reemplazan por c - círculos centrados B ( c , r ). En particular, la expansión de Taylor se conserva como

f(z) = P_k(z) + R_k(z), \qquad P_k(z) = \sum_{j=0}^k \frac{f^{(k)}(c)}{k!}( zc)^k,

donde el resto del término R k es analítico complejo. Al considerar las series de Taylor, los métodos de análisis complejo permiten obtener resultados algo más potentes. Por ejemplo, usando una fórmula integral para cualquier curva de Jordan γ orientada positivamente que parametriza el límite ∂ W ⊂ U de un dominio W ⊂ U , se puede obtener una expresión para las derivadas de f ( j ) ( c ) como se muestra arriba, y cambiar ligeramente los cálculos para T f ( z ) = f ( z ) , llegar a la fórmula exacta

R_k(z) = \sum_{j=k+1}^\infty \frac{(zc)^j}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(wc)^{ j+1}}dw = \frac{(zc)^{k+1}}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)dw}{(wc)^{k+1}( wz)} , \qquad z\in W.

Una característica importante aquí es que la calidad de la aproximación del polinomio de Taylor en el dominio W ⊂ U está dominada por los valores de la función f en el límite ∂ W ⊂ U. Además, aplicando las estimaciones de Cauchy a la expresión para el resto de la Serie, obtenemos las estimaciones uniformes

|R_k(z)| \leq \sum_{j=k+1}^\infty \frac{M_r |zc|^j}{r^j} = \frac{M_r}{r^{k+1}} \frac{|zc| ^{k+1}}{1-\frac{|zc|}{r}} \leq \frac{M_r \beta^{k+1}}{1-\beta} , \qquad \frac{|zc |}{r}\leq\beta < 1.

Ejemplo

Función f : R → R definida por la ecuación

f(x) = \frac{1}{1+x^2}

es analítica real , es decir, en el dominio dado está determinada por su serie de Taylor. Una de las figuras anteriores muestra que algunas funciones muy simples no pueden expresarse utilizando la aproximación de Taylor en la vecindad del centro de aproximación si esta vecindad es demasiado grande. Esta propiedad es fácil de entender en el marco de un análisis complejo. Más específicamente, la función f se expande a una función meromórfica

f:\mathbb C\cup\{\infty\} \to \mathbb C\cup\{\infty\}; \quad f(z) = \frac{1}{1+z^2}

en el plano complejo compactado. Tiene ejes simples en los puntos z = i y z = − i , y es analítico en todas partes. Su serie de Taylor centrada en z 0 converge en cualquier círculo B ( z 0 , r ) con r <| zz 0 |, donde la misma serie de Taylor converge para z ∈ C . Como resultado, la serie de Taylor de la función f con centro en 0 converge en B (0,1) y no converge para ningún z ∈ C con | z |>1 debido a la presencia de ejes en los puntos i y − i . Por las mismas razones, la serie de Taylor de la función f con centro en 1 converge en B (1,√2) y no converge para ningún z ∈ C con | z -1|>√2.

Generalizaciones del teorema de Taylor

Órdenes superiores de diferenciabilidad

Una función f : R n → R es derivable en un punto a ∈ R n si y solo si existe una forma lineal L : R n → R y una función h : R n → R tal que

f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + L(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + h(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol {a}), \qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}h(\boldsymbol{x})=0.

Si este caso es válido, entonces L = df ( a ) es la diferencial de la función f en el punto a . Además, cuando las derivadas parciales de la función f existen en el punto a , entonces la diferencial de f en el punto a viene dada por la fórmula

df( \boldsymbol{a} )( \boldsymbol{v} ) = \frac{\parcial f}{\parcial x_1}(\boldsymbol{a})v_1 + \cdots + \frac{\parcial f}{\parcial x_n}(\boldsymbol{a})v_n.

Introduciendo el multiíndice , escribimos

|\alfa| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n, \quad \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!, \quad \boldsymbol{x}^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}

para α ∈ norte norte y x ∈ R norte . Si todas las derivadas parciales de k-ésimo orden de una función f : R n → R son continuas en a ∈ R n , entonces, por el teorema de Clairaut , se puede cambiar el orden de las derivadas mixtas en un punto a , luego escribiendo

D^\alpha f = \frac{\parcial^{|\alpha|}f}{\parcial x_1^{\alpha_1}\cdots \parcial x_n^{\alpha_n)), \qquad |\alpha|\leq k

para derivadas parciales de órdenes superiores es legítimo en esta situación. Lo mismo es cierto si todas las derivadas parciales de orden ( k − 1) de la función f existen en alguna vecindad del punto a y son diferenciables en el punto a . Entonces podemos decir que la función f es k veces diferenciable en el punto a .

Teorema de Taylor para funciones de varias variables

Si una función f : R n → R es k + 1 veces continuamente diferenciable en una bola cerrada B , entonces se puede obtener una fórmula exacta para el resto de la expansión de Taylor de ( k + 1) orden de f en esta vecindad. A saber

f( \boldsymbol{x} ) = \sum_{|\alpha|=0}^k \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\ boldsymbol{a})^\alpha + \sum_{|\beta|=k+1} R_\beta(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\beta, \qquad R_\beta( \boldsymbol{x} ) = \frac{|\beta|}{\beta!} \int_0^1 (1-t)^{|\beta|-1}D^\beta f \big( \boldsymbol{a}+t( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} )\grande) \, dt.

En este caso, debido a la continuidad de las derivadas parciales de ( k + 1) orden sobre el conjunto compacto B , obtenemos directamente

\grande|R_\beta(\boldsymbol{x})| \leq \frac{|\beta|}{\beta!} \max_{|\alpha|=|\beta|} \max_{\boldsymbol{y}\in B} |D^\alpha f(\boldsymbol{ y})|, \qquad \boldsymbol{x}\en B.

Evidencia

Demostración del teorema de Taylor para una variable real

Vamos [7]

h_k(x) = \begin{casos} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} & x\not=a\\ 0&x=a \end{casos}

donde, como se establece en la formulación del teorema de Taylor,

P(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k )}(a)}{k!}(xa)^k.

Basta con demostrar que

\lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.

La demostración se basa en una aplicación repetida de la regla de L'Hospital . Note que cada j = 0,1,…, k −1 , . Por tanto, cada derivada posterior del numerador de la función tiende a cero en el punto , y lo mismo ocurre con el denominador. Después $f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$ $h_k(x)$ $x=a$

\begin{align} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} &= \lim_{x\to a} \frac{\frac{d {dx}(f(x) - P(x))}{\frac{d}{dx}(xa)^k} = \cdots = \lim_{x\to a} \frac{\frac{d ^{k-1}}{dx^{k-1}}(f(x) - P(x))}{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}( xa)^k}\\ &=\frac{1}{k!}\lim_{x\to a} \frac{f^{(k-1)}(x) - P^{(k-1) }(x)}{xa}\\ &=\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a) - P^{(k)}(a)) = 0 \end{align }

donde la transición de la penúltima expresión a la última se sigue de la definición de la derivada en el punto x = a .

Notas

↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), fórmula de Taylor , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Klein, 1998 , §20.3; Apóstol, 1967 , §7.7.
↑ Apóstol, 1967 , §7.7.
↑ Apóstol, 1967 , §7.5.
↑ Apóstol, 1967 , §7.6
↑ Rudin, 1987, § 10.26.
↑ Stromberg, 1981

Fuentes

Apostol, Tom (1967), Cálculo , Jon Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-00005-1 .
Bartle & Sherbert (2000), Introducción al análisis real (3.ª ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-32148-6 .
Hörmander, L. (1976), Operadores diferenciales parciales lineales, Volumen 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3540006626 .
Klein, Morris (1998), Cálculo: un enfoque intuitivo y físico , Dover, ISBN 0-486-40453-6 .
Pedrick, George (1994), Un primer curso de análisis , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94108-8 .
Stromberg, Karl (1981), Introducción al análisis real clásico , Wadsworth, Inc., ISBN 978-0534980122 .
Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo, 3ª ed. , McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-054234-1 .

Enlaces

Aproximación de la serie de Taylor al coseno en el corte del nudo
Aplicación demostrativa interactiva Trigonometric Taylor Expansion
Serie de Taylor revisada en el Holistic Numerical Methods Institute